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文档简介

第2章

空间向量与立体几何

2.4.2第1课时

直线与直线垂直、直线与平面垂直

由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置.直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系方法利用向量运算来判定直线的方向向量、平面的法向量

位置关系向量表示图示向量运算坐标运算

直线与直线、直线与平面位置关系转化向量的坐标运算如图，过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影（也叫投影）．1.直线与直线垂直

预先给定平面α，空间任意一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成的图形，称为这个图形在平面α上的射影．①如果直线

l

垂直于平面α，那么

l

在α上的射影是一个点，就是

l

与α的交点．想一想：直线

l

在平面α上的射影是什么图形?②如果直线

l

与平面α不垂直，

l

在α上的射影就是一条直线．向量与垂直我们知道，与平面α相交但不垂直的直线是平面α的斜线．关于平面α的斜线

l

的射影，有如下结论：三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在这个平面内的射影也垂直．如何证明这两个定理呢例1

已知AB，AC分别是平面

α

的垂线和斜线，BC是AC在

α

内的射影，l

⊂α且

l⊥BC．求证：l⊥AC．

三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在这个平面内的射影也垂直．

1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC1中点．求证：CE⊥BD．证明：证明直线与直线垂直的步骤：方法归纳注意：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可以转化为两直线的方向向量互相垂直.

如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直，这就是直线与平面垂直的判定定理．如何用向量知识来证明它呢？2.直线与平面垂直向量与垂直

直线l的方向向量

与平面的法向量

共线,则直线与平面垂直.

2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．“判定定理法”—一条直线垂直于平面内的两条相交直线方法一：2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．“向量法”—方向向量

与法向量共线方法二：证明直线与平面垂直的步骤：方法一：方法二：方法归纳针对以下关键词回顾本节课所学知识，谈谈你的收获.

B2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是P

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