运动的合成与分解1

第2节运动的合成与分解

【知识梳理】

一、一个平面运动的实例

1.实验观察蜡块的运动

蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时，将玻璃管沿水平方向向右做匀速运动，观察到蜡块向右上方运

动。

2.蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为上玻璃管向右匀速移动的速度设为以。从蜡块开始运

动的时刻计时，于是，在时刻/,蜡块的位置。可以用它的小)两个坐标表示x=而，

3.蜡块运动的轨迹

由以上两式消去z,得由于以和w均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一-条过原点的直线。y=4为

VxVx

轨迹方程。

4.蜡块的速度

由勾股定理可得：y=7而j,v与x轴正方向间夹角的正切为团［0=匕。

Vx

二、运动的合成与分解

1.合运动与分运动：一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动叫做合运动，参与的那几个运

动叫做分运动。

2.运动的合成与分解

(1)运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程。

(2)运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程。

(3)运算法则：运动的合成与分解遵从矢量运算法则。

【方法突破】

一、对运动的合成与分解的理解

■方法归纳

1.合运动与分运动的关系

一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有

独立性

所改变。即各分运动是互相独立的、互不影响的

各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历的时间相等。不是同时发生的运动不

等时性

能进行运动的合成

等效性各分运动合成起来和合运动效果相同，即分运动与合运动可以“等效替代”

合运动和它的分运动必须对应回•个物体的荏动，一个物体的合运动不能分解为另一个物

同体性

体的分运动

2.运动的合成与分解法则

运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解.曰于它们都是

矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则.

①两分运动在同•直线上时，同向相加，反向相减.

②不在同一直线上，按照平夕亍四边形定则进行合成或分解.

3.合运动与分运动的性质和轨迹的关系：两直线运动的合运动的性质和轨迹，由各分运动性质及合初速度

与合加速度的方向和大小关系决定.

①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动.

②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动,

不共线时为匀变速曲线运动.

③两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动.若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上,

则是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，则是曲线运动.

【例1】如图甲所示，在一端封闭、长约1m的玻璃管中注满清水，水中放一个直径略小于玻璃管内径的圆

柱形红蜡块R,将玻璃管的开口端用胶塞塞紧。把玻璃管迅速竖直倒置，红蜡块R就沿玻璃管由管口力匀

速上升，在红蜡块刚从管口力开始匀速上升的同时，将玻璃管由静止开始水平向右匀加速移动（如图乙所

示），直至红蜡块上升到管底8的位置（如图丙所示）。以地面为参考系，以红蜡块开始匀速运动的位置为

原点.以水平向右为x轴正方向,竖一百向卜为），轴正方向建立平面直角坐标系,描绘纤崎块R在这一运动过

程中的轨迹，图中可能正确的是〔）

【详解】由题意可知红蜡块竖直向上做匀速直线运动，水平向右做初速度为零的匀加速直线运动，合运动

为匀变速曲线运动，其速度方向与水平方向的夹角的正切值为血。等哈由上式可知加的增大而逐渐

减小，而蜡块速度方向沿轨迹切线方向，所以红蜡块实际运动的轨迹可能是5故选C。

【针对训练1】在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为0、加速度为。的匀加速运动，同时人顶着直

杆以速度如水平匀速前进，经过时间/,猴子沿杆向上移动的高度为人人顶杆沿水平地面移均的距离为X，

如图所示.关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（）

A.相对地面的运动轨迹为直线

B.相对地面做匀变速曲线运动

C.，时刻猴子相对地面的速度大小为%+必

D./时间内猴子相对地面的位移大小为2席寿

【答案】B

【详解】A.猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为0的匀加速直线运动，猴子相对地

面的运动轨迹为曲线，A错误；

B.因为猴子受到的合外力恒定（加速度恒定），所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动，B正确；

C.f时刻猴子对地的水平速度为】切，轻直速度为43因此和速度大小为口=［片+侬r，C错误；

D./时间内猴子对地的位移大小为s=值万，D错误。故选B。

二、小船过河问题

■方法归纳

小船过河问题可以基于以下几点进行理解和分析:

"静水侬。

(1)洛船实际的运动看做船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动.

