2026年沪科版八年级下册数学全册教学设计（配春改版教材）新版

(配2026年春改版教材)1.了解并掌握二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，3.理解二次根式的性质1和性质2,会用二次根式的性质进行化简和计算.重点：理解并掌握二次根式的概念.难点：灵活运用二次根式的性质进行化简和计算.面积是8平方厘米，那么它的边长是多少?2.已知圆的面积是6π,你能求出该圆的半径吗?些问题吧!【类型一】二次根式的识别例1下列各式：;③√x²+y²;④√-5;⑤V5,其中的二次根式有()解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意，故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“√”;②被开方数为非负数.两者缺一不可.【类型二】二次根式有意义的条件 例2代数式有意义，则x的取值范围是()A.x≥-1且x≠1B.x≠1解析：根据题意可知x+1≥0且x-1≠0,解得x≥-1且x≠1.故选A.例3计算：计算，(2)(3)(4)(a≥0)进行计算.解：(1)(√0.3)²=0.3.(4)(2√x-y)²=2²×(√x-y例4计算：;解：(1)√2²=2. 方法总结：Va²=la|的实质是求a²的算术平方根，其结果一定是探究点三：利用二次根式的性质化简求值【类型一】利用被开方数的非负性求字母的值(2)已知实数a,b满足a=√b-2+√2-b+3,求a,b的值.解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可.解：(1)由题意知得2a=-8,b=1,则2a—b=—(2)由题意知解得b=2.∴a=0+0+3=3.方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0;②当题目中同时出现√a和√-a时(即二次根式下的被开方数互为相反数),则可得a=0.【类型二】利用二次根式的性质化简求值例6先化简，再求值：a+√1+2a+a²,其中a=-2或3.解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答.原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1;当a=3时，原式=3+|3+1|=3+4=7.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值.【类型三】与二次根式有关的最值问题 时，√3x+2+3的值最小，此时最小值为3.故答案为,3.方法总结：对于二次根式√a≥0(a≥0),可知其有最小值0.【拓展类型一】.与数轴的综合例8如图所示为a,b在数轴上的位置，化简2√a²-√(a-b)²+解析：由a,b在数轴上的位置确定a<0,a-b<0,a解：由数轴可知a<-1,0<b<1,则a-b<0,a+b<0.原式的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值符号内代数式的正负性去掉绝对值符号.【拓展类型二】.与三角形三边关系的综合解析：根据三角形的三边关系得出b+c>a,b+a>c,根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即一c)=a+b+c—b-cta+b+a-c=3a+b一c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边),得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简.惯.性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用.第1课时二次根式的乘法重点：理解二次根式的性质3并能正确应用性质3计算和化简.难点：运用二次根式的性质3计算和化简.教学过程≥0),必须注意被开方数是非负数这一条件.探究点二：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法运算例2计算：解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2), (3),(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘.方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号. 【类型二】逆用性质3(即√ab=√a·√b,a≥0,b≥0)进行化简例3化简： (3)√225a⁶b2(a≥0,b≥0).解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号. 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题.【类型三】二次根式的乘法的应用板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号).解析：根据“长方形的面积=长×宽”“圆的面积=π×半径的平方”进行计算.解：设圆的半径为rcm.所以π²=168π,r=2√42(r=-2√42舍去).方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行法则成立的条件教学反思本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数.在教学中通过则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算.第2课时二次根式的除法素养目标1.理解二次根式的性质4,会利用性质4进行二次根式的除法运算；2.理解二次根式性质4左右互换的可行性，能逆用性质4进行二次根式的化简；3.了解最简二次根式和分母有理化的概念，会将一个二次根式化成最简二次根式；4.经历二次根式性质4的探究过程，体会新旧知之间的区别与联系，激发学生自主学习的积极性.重点：理解二次根式的性质4,并能正确应用性质4计算和化简.难点：运用二次根式的性质4计算和化简.一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律?二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】二次根式的除法运算例1计算：;;解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简.解：(1)算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式.【类型二】分母有理化解析：方法一：按二次根式的除法计算.方法二：分子、分母同乘一个式子去掉分母中的根号.解：方法一：方法总结：二次根式的除法运算，除了用性质4,还可以采用分子、分母同乘以一个式子去掉分母中的根号的方法来进行.把分母中的根号去掉的过程就是分母有理化.探究点二：最简二次根式例3下列二次根式中，最简二次根式是()解析：A选项√8a中含能开得尽方的因数4,不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选项√a²+a²b中被开方数用提公因式法因式分解后得a²+a²b=a²(1+b)含能开得尽方的因数a²,不是最简二次根式.故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值例4若则a的取值范围是()解析：根据题意解得0≤a<2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式例5化简：解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式.探究点四：二次根式除法的应用求长方体的高.解析：因为“长方体的体积=长×宽×高”,所以“高=长方体的体积÷(长×宽)”,代入计算即可.