2026年自考离散数学专项试题及答案

2026年自考离散数学专项试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B（对称差）的元素个数为A.1  B.2  C.3  D.42.命题公式(p→q)∧(q→¬p)的主合取范式中极大项的个数为A.0  B.1  C.2  D.33.在格(L,∨,∧)中，若对任意a,b∈L满足a∨b=a∧b，则L必为A.链  B.分配格  C.有补格  D.布尔代数4.设R是集合A上的二元关系，若R∘R⊆R且R⁻¹⊆R，则R一定是A.等价关系  B.偏序关系  C.全序关系  D.拟序关系5.图G有10条边，各顶点度数均为3，则G的顶点数为A.5  B.6  C.7  D.86.下列关于群(G,∗)的叙述正确的是A.若|G|=15，则G必为循环群B.若G为阿贝尔群，则G的子群必为正规子群C.若G为循环群，则G的生成元唯一D.若G为有限群，则G的阶等于其所有元素阶的最小公倍数7.设函数f:ℤ→ℤ，f(x)=x²+1，则f是A.单射  B.满射  C.双射  D.既非单射也非满射8.在布尔代数(B,+,·,′,0,1)中，对任意x∈B，下列恒等式恒成立的是A.x+x′=0  B.x·x′=1  C.x+x=x·x  D.x+1=x9.设图G的邻接矩阵为A，则G中长度为k的通路总数等于A.A^k的对角线元素之和B.A^k的所有元素之和C.A^k的迹D.A^k的行列式10.设命题公式φ含有n个变元，其真值表有m行使φ为真，则φ的主析取范式中含极小项的个数为A.m  B.2^n−m  C.n  D.2^m二、填空题（每空3分，共15分）11.设集合A={a,b,c}，则A上的二元关系共有______个。12.若群G的阶为素数p，则G的真子群个数为______。13.设图G为n个顶点的完全图，则G的边数为______。14.命题公式(p∨q)∧(¬p∨r)∧(q∨¬r)的成真赋值为______组。15.设格(L,≤)有最小元0与最大元1，若元素a∈L有唯一补元，则该补元记为______。三、计算与证明题（共35分）16.（6分）设集合A={1,2,3,4,5}，关系R={(x,y)|x+y为偶数}。(1)写出R的关系矩阵；(2)判断R是否为等价关系，并说明理由。17.（8分）给定命题公式φ=(p→q)↔(¬q∨p)。(1)构造φ的真值表；(2)求φ的主合取范式；(3)判断φ是否为重言式。18.（7分）设群G=⟨a⟩为12阶循环群，H=⟨a⁴⟩。(1)写出H的所有元素；(2)求G/H的阶，并列出其所有陪集；(3)判断G/H是否为循环群，若是，给出生成元。19.（7分）图G如下图所示（文字描述）：顶点集V={v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}，边集E={v₁v₂,v₁v₃,v₂v₄,v₃v₄,v₄v₅}。(1)写出G的邻接矩阵A；(2)计算A²，并解释A²中(1,4)元素的意义；(3)求G的连通分支数。20.（7分）设布尔代数B={0,1}，函数f:B³→B定义为f(x,y,z)=x·y+z·¬x·y。(1)给出f的真值表；(2)将f表示为极小项之和的形式；(3)化简f为最简与或式。四、综合应用题（共30分）21.（10分）某软件系统权限模型可抽象为偏序集(P,≤)，其中P={∅,{r},{w},{r,w},{r,w,x}}，≤为集合包含关系。(1)画出哈斯图；(2)指出所有极大元、极小元；(3)判断该偏序集是否为格，并说明理由；(4)若定义运算a∨b=sup{a,b}，a∧b=inf{a,b}，求{r,w}∨{w,x}与{r,w}∧{w,x}。22.（10分）某通信网络用图G建模，顶点表示路由器，边表示直连光纤。已知G为6个顶点的无向简单图，且满足：(i)任意两个不相邻顶点度数之和≥5；(ii)最大度Δ(G)=4。(1)证明G为连通图；(2)证明G存在哈密顿通路；(3)若G为欧拉图，给出其一个欧拉回路（用顶点序列表示）。23.（10分）设集合S={1,2,3,4,5,6}，运算∗定义为：对任意x,y∈S，x∗y=(x+y−1\mod6)+1。(1)证明(S,∗)为群；(2)求该群中元素3的阶；(3)给出该群的所有子群；(4)判断该群是否同构于(ℤ₆,+₆)，并说明理由。【答案与解析】一、选择题1.B A⊕B={1,4}，共2个元素。2.A 化简得¬p∧¬q，仅含一个极大项M₃。3.A 由a∨b=a∧b可得a=b，故L中任意两元可比，为链。4.D 满足传递与逆闭包，为拟序。5.C 握手定理：3n=2×10⇒n=20/3，取整得7。6.B 阿贝尔群子群必正规。7.D f(x)=f(−x)非单射；值域不含负数非满射。8.C x+x=x·x=x。9.B A^k所有元素之和即为长度为k的通路总数。10.A 主析取范式含m个极小项。二、填空11.512 |A×A|=9，子集数2⁹=512。12.0 素数阶群无真子群。13.n(n−1)/2 完全图边数公式。14.3 真值表枚举得(0,0,1),(1,0,1),(1,1,0)。15.a′ 补元唯一记为a′。三、计算与证明16.(1)关系矩阵M_R为5×5，M[i,j]=1当且仅当i+j偶。(2)R自反、对称、传递，故为等价关系。17.(1)真值表略，φ在p,q同真或同假时为真。(2)主合取范式：(¬p∨q)∧(p∨¬q)。(3)非重言式，因存在赋值使φ为假。18.(1)H={e,a⁴,a⁸}。(2)|G/H|=12/3=4，陪集为H,aH,a²H,a³H。(3)G/H≅ℤ₄，生成元为aH。19.(1)邻接矩阵略。(2)A²(1,4)=1，表示v₁到v₄长度为2的通路仅1条：v₁→v₂→v₄。(3)图连通，分支数1。20.(1)真值表略，f=0仅当x=0,y=0,z=0。(2)极小项之和：∑m(1,2,3,4,5,6,7)。(3)化简得f=y+x·z。四、综合应用21.(1)哈斯图：底层∅，上层{r},{w}，再上层{r,w}，顶层{r,w,x}。(2)极大元{r,w,x}，极小元∅。(3)是格，任意两元有最小上界与最大下界。(4){r,w}∨{w,x}={r,w,x}，{r,w}∧{w,x}={w}。22.(1)若G不连通，存在划分V₁,V₂无边跨，取u∈V₁,v∈V₂，则deg(u)+deg(v)≤3+3=6<5，矛盾。(2)由Ore定理，deg(u)+deg