(2)如图所示，v水为水流速度，n龄水表示船在静水中的速度，将铅的速度y8M；沿平行于河岸和垂直于河岸方

向正交分解，则丫水一wos。为船实际上沿水流方向的运动速度，上=丫冷水sin。为船垂直于河岸方向的运动

速度.两个方向的运动情况相互独立、互不影响.

1.过河的最短时间

过河时间仅由n的水垂直于河岸的分量L决定，HPt=~,与v水无关.要使过河时间最短，应使垂直河岸方

v±

向的速度最大，如图所示，当sinB=l,即妙龄木垂直于河岸时，过河所用时间最短，最短时间为/=",与

v静水

v木无关.

2.过河的最小位移

过河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使过河位移最小，应使合位移(或合速度)与河岸方向的夹角最大.

(I)当y水3停水时，过河的最小位移即河的宽度.如图所示，为了使过河位移等于河宽/这时船头应指向河

的上游，并与河岸成一定的角度。，使船的合速度u的方向与河岸垂直.此时，v水一期制cos，=0,过河时间

dd

111

寸遍水一喙

(2)当丫水X静水时，不论船的航向如何，总是被水冲向下游.此时合速度y与河岸方向的夹角a越大，船过河

的位移越小.那么，在什么条件卜。角最大呢？如图所不，以隈的矢尖为圆心，以v龄木的大小为半彳仝圆圆，

当合速度与圆相切时，a角最大.由三角形的相似性，最小位移为$="水乩过河时间z=s=Vfr'd.

丫龄水y丁水像一脸水

【例2】如图所示，一条小船渡河，河水流速*=3m/s,船在静水中速度匕=4m/s,船头方向与河岸垂直。

关于小船的运动，下列说法正确的是()

A.小船的实际运动轨迹与岸垂直

B.此时小船的渡河时间不是最短

C.小船相对于岸的速度大小为5m/s

D.小船相对于岸的速度大小为7m/s

【答案】C

【详解】B.由于船头方向与河岸垂直，可知此时小船的渡河时间最短，故B错误：

ACD.小船相对于岸的速度大小为v=@亚=斤薪m/s=5m/s设合速度与河岸的夹角为6,则有

tanO="=:解得。=53。可知小船的实际运动轨迹与岸不垂直，故C正确，AD错误。故选C。

【针对训练2】如图所示，河水流速以及渡船在静水中的划行速度大小均恒定，渡船从平直河津•边的4处开

始渡河，当船头方向垂直河岸时，渡船到达正对岸岸边4处下游的。处，力、。连线与水流方向的夹角为

60%若要使渡船从4处开始渡河，能够沿直线到达8处，则船头方向与水流反方向的夹角。的正切值应为

BC

；//水-流--方►向

》&60。

A

43

A.41C.-D.

34

【答案】A

【详解】设船在静水中的速度为也，水速为电，则tan60。=工当船垂直渡河时tan。=也二且得tan。=正

V2V,

故选Ao

三、关联速度问题

■方法归纳

绳、杆关联问题是指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题.高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可

伸长和不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）

和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示.

乙

【例3】如题图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知重

物M以y匀速向上运动，连接汽车的轻绳与水平方向夹角为"汽车的速度用v度表示。则（）

//////

V

v

B.v-=----

“cos。

C.汽车做匀速运动D.汽车做匀加速运动

【答案】B

【详解】AB.将汽车速度沿绳与垂直于绳分解，沿绳的分速度与重物速度相等，则…。，岭，解得丫病

A错误，B正确；

CD.根据上述，重物〃以y匀速向上运动，当汽车向左运动时，。减小，可知汽车速度减小，即汽车减速

运动，CD错误。故选B。

【针对训练3】A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体B以匕的速度向左匀速

运动，如图所示，当绳被拉成与水平面夹角分别是。、夕时。物体A的运动速度匕为（绳始终有拉力）（）

Vjsina

C，sinpD.

sina

【详解】将A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为^cosa;