解：长方体的高为(cm).方法总结：本题也可以设高为x,根据长方体体积公式建立方程求解.二次根式除二次根式除二次根式的除法法的应用分母有理化商的算术平方根的性质最简二次根式2.二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学过程这时怎样计算呢?探究点一：同类二次根式例1下列二次根式中与√2是同类二次根式的是()类二次根式.故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式.探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法例2计算： 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.解：(1)原式=2√2+4√2=(2+4)√2=6√2.(3)原式=16√3-15√3=(16-15)√3=√3.(4)原式=3√6-6√6=(3-6)√6=-3√6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并.【类型二】二次根式的加减混合运算例3计算：;;解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.解：(1)原式=2√3-√3-√3=0.到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变.【类型三】二次根式加减法的应用√2)cm,(3√3-2√2)cm,求第三边长.再去括号，合并同类二次根式.=2√3+3√2-√3-√2-3√3+2√2=(4√2-2√3)(cm).方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知为二次根式的加减混合运算.通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习.引次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式.并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯.教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比),培养学生良好的思维品质.1.理解实数的运算性质和法则同样适用二次根式的运算；2.在二次根式混合运算的过程中，感受每一步的算理和依据，体验数学知识的价值及新旧知识间的相互联系.重点：正确、熟练地进行二次根式的混合运算.难点：正确、熟练地进行二次根式的混合运算.一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为2√2cm,4√3cm,高为√6cm,那么它的面积是多少?毛毛是这样算的：梯形的面积：他的做法正确吗?二、合作探究探究点：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的四则混合运算例1计算：解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简.解：(1)原式=√16-√6+√24=4-√6+2√6=4+√6.方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.【类型二】运用乘法公式进行二次根式的混合运算例2计算：解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算.解：(1)(√5+√3)(√5-√3)=(√5)²-(√3)²=5-3=2.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计【类型三】二次根式的化简求值解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算.∵x=√3+1,y=√3-1,∴x+y=2√3,方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算.化简求值时注意整体思想的运用.【类型四】二次根式混合运算的应用例4一个三角形的底为6√3+2√2,这条边上的高为3√3-√2,求这个三角形的面积.解析：根据三角形的面积公式进行计算.解：这个三角形的面积方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算.【拓展类型一】.二次根式混合运算中的分母有理化例5计算：解析：(1)把分子、分母同乘以√2,再约分计算；(2)解：(1)【拓展类型二】.分母有理化的逆用小”,得到它们的大小关系.方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小.二次根式的四则混合运算二次根式的四则混合运算二次根式的化简求值二次根式混合运算中的分母有理化教学反思二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简.引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题.本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯.1.了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程的根的意义；2.会将一元二次方程化为一般形式，确定其二次项系数、一次项系数和常数项；3.经历通过实际问题建立一元二次方程的数学模型的过程，发展学生的数学思维，让学生感受数学学习过程中的乐趣，增强学好数学的愿望与信心.重点：一元二次方程的概念及化成一般形式.难点：通过实际问题建立一元二次方程模型.一、情境导入一个面积为120m²的矩形苗圃，它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少?设苗圃的宽为xm,则长为(x+2)m.根据题意，得x(x+2)=120.所列方程是否为一元一次方程?(这个方程便是即将学习的一元二次方程.)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别例1下列方程中，是一元二次方程的是(填入序号即可).解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是.答案为①②④方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax²+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程.【类型二】根据一元二次方程的概念求字母的值例2a为何值时，下列方程为一元二次方程?(2)(a-1)x+1+2x-7=0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x²+(a-1)x+3=0,当a-2≠0,即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|+1=2,且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.解：(1)将方程整理得(a-2)x²+(a-1)x+3=0,∵a-2≠0,∴a≠2.当a≠2时，原方程为一元二次方程.去.∴当a=-1时，原方程为一元二次方程.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.【类型三】一元二次方程的一般形式例3把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项.解：(1)去括号，得x²-2x=4x²-3x.移项、合并同类项，得3x²-x=0.二次项系数为3,一次项系数为-1,常数项为0.