专题4.5 函数应用（二）（知识解读）（含解析）（人教A版2019必修第一册）【考点精练】2022-2023学年高一数学

专题4.5函数应用（二）（知识解读）【学习目标】1.通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2.根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.【知识点梳理】知识点一：函数零点的概念1、函数零点的概念对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.

这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点2、已学基本初等函数的零点①一次函数只有一个零点；②反比例函数没有零点；③指数函数（且）没有零点；④对数函数（且）只有一个零点1；⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。知识点二：函数零点存在定理及其应用1、函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.2、函数零点的求法①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解3、函数零点个数的判断①利用代数法，求出所有零点；②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.知识点三：二次函数的零点问题一元二次方程的实数根也称为函数的零点.当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：的实数根（其中）方程无实数根的图象的零点函数无零点知识点四：区间中点对于区间，其中点知识点五：二分法1、二分法的概念对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零点的近似值给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证；（2）求区间的中点（3）计算;①若（此时)，则就是函数的零点；②若（此时)，则令；③若（此时)，则令；（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4知识点六：常见函数模型1、一次函数模型（，为常数）2、反比例函数模型（）3、二次函数模型（）4、指数函数模型（且，）5、对数函数模型（且，）6、幂函数模型（，）7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合8、对勾函数模型：【典例分析】【考点1：函数的零点】【典例1】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知函数，则函数的零点为（

）A． B．，0 C． D．0【变式1-1】（2021·全国）y=2x-1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是（）A．， B．，C．，- D．，-【变式1-2】（2021·全国）若函数f（x）=ax+1-2a的零点是1，则a=___________.【变式1-3】（2021·上海）设函数，（），若其零点为2，则a=__________．【考点2：函数的零点区间】【典例2-1】（2022·贵州遵义·高一期末）方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2022·福建·高二）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【典例2-3】（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2021·上海高一专题练习）若是函数的零点，则属于区间（）．A． B． C． D．【变式2-2】（2021·广东）函数的零点所在的大致区间是（）A． B． C． D．【变式2-3】（2021·全国高一专题练习）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：123451.43.55.4－5.5－6.7则方程必存在有根的一个区间是（）A． B．C． D．【考点3：函数的零点个数】【典例3】（2022·江苏常州·高一期末）函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2022·北京·高三专题练习）函数的零点个数为（

）个A．2 B．1 C．0 D．3【变式3-2】（2022·广东惠州·高一期末）已知函数，则函数零点的个数为_________．【考点4：二分法】【典例4】（2021·浙江高一单元测试）根据已给数据：x1.51.531251.56251.6251.75的近似值5.1965.3785.5655.9616.839在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（）A． B．1.5 C．1.562 D．1.7【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（）A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066【变式4-2】（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)【变式4-3】（2021·毕节三联学校高一期末）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点5：函数应用模型】【典例5】（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本35917…年利润1234…给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.(1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.【变式5-1】（2021·河北高一期末）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.【变式5-2】（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）邵东市某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．（1）设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若一天要保证利润不低于10800元，则提高的价格应该是多少？；（3）在（2）情况下订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【变式5-3】（2022·山东济宁·高一期末）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的；另一个是同学乙提出的，记2021年元旦最初测量时间x的值为0．(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，）专题4.5函数应用（二）（知识解读）【学习目标】1.通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2.根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.【知识点梳理】知识点一：函数零点的概念1、函数零点的概念对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.

这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点2、已学基本初等函数的零点①一次函数只有一个零点；②反比例函数没有零点；③指数函数（且）没有零点；④对数函数（且）只有一个零点1；⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。知识点二：函数零点存在定理及其应用1、函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.2、函数零点的求法①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解3、函数零点个数的判断①利用代数法，求出所有零点；②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.知识点三：二次函数的零点问题一元二次方程的实数根也称为函数的零点.当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：的实数根（其中）方程无实数根的图象的零点函数无零点知识点四：区间中点对于区间，其中点知识点五：二分法1、二分法的概念对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零点的近似值给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证；（2）求区间的中点（3）计算;①若（此时)，则就是函数的零点；②若（此时)，则令；③若（此时)，则令；（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4知识点六：常见函数模型1、一次函数模型（，为常数）2、反比例函数模型（）3、二次函数模型（）4、指数函数模型（且，）5、对数函数模型（且，）6、幂函数模型（，）7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合8、对勾函数模型：【典例分析】【考点1：函数的零点】【典例1】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知函数，则函数的零点为（

