第二课时：平行四边形的判定课件2025-2026学年人教版数学八年级下学期

第二十一章

四边形21.2.2第二课时：平行四边形的判定学习目标1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.重点：平行四边形判定定理难点：平行四边形的性质与判定的综合复习导入平行四边形的判定（1）两组对边

的四边形是平行四边形；（2）两组对边

的四边形是平行四边形；（3）两组对角

的四边形是平行四边形；（4）对角线

的四边形是平行四边形．分别平行分别相等分别相等互相平分探究新知知识点1判定平行四边形已知：在四边形ABCD中,AB=DC,AB∥DC,求证：四边形ABCD为平行四边形.ABCD证明：连接AC，∵AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA,∵AB=DC，AC=CA，∴△ABC≌△CDA(SAS),∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形.探究新知知识点1判定平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.判定方法四：ABCD∵AB=CD,AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.典例解析题型1判定平行四边形证明：∵

四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AB=

CD．又∵

EB=AB，FD=

CD，∴

EB

FD．∴

四边形

EBFD

是平行四边形．∴

DE

BF.ABCDEF例1

如图

，在平行四边形

ABCD

中，E，F

分别是AB，CD

的中点.求证

DE

BF

.针对训练1.已知:如图,在□ABCD中,BF=DE.求证:四边形AECF是平行四边形.EFDCBA证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∵AB∥DC，AB=DC，∵BF=DE，∴EC=AF,∵EC∥AF，∴四边形AECF为平行四边形.针对训练

2.

如图，点

A，B，C，D

在同一条直线上，点

E，F

分别在直线

AD

的两侧，AE

=

DF，∠A

=

∠D，AB

=

DC.求证：四边形

BFCE

是平行四边形．证明：∵

AB

=

CD，∴

AB

+

BC

=

CD

+

BC，即

AC

=

BD.在△ACE

和△DBF

中，AC＝BD，∠A＝∠D，AE＝DF，∴

△ACE≌△DBF(SAS).∴

CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴

CE∥BF.∴

四边形

BFCE

是平行四边形．典例解析题型1判定平行四边形例2：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？解：BF＝CE．理由如下：∵DF∥BC，EF∥AC，∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE，∴FD=CE.∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD，∴∠FBD=∠FDB.∴BF=FD.∴BF＝CE.针对训练3.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE=AF.又∵AB=AC=10，∴∠B=∠C.∵DF∥AB，∴∠CDF=∠B，∴∠CDF=∠C，∴DF=CF，∴DE+DF=AF+FC=AC=10．针对训练4.如图，在等边△ABC中，D，F分别为CB，BA上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE．求证：（1）△ACD≌△CBF；（2）四边形CDEF为平行四边形．

（2）∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，∠CAD=∠BCF．∵△AED为等边三角形，∴∠ADE=60°，且AD=DE．∴CF=DE．∵∠EDB＋60°=∠BDA=∠CAD＋∠ACD=∠BCF＋60°，∴∠EDB=∠BCF．∴ED∥FC．∴四边形CDEF为平行四边形．典例解析题型2性质与判定的综合例3：如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，连接BE，DF。求证：四边形DEBF是平行四边形。证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF。∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∠DEA=∠BFC=90∘。在△DAE和△BCF中，​……∴△DAE≅△BCF

(AAS)，∴DE=BF。∴四边形DEBF是平行四边形。针对训练5.如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN。求证：(1)△AEM≅△CFN；(2)四边形BMDN是平行四边形。证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，AD∥BC。∴∠EAM=∠FCN，∠E=∠F。又∵AE=CF，∴△AEM≅△CFN

(ASA)。(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BM∥DN。由(1)知△AEM≅△CFN，∴AM=CN。∴BM=DN。∴四边形BMDN是平行四边形。针对训练6.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．

求证：OE=OF．

针对训练7.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED=30°，过点A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：△ADF为等边三角形；（2）求证：四边形BECF为平行四边形；（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=30°．∵∠AED=30°，∴∠ADF=∠BAD＋∠AED=30°＋30°=60°，∵AF⊥AB，∴∠EAF=90°，∴∠AFD=90°－∠AEF=90°－30°=60°，∴∠AFD=∠ADF=∠DAF=60°，∴△ADF为等边三角形．针对训练7.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED=30°，过点A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：△ADF为等边三角形；（2）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）证明：由（1）知∠AED=∠BAD=30°，△ADF为等边三角形，BD=CD，∴AD=ED，AD=DF，∴ED=DF，∴四边形BECF为平行四边形．典例解析题型2性质与判定的综合例4：如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴CE∥D′B，CE=D′B，∴四边形BCED′是平行四边形.针对训练8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示：AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm针对训练（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t=15-2t，解得t=5．∴t=5s时四边形APQB是平行四边形；针对训练AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；tcm(12-t)cm(15-2t)cm2tcm（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？解：由AP=tcm，CQ=2tcm，∵AD=12cm，BC=15cm，∴PD=AD-AP=12-t，∵AD∥BC，∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即12-t=2