(2)去分母，得2x²-3(x+1)=3(一x-1).去括号、移项、合并同类项，得2x²=0.二次项系数为2,一次项系数为0,常数项为(3)移项、合并同类项，得(m+n)x²+(m-n)x+p-q=0.二次项系数为m+n,一次项系数为m-n,常数项为p-q.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘-1,使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx,则b=0;若没有出现常数项c,则c=0.探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型例4如图，现有一张长为19cm,宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm²的无盖长方体纸盒?请根据题意列出方程.解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程.解：设需要剪去的小正方形边长为xcm,则纸盒底面的长方形的长为(19-2x)cm,宽为(15-2x)cm.根据题意，得(19-2x)(15-2x)=81.整理得方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程，在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围.探究点三：一元二次方程的根例5已知关于x的一元二次方程x²+mx+3=0的一个解是x=1,求m的值.解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等.本题将x=1代入原方程，可得关于m的一元一次方程，解得m的值即解：根据方程的解的定义，将x=1代入原方程，得1²+m×1+3=0,解得m=-4,即m的值为-4.方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代知系数的值，这种方法叫作根的定义法.一元二次方程的识别一元二次方程的识别一元二次方程的根根据一元二次方程的概念求字母的值根据实际问题建立一元二次方程模型一元二次方程的一般形式一元二次方程本节课通过实例让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想.学生对一元二次方程的一般形式比较需要在教学过程中加以强调.17.2一元二次方程的解法1.配方法次方程；数学的眼光观察世界.重点：会用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程转化为形如(x+m)²=n的过程.一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h=5x²,问石头经过多长时间落到地面?二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程例1用直接开平方法解下列方程：(1)x²-16=0;(3)(x-2)²=9;(4)(2y-3解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解.注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况.解：(1)移项，得x²=16.根据平方根的定义，得x=±4,即x₁=4,x₂=—4.(2)移项，得3x²=27.两边同时除以3,得x²=9.根据平方根的定义，得x=±3,即x₁=3,x₂=-3.(3)根据平方根的定义，得x-2=±3,即x-2=3或x-2=-3,(4)根据平方根的定义，得2y-3=±4,即2y-3=4或2y-3=方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x²=a(a≥0);②(x+a)²=b(b≥0);③(a+b)²=(cx+d)²(la≠|c).探究点二：用配方法解一元二次方程【类型一】用配方法解一元二次方程例2用配方法解下列方程：(1)x²-2x-35=0;(2)3x²+8解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x+m)²=n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1,再用配方法解方程.解：(1)移项，得x²-2x=35.配方，得x²-2x+1²=35+1²,即(x-1)²=36.直接开平方，得x-1=±6.所以原方程的根是x₁=7,x2=—5.(2)方程两边同时除以3,得移项，得得所以原方程的根是,x=-3.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方.【类型二】利用配方法求代数式的值例3已知,求a-4√b的值.的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0,从而可求出a,b的值，再代入代数式计算即可.解：原等式可以写成：.解得方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关【类型三】利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围例4请用配方法说明：不论x取何值，代数式x²—5x+7的值恒为正.解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式.而代数式x²-5x+7的值恒为正.方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值.利用配方法求利用配方法求代数式的值一元二次方程的解法(配方法)利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围配方法本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法，领会降次一转化的数学思想.经历从简单到复杂的过程，从而培养学生从不同的角度进行探究的习惯和能2.公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握一元二次方程的求2.理解用公式法解一元二次方程的前提是b²—4ac≥0,会用公式法解3.经历探索求根公式的过程，培养推理技能，进一步发展逻辑思维能力.重点：一元二次方程求根公式的推导和运用公式法解一元二次方难点：一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入如果一元二次方程是一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),你能否用配方法求出它们的两根?请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax²+bx+c=0(a≠0)且b²-4ac≥0,试推导它的两个根二、合作探究探究点一：一元二次方程的求根公式例1方程3x²-8=7x化为一般形式是_,其中a=b=,C=,方程的根为_解析：将方程移项化为3x²-7x-8=0.其中a=3,b=-7,c=—8.因为b²—4ac=49-4×3×(-8)=145>0,代入求根公式可得故答案为3x²-7x-8=0,3,一7,-8,方法总结：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a,b,c确定的，只要确定了系数a,b,c的值，代入公式就可求得方程的根.探究点二：用公式法解一元二次方程例2用公式法解下列方程：(1)-3x²—5x+2=0;(3)3x²-12x+3=0.解：(1)将-3x²-5x+2=0两边同乘以-1得3x²+5x-2=0.∵a=3,b=5,c=—2,∴b²—4ac=5²—(2)∵a=2,b=3,c=3,∴b²—4ac=3≤0,∴原方程没有实数根.