将B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为。由于沿

着绳子方向速度大小相等，故有vAcos«=v,cos/?所以物体A的运动速度为以=Hcos』故选Bo

cosa

【巩固提升】

1.质量为2kg的质点在xQ＞，平面.上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列

说法中正确的是（）

A.质点的初速度大小为3m/s

B.质点所受的合外力为3N,做匀变速曲线运动

C.2s内质点的位移大小约为17m

D.2s末质点速度大小为6m/s

【答案】B

【详解】A.由x方向的速度图像可知，初速度为3m/s,由），方向的位移图像可知在y方向做匀速直线运动，

速度为叱尸4m/s,由平行四边形定则可知，质点的初速度为n=J。+=5m/s故A错误：

B.由x方向的速度图像可知，在x方向的加速度为1.5m/s2,受力&=3N,由y方向的位移图像可知在y

方问做匀速直线运动，受力Fy=O,所以质点的合力为3N,由于质点的初速度方向与合外力方向不在一条直

线上，所以质点做匀加速曲运动，故B正确；

C.2s内x轴方向的位移为x=&mx2m=9m,y轴方向的位移为歹=4x2m=8m所以质点在2s末内的位

移为&+/=V924-82m=x/145m®12m故C错误；

D.2s末x轴方向的速度为，匕2=6m/s,y轴方向的速度为：V,.=4m/s,所以质点在2s末的速度为

v=J应+1才=16,+4?m/s=2x/13in/s故D错误。故选B。

2.在我校某周年校庆活动上，一小型无人机在空中航拍，将其运动沿水平方向和竖直方向分解，水平位移

x随时间，变化的图像如图中所示，竖直方向的速度随时间变化的图像如图乙所示。关于无人机的运动，下

列说法正确的是（）

甲乙

A.0〜2s内做匀加速曲线运动B./=2s时速度大小为百m/s

C.2s〜4s内加速度大小为Im/s?D.0~4s内位移大小为7m

【答案】A

【详解】A.由图可知，在水平方句一直做匀速直线运动，在竖直方向上，在0〜2s内，做匀加速直线运动,

因此在0~2s内，物体的合运动为匀加速曲线运动，故A正确；

B.f=2s时，由图可知，水平速度匕=lm/s,竖直速度匕=2m/s,故%=亚丁彳=J5m/s故B错误：

C.2~4s内，水平加速度为零，竖直加速度也为零，故加速度为零，故C错误；

D.0~4s内，水平位移为4m,竖直位移为斗,2m=6m合位移为+$：=,4?+6?m=2而m

故D错误。故选Ao

3.物体在直角坐标系xQy所在的平面内由0点开始运动，x轴方向的加速度随时间变化图像如图。所示，

y轴方向速度随时间变化的图像如图6所示，物体的初速度为2m/s,则对该物体运动过程的描述正确的是

A.物体在。〜2s做直线运动，在2s〜3s做曲线运动

B.物体在0〜2s的加速度大小为ImH，2s〜3s的加速度大小为2m/s2

C.物体在0〜2s和2s〜3s内位移之比为G：1

D.物体2s末速度最大，最大值为2e於

【答案】D

【详解】A.物体在0〜2s内，x方向做aw=lm/s2的匀加速运动，y方向做匀速运动，可知合运动是曲线运

动；

2

在2s〜3s内，歹方向的加速度为%2=—m/s2=2m/s?,A方向做初速度vx=2m/s,加速度为aA=2m/s2的匀

减速运动；y方向做初速度呼=2m/s,加速度为町，2=2m/s2的匀减速运动，则合加速度方向与合初速度方向

共线，可知物体做直线运动。

选项A错误;

222

B.物体在。〜2s的加速度大小为a=ax7=lm/s；2s〜3s内ar2=lm/s；ay2=2m/s则2s〜3s的加速度大小为

a=小吃+a1=2夜m/s?选项B错误;

C.物体在。〜2s内位移x/=（=^xlx22m=2m；乂=2x2m=4m合位移=2万m

22

2s~3s内位移的位移x2=vx2t2-拼％'=2x1-1-x2x1=16n）；y2=—xlx2m=Im合位s2=&=>/2m

则之比为M：$2=9：1选项C错误;

D.因2s末在工方向和y方向都要做匀减速运动，可知物体2s末速度最大，最大值为

%==V224-22m/s=2Vlm/s选项D正确。故选D。

4.民族运动会上有一直线侧向骑射项目如图所示，运动员骑在沿直线奔跑的马上，疗弓放筋射击跑道外侧

的固定目标，假设运动员骑马奔驰的速度为山，运动员静止时射出的弓箭速度为盯，跑道距离固定目标的

最近距离为小要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑空气阻力的影响)，则()

