河南省洛阳市西工区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年河南省洛阳市西工区八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.利用直角三角板，画△ABC的高，下列画法正确的是(

)A. B. C. D.3.同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是(

)A. B. C. D.4.有四个条件：①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角；②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3；③△ABC中，∠A−∠B=∠C；④△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5.其中不能确定△ABC是直角三角形的是(

)A.① B.② C.③ D.④5.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于(

)

A.57∘ B.53∘ C.60∘6.一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为(

)A.4 B.6 C.8 D.4或87.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是(

)

A.24 B.30 C.36 D.428.如图，等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点F，点G是线段EF上的一动点，若△ABC的面积是6cm2，BC=6cm，则△ADG的周长最小值是(

)A.4.5cm B.5cm C.5.5cm D.6cm9.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC=90∘.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是(

)

A.1m B.1.6m C.1.8m D.1.4m10.

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于点H,下面说法正确的是()。①△ABE的面积等于△BCE的面积②∠AFG=∠AGF③∠FAG=2∠ACF④BH=CHA.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.命题“等边三角形的三个内角都是60∘”的逆命题是：

.12.正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，(3,4)，(−1,4)，则此正方形的重心坐标为

.13.如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30∘，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15∘，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为______米.14.如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：______，使得△ABD≌△ACD.

15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50∘，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=50∘，DE交线段AC于点E.当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题9分)

如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70∘.

(1)若∠ABC=60∘，求∠DAE的度数；

(2)求17.(本小题9分)

如图，已知：△ABC.

(1)过点A在△ABC的外部作∠BAD=∠B.(要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)结合(1)所作图形，证明：∠BAC+∠B+∠C=180∘18.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A(−1,3)，B(−3,−2)，C(1,1).直线l过点C且平行于y轴.

(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，(其中点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1)；

(2)点A1的坐标是______，点B1的坐标是______；

(3)如果M(a,b)为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点M关于直线l的对称点19.(本小题9分)

如图，已知∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE.求证：∠B=∠D.20.(本小题9分)

求证：等腰三角形两底角的平分线相等.根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”.

已知：在△ABC中，______，BD和CE是△ABC的角平分线.

求证：______.

证明：21.(本小题10分)

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于点K.

(1)求证：AD垂直平分EF.

(2)若∠BAC=60∘，求证：22.(本小题10分)

如图，在边长为4cm的等边△ABC中，点P，Q分别是边AB，BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中.

(1)求证：△ABQ≌△CAP.

(2)连接PQ，当点P，Q运动______秒时，△PBQ是直角三角形.23.(本小题10分)

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.

简述理由如下：

由作图知，∠PGO=∠PHO=90∘，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB任务：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______(填序号).

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由.

(3)如图3，已知∠AOB=60∘，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30∘时，直接写出∠OEP的度数参考答案一、选择题1.B

2.C

3.D

4.A

5.A

6.A

7.B

8.B

9.D

10.

A

二、填空题11.如果一个三角形的三个内角都等于60∘，那么这个三角形是等边三角形12.(1,2)

13.25

14.AB=AC(答案不唯一)

15.30∘或15三、解答题16.解：(1)在△ABC中，∠ABC=60∘，∠C=70∘，

∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠C=180∘−60∘−70∘=50∘，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=12∠BAC=12×50∘=25∘.

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90∘，

∴∠CAD=180∘−∠ADC−∠C=180∘−90∘−70∘=20∘，

∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=25∘−20∘=5∘；

(2)在△ABC中，∠C=70∘，

∴∠ABC+∠BAC=180∘−∠C=180∘−70∘=110∘，

∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，

∴∠BAO=12∠BAC，∠ABO=12∠ABC，

∴∠BAO+∠ABO=12∠BAC+12∠ABC=12(∠ABC+∠BAC)=12×110∘20.解：已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线．

求证：BD=CE.

故答案为：AB=AC；BD=CE.

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵BD和CE是△ABC的角平分线，

∴∠DBC=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB，

∴∠DBC=∠ECB，

在△DBC和△ECB中，

∠DCB=∠EBCBC=CB∠DBC=∠ECB，

∴△DBC≌△ECB(ASA)21.证明：(1)∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE=∠DAF，

∵DE，FF分别是△ABD和△ACD的高，

∴∠AED=∠AFD=90∘，

∵AD=AD，

∴△ADE≌△ADF(AAS)，

∴AE=AF，DE=DF，

∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，

∴AD垂直平分EF.

(2)∵AD平分∠BCA，∠BAC=60∘，

∴∠DAE=12∠BAC=30∘，

∵∠AED=90∘，

∴AD=2DE，

∵EF⊥AD，

∴∠EKD=90∘，

∵∠ADE=90∘−30∘=60∘，

∴∠DEK=90∘−60∘=30∘，

∴DE=2DK，

∴AD=4DK，

∴AK=3DK.

22.(1)证明：依题意得：BQ=AP，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=CA，∠B=∠CAP=60∘，

在△ABQ和△CAP中，

AB=CA∠B=∠CAPBQ=AP，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

(2)解：设点P，Q运动的时间为t秒，

∴BQ=AP=tcm，

∵△ABC为等边三角形，且边长为4cm，

∴∠B=60∘，AB=4cm，

∴BP=AB−AP=(4−t)cm，

当△PBQ是直角三角形时，有以下两种情况，

①当∠PQB=90∘时，如图1所示：

在Rt△PBQ中，∠BPQ=90∘−∠B=30∘，

∴BQ=12BP，

∴t=12(4−t)，

解得：t=43，

即当点P，Q运动43秒时，∠PQB=90∘，此时△PBQ是直角三角形；

②当∠QPB=90∘时，如图2所示：

在Rt△PBQ中，∠BQP=90∘−∠B=30∘，

∴BP=12BQ，

∴4−t=12t，

解得：t=83，

即当点P，Q运动83秒时，∠PQB=90∘，