(3)∵a=3,b=—12,c=3,∴b²-4ac=(**方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a,b,c的值，再求出b²-4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).三、板书设计一元二次方程的解法(公式法)经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程.体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.3.因式分解法第35页发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的数学思想.重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：灵活选择适当的方法解一元二次方程.我们知道ab=0,那么a=0或b=0,类似地，解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求(x+3)(x-5)=0的解吗?【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程例1用因式分解法解下列方程：解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法.解：(1)原方程转化为x(x+5)=0,所以x=0或x+5=0,所以原方程的解为x₁=0,x₂=—5.(2)原方程转化为(x-5)(x-6)-(x-5)=0,所以原方程的解为x₁=5,x₂=7.方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0,观察是否有公因式，若有公因式，就能快速分解因式求解.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程例2用公式法分解因式解下列方程：(2)4(x-3)²-25(x-2)²=0.解：(1)原方程可变形为x²-6x+9=0,则(x-3)²=0,∴x-3=0,∴原方程的解为x₁=x₂=3.(2)[2(x-3)]²-[5(x-2)]²=-2)][2(x-3)-5(x-2)]=0,(7x-∴7x-16=0或—3x+4=0,∴原方程的解为方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.三、板书设计利用提公因式法分解利用提公因式法分解因式解一元二次方程一元二次方程的解法(因式分解法)利用公式法分解因式解一元三次方程解因式是一元二次方程中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度.牢牢把握用因式分解法解一二次方程的理解.想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力.重点：运用根的判别式判别一元二次方程根的情况.难点：一元二次方程根的判别式的灵活运用.教学过程2.能力展示：分组比赛解方程.(3)x²—x+2=0.观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现?【类型一】利用根的判别式判断一元二次方程根例1已知一元二次方程x²+x=1,下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x²+x-1=0.∵b²—4ac=1-4×1=5>0,∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式无实数根.【类型二】根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围例2若关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b²-4ac>0,同时要求二次项系数不为0,即解得k>-1且k≠0.故选B.易错提醒：利用b²-4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合例3已知a,b,c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b²x²+(b²+c²—a²)x+c²=0没有实数根.解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式△≤0即可.由a,b,c是三角形三条边的长可知a,b,c都是正数，由三角形的三边关系可知a+b>c,a+c>b,b+c>a.+c²-a²)x+c²=0是关于x的一元二次方程.∴△=(b²+c²-a²)²-4b²c²=(b²+c²—a²+2bc)(b²+c²—a=(a+b+c)[(b+c)-a][(a+b)—c][a,b,c是三角形三条边的长，∴a>0,b>0,c>0,且a+b+c>0,b-(a+c)≤0,∴(a+b+c)[(b+c)-a][(a+b)[b-(a+c)]<0,即△<0.∴原方程没有实数根.方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定△符号.【类型四】利用根的判别式解决存在性问题例4是否存在这样的非负整数m,使关于x的一元二次方程m²x²- (2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.解：不存在，理由如下：假设m²x²-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根，则[-(2m-1)]²-4m²>0,解得∵m为非负整数，∴m=0.而当m=0时，原方程m²x²-(2m-1)x+1=0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾.∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根.易错提醒：在求出m=0后，常常会草率地认为m=0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面.一元二次方程根的判一元二次方程根的判一元二次方程根的判别式根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围利用根的判别式判断一元二次方程根的情况利用根的判别式解决存在性问题应用.学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.素养目标素养目标理，体验归纳、验证以及演绎证明等数学思维过程.重点：一元二次方程根与系数的关系及其推导过程及应用.难点：一元二次方程根与系数的关系的推导过程.一、情境导入(3)x²—5x+6=0.探究点一：一元二次方程的根与系数的关系例1利用根与系数的关系，求方程3x²+6x-1=0的两根之和、两根之积.解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得.解：这里a=3,b=6,c=-1.∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x,x2,那么x+x₂=-2,方法总结：如果方程则【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值例2设x,x₂是方程2x²+4x-3=0的两个不相等的实数根，利用根与解析：先确定a,b,c的值，再求出x₁+x₂与xx₂的值，最后将所求式子做适当变形，把x+x₂与xx₂的值整体代入求解即可.解：根据根与系数的关系，得x₁+x₂=-2,方法总结：先确定a,b,c的值，再求出x₁+x₂与xx₂的值，最后将所求式子做适当的变形，把x₁+x2与xx₂的值整体代入求解即【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根例3已知方程5x²+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值.