）A． B．，0 C． D．0【答案】D函数当时，令，解得当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0故选：D．【变式1-1】（2021·全国）y=2x-1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是（）A．， B．，C．，- D．，-【答案】B【解析】在y=2x-1中，令，得，所以交点坐标为：，零点为：，故选：B【变式1-2】（2021·全国）若函数f（x）=ax+1-2a的零点是1，则a=___________.【答案】1【解析】依题意得f（1）=0，即a+1-2a=0，解得a=1.故答案为：1【变式1-3】（2021·上海）设函数，（），若其零点为2，则a=__________．【答案】2【解析】由题得或，因为，所以.故答案为：2【考点2：函数的零点区间】【典例2-1】（2022·贵州遵义·高一期末）方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】都是上的增函数，故是上的增函数，又由，，，因为，所以，，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：C.【典例2-2】（2022·福建·高二）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：因为为上的增函数，又，，所以函数的零点所在的区间是，故选：B.【典例2-3】（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，又，，，即，所以的零点位于内；故选：C【变式2-1】（2021·上海高一专题练习）若是函数的零点，则属于区间（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得，所以，即．又为上的减函数，由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点．故选：C．【变式2-2】（2021·广东）函数的零点所在的大致区间是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于函数在上是连续增函数，由于，，所以，根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，故选：．【变式2-3】（2021·全国高一专题练习）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：123451.43.55.4－5.5－6.7则方程必存在有根的一个区间是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数的图象是连续的曲线，且，，所以，根据零点存在性定理可得函数必定存在零点位于区间，故方程必存在有根的一个区间是，故选：C.【考点3：函数的零点个数】【典例3】（2022·江苏常州·高一期末）函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，令，解得，当时，令，解得，所以此函数有2个零点.故选：B【变式3-1】（2022·北京·高三专题练习）函数的零点个数为（

）个A．2 B．1 C．0 D．3【答案】A【解析】由，由，所以函数的零点个数为2，故选：A.【变式3-2】（2022·广东惠州·高一期末）已知函数，则函数零点的个数为_________．【答案】【解析】当时，由，可得（舍）或；当时，由，可得.综上所述，函数零点的个数为.故答案为：.【考点4：二分法】【典例4】（2021·浙江高一单元测试）根据已给数据：x1.51.531251.56251.6251.75的近似值5.1965.3785.5655.9616.839在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（）A． B．1.5 C．1.562 D．1.7【答案】C【解析】，即，令，则，，，，，根据零点存在性定理可知：，使，又，故的一个近似解可以为：1.562.故选：C.【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（）A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066【答案】C【解析】在上单调递增.设近似值为，由表格有，所以故选：C【变式4-2】（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.【变式4-3】（2021·毕节三联学校高一期末）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】：根据二分法，结合表中数据，由于，，所以方程的一个近似根所在区间为所以符合条件的解为1.4故选：C【考点5：函数应用模型】【典例5】（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本35917…年利润1234…给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.(1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.【解析】(1)可用③来描述x，y之间的关系，(2)该企业要考虑转型.(1)由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；将，代入（，且），得，解得，∴.当时，，不符合题意；将，代入（，且），得，解得，∴.当时，；当时，.故可用③来描述x，y之间的关系.(2)由题知，解得.∵年利润，∴该企业要考虑转型.【变式5-1】（2021·河北高一期末）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.【答案】（1），（2）【解析】（1）由图可知直线的斜率为，所以图像中线段的方程为，因为点在曲线上，所以，解得，所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，即，解得，所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室【变式5-2】（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）邵东市某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．（1）设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若一天要保证利润不低于10800元，则提高的价格应该是多少？；（3）在（2）情况下订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是