2026年高等数学极限概念习题集真题

2026年高等数学极限概念习题集真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.当x→2时，函数f(x)=3x²-5x+2的极限值为（）A.4B.5C.6D.82.下列函数中，当x→0时极限存在的是（）A.|x|sin(1/x)B.e^(-1/x)C.sin(1/x)D.xln|x|3.若lim(x→a)f(x)=A且lim(x→a)g(x)=B，则下列结论正确的是（）A.lim(x→a)[f(x)•g(x)]=ABB.lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）C.lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A-BD.lim(x→a)[f(x)-g(x)]=04.函数f(x)=√(x-1)的定义域为（）A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)5.若lim(x→0)(3x+k)/x=5，则k的值为（）A.2B.3C.5D.76.函数f(x)=ln(x²-4)的连续区间为（）A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-2,2)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.若lim(x→∞)(ax²+bx+c)/(x²+1)=2，则a的值为（）A.2B.1C.0D.-18.函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（）A.有极限B.连续C.极限不存在但可去间断D.极限不存在但跳跃间断9.若lim(x→1)[f(x)-3]/(x-1)=2，则lim(x→1)f(x)等于（）A.1B.3C.5D.不存在10.函数f(x)=e^x在x→-∞时极限为（）A.0B.+∞C.-∞D.1二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=k，则k=______。2.函数f(x)=1/(x-1)在x→1时极限为______。3.若lim(x→0)(sinx)/x=1，则当x→0时，sinx≈______。4.函数f(x)=√(x²+1)在x→-∞时极限为______。5.若lim(x→∞)(3x²-2x+1)/(x+5)=k，则k=______。6.函数f(x)=tanx在x→π/2时极限为______。7.若lim(x→0)(e^x-1)/x=1，则当x→0时，e^x≈______。8.函数f(x)=ln(1+x)在x→0时极限为______。9.若lim(x→1)[f(x)-2]/(x-1)=3，则lim(x→1)f(x)=______。10.函数f(x)=sinx在x→0时极限为______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若lim(x→a)f(x)存在，则f(x)在x=a处必连续。（）2.函数f(x)=|x|在x→0时极限为0。（）3.若lim(x→a)f(x)=∞，则f(x)在x=a处无定义。（）4.函数f(x)=e^x在x→-∞时极限为0。（）5.若lim(x→a)f(x)存在且等于A，则lim(x→a)|f(x)|=|A|。（）6.函数f(x)=1/x在x→0时极限不存在。（）7.若lim(x→a)f(x)不存在，则f(x)在x=a处必间断。（）8.函数f(x)=sin(1/x)在x→0时极限为0。（）9.若lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A，则lim(x→a)f(x)=A且lim(x→a)g(x)=0。（）10.函数f(x)=lnx在x→0时极限为-∞。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述函数极限的定义（ε-δ语言）。2.判断函数f(x)=x²在x→2时极限是否存在，并说明理由。3.解释函数极限与函数连续性的关系。4.列举三个极限不存在的函数，并说明原因。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.计算lim(x→0)(e^x-1-x)/x²。2.求函数f(x)=3x²-5x+2在x→-∞时的极限。3.若lim(x→1)[f(x)-3]/(x²-1)=2，求f(1)。4.判断函数f(x)=x³-2x在x→-∞时的极限，并说明理由。【标准答案及解析】一、单选题1.A；原式=3×2²-5×2+2=42.A；|x|sin(1/x)有界且x→0时1/x无界，乘积极限为03.A；根据极限运算法则，lim(x→a)[f(x)•g(x)]=lim(x→a)f(x)•lim(x→a)g(x)=AB4.B；√(x-1)有意义需x-1≥0，即x≥15.A；原式=lim(x→0)(3+k/x)=5，则k=26.A；ln(x²-4)有意义需x²-4>0，即x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)7.A；分子分母同除x²，原式=lim(x→∞)(a+b/x+c/x²)/(1+1/x²)=a=28.D；sin(1/x)在x→0时振荡无极限，但x=0处为可去间断点9.C；原式变形为f(1)-3=2，则f(1)=510.A；e^x在x→-∞时指数趋近0，极限为0二、填空题1.4；原式=(x+2)(x-2)/(x-2)=x+2，极限为42.-∞；x→1时1/(x-1)绝对值无限大3.x；当x→0时，sinx≈x（泰勒展开首项）4.+∞；x→-∞时x²+1→+∞，√(x²+1)→+∞5.3；分子分母同除x，原式=lim(x→∞)(3-2/x+1/x²)/(1+5/x)=36.不存在；tanx在x→π/2时左右极限不同7.1；原式变形为e^x=1+x+o(x)，极限为18.0；ln(1+x)在x→0时≈x，极限为09.5；原式变形为f(1)-2=3，则f(1)=510.0；sinx在x→0时≈x，极限为0三、判断题1.×；极限存在不一定连续，如f(x)=1/x在x=0处无定义2.√；|x|在x→0时趋近03.×；极限为∞表示函数无限增大，但可能无定义4.√；e^x在x→-∞时趋近05.√；根据极限绝对值性质，|f(x)|→|A|6.√；1/x在x→0时绝对值无限大7.×；极限不存在可能因振荡，如sin(1/x)8.×；sin(1/x)在x→0时振荡无极限9.×；正确应为lim(x→a)f(x)=A且lim(x→a)g(x)=B10.√；lnx在x→0⁺时极限为-∞四、简答题1.定义：对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε恒成立。2.存在；原式=4，根据极限定义，f(x)在x→2时趋近4。3.函数在x=a处极限存在且等于f(a)，则称f(x)在x=a处连续。4.(1)sin(1/x)；振荡无极限(2)e^(-1/x)；左右极限不同(3)|x|si