解析：由方程5x²+kx-6=0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值.解：设方程的另一个根是x,则4..又∵4*k=-7.方法总结：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0,b²-4ac≥0),当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和.【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用 例4已知α,β是关于x的一元二次方程x²+(2m+3)x+m²=0的两个不相等的实数根，且满求m的值.化简整理，得m²—2m-3=0.解得m=3或m=-1.当m=-1时，方程为x²+x+1=0,此时△=1²-4<0,方程无解，∴m=-1应舍去.当m=3时，方程为x²+9x+9=0,此时△=9²-4×9>0,方程有两个不相等的实数根.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0,这一点很容易被忽略.三、板书设计利用根与系数的关利用根与系数的关系求代数式的值一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系求方程的根或字母系数的值判别式及根与系数关系的综合应用教学反思教学反思以及演绎证明.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发神.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.素养目标素养目标数学的“应用意识”.重点：寻找等量关系，用一元二次方程解决实际问题.难点：题意的理解及正确列出方程.教学过程教学过程天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，【类型一】增长(降低)率问题例1某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%,改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3,4月份销售额的月平均增长率.解：设3,4月份销售额的月平均增长率为x.根据题意，得60(1-10%)(1+x)²=121.5,则(1+x)²=2.25,解得x₁=0.5,x₂=—2.5(不合题意，舍去).答：3,4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量，如果设基础量为a,变化后的量为b,平均每年的增长率(或降低率)为x,则两年后的值为a(1±x)².由此列出方程a(1±x)²=b,求出所需要的量.【类型二】商品销售问题例2某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少?解：设每件商品涨价x元，根据题意，得(50+x-40)(500-解得x₁=10,x₂=30.经检验，x=10,x₂=30都是原方程的解.当x=10时，售价为10+50=60(元),销售量为500-10×10=400当x=30时，售价为30+50=80(元),销售量为500-10×30=200∵要尽量减少库存，∴取x=10,此时售价应为60元.答：售价应为60元.易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”,它是取舍答案的一个重要依据.例3要对一块长60米，宽40米的长方形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案如图所示，长方形P,Q为两块绿地，其余为硬化路面，P,Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为长方形ABCD面积的求P,Q两块绿地周围的硬化路面的宽.cc根据题意，得解得xi=10,x₂=30.检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30=60>40,不符合题意，所以x₂=30舍去，故x=10.答：P,Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米.际问题中是否有意义.在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有"荒地ABCD是一块长60米，宽40米的长方形”这个已知条件，显然x=30不符合题意.例4为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元，并提出“超额高费措施”,即每户每月定额用水不超过12m³,超过12m³的部分，另加收每立方米2元的高额排污费.(1)某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3m³,这使得260m³的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米?(2)如果该户居民响应节水号召后，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%,其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元?解析：(1)本题的等量关系有两个：计划月平均用水量+3=原月平均用水量；计划用水时间一原用水时间=6;(2)该户一年需交水费=超计划用水费用+计划用水费用.解：(1)设这户居民计划平均每月用水xm³.由题意，.去分母，化简得x²+3x-130=0,解得x₁=10,x₂=—13.经检答：这户居民计划平均每月用水10m³.(2)该户居民有四个月的月平均用水量为10(1+40%)=14(m³),需交水费[14×2.1+(14-12)×2]×4=133.6(元),其余八个月需交水费10×2.1×8=168(元).∴该户居民一年需交水费为133.6+168=301.6(元).答：该户居民一年需交水费301.6元.的值是否使实际问题有意义.几何问题几何问题商品销售问题一元二次方程的应用方程的分式方程增长(降低)率问题系，并能运用一元二次方程对其进行描述.通过用一元二次方程解第1课时勾股定理的思想.重点：勾股定理的探索及利用勾股定理进行简单计算.难点：利用数形结合的思想验证勾股定理.一、情境导入正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究探究点一：勾股定理的证明例1作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再作三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形.求证：a²+b²=c².解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a+b,因此它们的面积相等.我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a+b,∴它们的面积相等.左边的正方形面积可表示为形面积可表示为*右边的正方b²=c².方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理.探究点二：勾股定理【类型一】直接利用勾股定理求长度例2如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,解析：先运用勾股定理求出AC的长，再根据解：∵在△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,∴由勾股定理得AC²=AB²-BC²=5²-3²=4²,∴AC方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用.