A.运动员放箭处离目标的距离为一"

vi

B.运动员放箭处离目标的距离为'小「+吗

V2

C.箭射到固定目标的最短时间为脸寇

g

d

D.箭射到固定目标的最短时间为/,,

J百一以

【答案】B

【详解】要想在最短的时间内射中目标，箭应该垂直于马的运动方向射出，如图所示

箭在空中的运动时间为■其合运动速度为丫=/节F则放转处离目标的距离为工=可=4区土三

V2V,

故ACD错误，B正确。故选九

5.唐僧、悟空、沙僧和八戒师徒四人想划船渡过一条宽150m的河，他们在静水中划船的速度大小为3m/s,

河水的流速为5m/s,对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是（）

A.唐僧说：我们要想到达正对岸就得朝着正对岸划船，最短时间需要50s

B.悟空说：我们要想节省时间就得朝着正对岸划船，最短时间需要30s

C.沙僧说：我们要想少走点路就得朝着正对岸划船。最短路程需要150m

D.八戒说：今天这种情况我们是不可能到达正对岸的，渡河最短路程需要250m

【答案】D

【详解】AB.因在静水中划船的速度大小为3m/s,河水的流速为5m/s,大于船在静水的速度，时间最短时

需要朝着止对岸划船，最短时间*n=2=50s但此时船要到达止对岸的下游，小可能到达止对岸，故AB

y船

错误；

C.因船速小于河水流速，则合速度方向不可能垂直正对岸，即船不可能到达正对岸，最小位移不可能是150m,

选项C错误；

D.当合速度与船速度垂直时，渡河的位移最小，此时船头偏向上游，但渡河位移要偏向下游，最短路程

A="d=250m因此D正确。故比D。

v船

6.如图，阿玮要渡过湍急的河水游到河对岸去，已知水流的速度是2m/s,阿玮游泳的速度是lm/s,岸宽

30m,阿玮想尽量不被水冲得太远，则到达对岸时，偏离正对岸的最小距离为（）

正对岸

阿伟

A.30mB.30x/2mC.3()GmD.60m

【答案】C

【详解】如图

oB

阿玮到达对岸时.，要偏离正对岸的距离最小，则需要游泳的方向与阿玮的合速度方向垂直，所以

sin夕=曳=:则。=30。由tan夕=空可得阿玮到达对岸时，偏离正对岸的最小距离

入2AB

OA30MA

AB=------=—^-m=30v3m

tan。故选C。

T

7.一条船要在最短时间内渡过宽为100m的河，已知河水的流速巧与船离河岸的距离x变化的关系如图甲

所示，船在静水中的速度岭与时间，的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是（）

MV|(m/s)八Mm/s)

5--------------

0]50100x>(m)0|-2040zjs)

甲乙

A.船渡河的最短时间25s

B.船运动的轨迹可能是直线

C.船在河水中航行的平均加速度大小为a=0.2m/s2

D.船在河水中的最大速度是"Tm/s

【答案】D

【详解】A.当船头垂直河岸时渡河时间最短，则有加“=4=吧$=20$,A错误；

匕，

B.船在垂直河岸方向上做匀速运动，在沿河岸方向上做变速运动，因此轨迹一定是曲线，B错误;

C.船在河水中航行过程，船的速度先增大后减小，但在河岸两边的速度相同，故整个航行过程的速度变化

量为0,则船在河水中航行的平均加速度大小为a=竽=（）m/s2,c错误；

D.船在河水中的最大速度为丫2=7^彳春1人=两％/5，D正确；

故选Do

8.如图所示，水平固定的光滑细长杆上套有一物块。，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接

另一端悬挂一物块儿设细线的左边部分与水平方向的夹角为初始时。很小，现将P、。由静止同时释

放，关于尸、。以后的运动，下列说法正确的是（）

A.在0向90。增大的过程中，。一直处于超重状态

B.当＜9=90。时，。的速度最大

C.当。=90。时，。的速度最大

D.当。=60。时，P、。的速度大小之比是由：2

【答案】C

【详解】A.。从开始运动到到达最低点的过程中，先向下做加速运动，加速度向下，处于失重状态，然后

又减速向下