【类型二】利用勾股定理求面积例3如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中△ABE的面积为,阴影部分的面积为_解析：因为AE=BE,∠E=90°,所以E².又理可得又因为AC²+BC²=AB²,所以阴影部分的面积故分别方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系.【类型三】勾股定理与数轴例4如图，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是()解析：图中的直角三角形的两直角边长为1和2,∴斜边长为√12+22=√5.∴-1到A的距离是√5.那么点A所表示的数为√5-方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离.【类型四】利用勾股定理证明等式例5如图，已知AD是△ABC的中线.求证：AB²+AC²=2(AD²+DC²).解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明.(DB-DE)²+(DC+DE)²=2AD²-2DEAD是△ABC的中线，∴DB=DC,∴AB²+AC²=2AD²+2DC²=2(AD²方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来.一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题.【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算例6如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′,且B'C=3,则2,解得x=2,即AM=2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x,然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用CD=25,∴△ABC的周长为25+20+15=60.当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD=16,CD=9.∴BC=BD-CD=7,∴△ABC的周长为7+20+15=42.综上所述，△ABC的周长为42或60.分类讨论思想在勾分类讨论思想在勾股定理中的应用勾股定理勾股定理与其他几何知识的综合运用利用勾股定理求长度和面积勾股定理的证明教学反思联系.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.第2课时勾股定理的应用素养目标素养目标空间观念，培养学生分析问题和解决问题的能力.重点：利用勾股定理解决简单的实际问题.难点：从问题情境中抽象出数学模型.教学过程教学过程一、情境导入一个门框的宽为1.5m,高为2m,如图所示，一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?【类型一】勾股定理的直接应用例1如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m,此人以0.5m每秒的速度收绳.问6s后船向岸边移动了多少(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC=5m,BC=13m,即可求得AB的值，6s后根据BC,AC长度即可求得AB的值，然后解答即可.解：在Rt△ABC中，BC=13m,AC=5m,=√B'C²-AC²=5√3m,则船向岸边移动距离为(12-5√3)m.方法总结：本题直接考查勾股定理在直角三角形中的运用，求出6秒后AB的长度是解题的关键.【类型二】利用勾股定理解决方位角问题例2如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100√3m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100m到达目的地C点，求出A,C两点之间的距离.解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.在Rt△AC=√AB²+BC²=√(100√3)²+100²=200两点之间的距离为200m.方法总结：先确定是直角三角形，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长.【类型三】利用勾股定理解决最短距离问题例3如图，长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上，且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?解：分三种情况比较最短距离：如图①所示，AM=√10²+(20+5)²=5√29(cm);如图②所示，AM=√20²+(10+5)²=25(cm);如图③所示，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可.【类型四】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用例4如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路程都是15m,求树高AB.CC解析：Rt△ABC中，∠B=90°,则满足AB²+BC²=AC².根据两猴子的路程可求得BC=15-DB=5m,设AD=xm,则AC=(15-AB=(10+x)m,再解方程组可以求x的值，即可计算树高AB.解：∵两猴子经过的路程都是15m,∴BC=15-DB=5m,设∠B=90°,由勾股定理得(10+x)²+5²=(15-x)²,解得x=2,即方法总结：勾股定理表达式中有三个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解.三、板书设计勾股定理与方程思想勾股定理与方程思想数形结合思想的应用勾股定理的应用利用勾股定理解决最短距离问题利用勾股定理解决方位角问题勾股定理的直接应用教学反思通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力.第1课时勾股定理的逆定理素养目标素养目标1.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；2.知道什么是勾股数，探索常见勾股数的规律；3.经历勾股定理逆定理的探索过程，培养学生的观察、猜想能力.重点：掌握勾股定理的逆定理的证明及运用.难点：勾股定理的逆定理的证明.教学过程离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗?例1判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.(1)在△ABC中，∠A=20°,∠B=70°;(3)△ABC的三边长a,b,c满足(a+b)(a-b)=c².解析：(1)已知两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证.解：(1)在△ABC中，∵∠A=20°,∠B=70°,∴∠C=180°-∠A-∠B=90°,即△ABC是直角三角形.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形.勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形.边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和.例2下列几组数中是勾股数的是(填序号).解析：第①组不符合勾股数的定义，不是勾股数；第③是正整数，不是勾股数；只有第②组的9,40,41是勾股数，故填方法总结：判断勾股数的方法：必须满足两个条件等式a²+b²=c²;二要都是正整数.勾股数利用勾股定理的逆定理判断直角三角形勾股数勾股定理的逆定理力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养.第2课时勾股定理的逆定理的应用实际问题；发散思维能力、分析问题和解决问题的能力.重点：应用勾股定理的逆定理解决实际问题.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.一、情境导入BC=24m.现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地的绿化需要投入多少钱?二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】求边长BD=15,AD=8,求AC的长.解析：在△ADC中，已知一边及其对角，要求另一边.若△ADC不是特殊三角形，则难以求解.因此，必须首先判定△ADC的形状，然后再解决计算问题.解：在△ADB中，AD²+BD²=8²+15²=17²=AB².由勾股定理的逆定理可知，△ADB为直角三角形，所以∠ADB=90°,所以∠ADC=90°.在Rt△ADC中，因为∠C=60°,所以∠CAD=30°.设DC=x,则AC=2x.由勾股定理，得x²+8²=(2x)²,即3x²=64.方法总结：利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，一般先比较出三条边的大小(若是具体的数值很容易发现；若是一个整式常用作差的方法来确定三条边的大小),再通过勾股定理的逆定理进行判断.【类型二】求角度cc例12如图，已知AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=2√3,则∠DAB=·解析：欲求∠DAB,须先把它转化为三角形的内角或几个内角和.连接AC,易知△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=45°.从而只需求出∠DAC的大小，在Rt△ABC中，由勾股定理，得由勾股定理的逆定理可知△ACD为直角三角形，∠DAC=90°.所以∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°.故填135°.方法总结：本题从构造三角形，判定为直角三角形，到勾股定理的应用，充分体现了勾股定理及其逆定理的相互结合，相辅相【类型三】求面积例3如图，AD⊥CD,AB=13,BC=12,CD=3,AD=4,求四边形ABCD的面积.解析：四边形ABCD由两个三角形组成，其中△ACD是已知的直角三角形，面积易求.而已知△ABC的两边，形状未知，因此要求其面积，要先应用勾股定理的逆定理来判定它是直角三角形.由于已知△ABC的两边，需要求出第三边，这可在△ACD中用勾股定理求出，最后再求出两个直角三角形的面积，即可得到答案.解：∵AD⊥CD,CD=3,AD=4,∴由勾股定理得AC=5.在△的逆定理可知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.∴【类型四】勾股定理逆定理的实际应用例4如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A,B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离走私艇C12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海?解析：已知走私艇的速度，求出走私艇离我国领海线的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海.解题的关键是得出走私艇离我国领海线的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程.解：设MN与AC相交于E,则∠BEC=90°.∵AB²+BC²=5²+12²=13²=AC²,∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°.∵MN⊥CE,**∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由**(小时)=51(分钟),9时50分+51分=10时41分.答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海.方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言.三、板书设计教学反思教学反思直角三角形的性质和判定方法做了归纳总结.由于学生对于两个定理的直接应用有了一定的基础，所以本节课的安排以灵活应用为主，循序渐进、由易到难设计例题和练习，收到了较好的教学效果.第1课时多边形及其内角和素养目标素养目标考、乐于交流的良好学习习惯.重点：多边形内角和定理的推导.难点：运用多边形内角和定理进行相关计算.教学过程教学过程观察下列图片，你能找出哪些我们熟悉的图形?多边形?如何定义多边形呢?例1一个长方形剪去一个角，则它有可能是边形.解析：如图所示，沿对角线剪去时，可得到三点和另一边上的一点剪时，可得到四边形；当沿相邻两边上的两点(不包含两端点)剪时，可得到五边形.故填：三或四或五.方法总结：掌握多边形的概念是解决此类问题的关键，但注意分类讨论不要遗漏.例2五边形ABCDE中，从顶点A最多可引条对角线，把这个五边形分成个三角形.若一个多边形的边数为n,则从一个顶点最多可引条对角线.解析：不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形中，与一个顶点不相邻的顶点有(n-3)个，因而对角线有(n-3)条.这 (n-3)条对角线可以把这个n边形分成(n-2)个三角形.据此即可求解.五边形ABCDE中，从顶点A最多可引2条对角线，可以把这个五边形分成3个三角形.若一个多边形的边数为n,则从一个顶点最多可引(n-3)条对角线.故答案是2,3,(n-3).角线的确定方法是解答此题的关键.问题引入：我们知道，三角形的内角和是180°,长方形的内角和是360°,那么任意一个四边形的内角和是多少度?你能证明你的结论吗?任意一个四边形的内角和是360°,由于四边形的一条对角线将角形的相关知识加以解决.如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC,则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.求证：四边形的内角和是360°.BB证明：在△ABC中，由三角形内角和定理，得∠1+∠B+∠3=180°.同理∠2+∠D+∠4=180°,由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(归纳：五边形从一顶点可以引2条对角线，可以把这个五边形分成3个三角形，内角和为180°×3=540°.六边形从一顶点可以引3条对角线，可以把这个六边形分成4个三角形，内角和为180°×4=720°.由此类推，任意一个n边形的内角和是180°×(n—2).例3已知一个多边形的内角和为900°,求边数n的值.解析：根据多边形内角和公式(n-2)×180°(n≥3且n为整数),已知内角和为900°,通过列方程求解n的值.解：∵多边形内角和公式为(n-2)×180°,且内角和为900°,方法总结：已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决.多边形的概念多边形的概念多边形多边形的内角和本节课主要探索多边形的内角和公式.内角和是化归为三角形将问题解决，化归思想是数学中的重要思想方法，应对学生进行训练和强化.1.了解多边形的外角和、正多边形等概念，了解四边形的不稳定2.探索、归纳多边形的外角和定理，并能运用定理进行相关计算.重点：多边形外角和定理的推导.难点：运用外角和定理进行相关计算.一、情境导入展示生活中的多边形图片，如五角星、六角螺母、自行车轮的辐条组成的图形等，让学生观察这些图形的外角.提出问题：“同学们，我们已经学习了多边形的内角和，那么多边形的外角和又有什么规律呢?比如我们常见的正三角形、正方形，它们的外角和是多少呢?”引导学生思考并回答，初步感知多边形外角和的存在，激发学生的学习兴趣，从而导入新课.二、合作探究探究点一：多边形的外角和例1如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°,则∠5的度数为()解析：由题意得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,∵∠1+∠2+∠3+∠4=280°,∴∠5=360°—280°=80°,故选B.方法总结：本题考查了多边形的外角和，应熟记任意多边形的外角和都等于360°.探究点二：正多边形求这个正例2一个正多边形的每个外角都等于与它相邻的内角的十求这个正多边形的边数.解析：正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等，可以根据正多边形的内角和、外角和与边数的关系求解，也可以根据相邻的内角和外角的互补关系求解.解：解法1:(直接设元法)正多边形的边数为n,则它的每个得n=7.答：这个正多边形的边数是7.解法2:(间接设元法)设这个正多边形的每个内角为x°,则每个外角为.由题意，得解得∴每个外角是,∴这个正多边形的边数为360÷答：这个正多边形的边数为7.方法总结：(1)正多边形的每一个内角都相等，每一个外角也都相等；(2)正n边形的每一个内角都等于(3)正n边形的每一个外角都等于(4)多边形的每个内角与其相邻的外角都互补.探究点三：四边形的不稳定性例5下列图形中具有稳定性的是()解析：三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，因而具有稳定性的是方法总结：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获三、板书设计多边形的外角多边形的外角和：等于360°和及正多边形正多边形：各条边、各内角都相等四边形具有不稳定性在本节课的教学过程中，要充分调动学生的学习积极性和主动性.对于多边形外角和的推导，要引导学生从已有的知识经验出发，逐步建立内角和与外角和之间的联系，帮助学生理解推导过程的逻辑性和严谨性.在讲解正多边形的性质时，要结合具体的实例，让学生直观感受正多边形的特点，便于学生理解和记忆.第1课时平行四边形的边、角的性质素养目标素养目标1.理解平行四边形的概念，会用符号表示平行四边形；2.掌握平行四边形的性质1和性质2,并能用性质1和性质2进行相3.经历平行四边形性质1、2的探索过程，丰富学生的数学活动经验，进一步培养和发展学生的合情推理能力.重点：探索平行四边形的性质1和性质2.难点：运用平行四边形的性质1和性质2进行相关计算与证明.教学过程教学过程一、情境导入平行四边形是我们常见的一种图形(如图),它具有十分和谐的对称美.它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?探究点一：平行四边形的定义例1如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D,∠1=∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形.解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB,根据平行线的判定推出AD//BC,AB//CD,根据平行四边形的定义推出即可.证明：∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∴AB//CD.∴四边形ABCD是平行四边形.方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形【类型一】利用平行四边形的性质求线段长BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE=2,则AD=+解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE=AF=2,AD=案为7.数为()pp例4如图，点G,E,F分别在=ABCD的边AD,DC和BC上，FP=EP.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠DGC=方法总结：本题的综合性比较强，考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等.【类型四】判断直线的位置关系BB试问直线DM和MC有何位置关系?请证明.解析：由AB=2AD,M是AB的中点的位置关系，可得出DM,CM分别是∠ADC与∠BCD的平分线.又由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°,进而可得出DM与MC的位置关系.解：DM⊥MC.证明如下：∵M是AB的中点，∴AB=2AM.又行四边形，∴AB//CD,AD//BC.∴∠AMD=∠MDC.∴∠ADM=MC.的计算、证明等问题.三、板书设计平行四边形的定义平行四边形的定义平行四边形的边、角的性质利用平行四边形的利用平行四边形的性质证明有关结论性质求角度和边长转化的数学思想，通过观察、分析、归纳，使学生养成自主学习的良好习惯，为后期的学习打基础.第2课时平行线间的距离1.通过实例认识“平行线之间的距离”,探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”这一性质，培养抽象能力和空间观念.2.通过推理证明掌握“夹在两条平行线间的线段处处相等”的性质，发展类比推理能力.重点：掌握平行线间的距离的概念.难点：探索并证明“夹在平行线间的距离处处相等”这一性质.教师展示生活中的平行线实例：如铁轨的两条钢轨、楼梯的扶手、黑板的上下边缘等.提问学生：“这些实例中的两条平行线，它们之间的‘距离’是指什么?如果想知道铁轨两条钢轨之间的宽度(即距离),我们该如何测量?测量时选择不同的位置，结果会不一样吗?”引导学生结合生活经验思考“距离的定义”和“测量一致性”,由此引出本节课的主题——平行线间的距离.二、合作探究探究点一：平行线间的距离操作探究：如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出这些垂线段的长度.经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等.猜想：平行线间的距离处处相等.如图，直线a//b,A,B是直线a上任意两点，ACLb,BD⊥b,垂证明：∵AC⊥CD,BD⊥CD,∴∠1=∠2=90°.∴AC//总结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.思考：若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢?它们是否相等呢?由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形的性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.探究点二：平行线与面积相关问题例2如图，已知l₁//L₂,点E,F在L上，点G,H在I上.求证△EGO与△FHO面积相等.解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明.证明：∵I₁//l₂,∴点E,F到I₂之间的距离都相等，设为∴FGH—S△GOH.∴△EGO的面积等于△FHO的面积.方法总结：解决问题的关键是明确同底等高的两积相等，再结合两平行线间的距离即可得出结论.平行线之间的距离处处相等教学反思教学反思结合几何图形演示“多点作垂线”,直观验证“平行线间的距离处处相等”,学生