上海市延安中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题(含解析)

2026年延安中学高二3月月考一、填空题(每小题3分，共36分)1.抛物线y2=2.直线x−2y3.已知球的表面积为4π，则该球的体积为_____.4.直线x−3y+1=05.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为正方形BCC6.已知函数fx=cosx27.直线x+y+3=08.若limh→0f9.已知倾斜角为3π4的直线l与曲线y=x+1xx>010.如图所示,(直径为4的球放地面上,球上方有一点光源P,则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆,已知是A1A2椭圆的长轴,PA111.F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,12.已知实数a、b、c、d满足b二、选择题(每小题3分，共12分)13.下列求导正确的是()A.ln10′C.xex14.(m=−1”是直线l1:mx+2yA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.函数y=A.严格增函数B.在0,1e上是严格增函数,在C.严格减函数D.在0,1e上是严格减函数,在16.设P为曲线C:y2=4x上的任意一点,记P到C的准线的距离为d.若关于点集A=①任意r∈0,+∞，A∩B中总有2个元素；②存在r∈0A.①成立，②成立B.①不成立，②成立C.①成立，②不成立D.①不成立，②不成立三、解答题(共52分)17.已知函数fx(1)若函数fx在x=1处取得极小值-4，求实数(2)写出当a<0时函数y18.如图,在直三棱柱ABC−A1B1(1)求四棱锥A1−(2)求二面角B1−19.已知函数fx(1)求函数y=gx在(2)函数y=mfx+2gx(其中20.如图的封闭图形的边缘由抛物线Γ和垂直于抛物线对称轴的线段AB组成;已知AB=4,抛物线的顶点到线段AB(1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘;(2)在该封闭图形上截取一个矩形CDEF，其中点C,D在线段AB上，点E,F在抛物线Γ上；已知圆柱以CF为母线、矩形(3)求证:抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上；21.已知Px0,y0是焦距为42的双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一点，过P的一条直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于P1x1,y1,P2x2,(1)若双曲线C的虚轴长为4，求该双曲线的方程；(2)求证:x1x(3)判断以AB为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由；1.x对照抛物线的标准方程y2得抛物线y2=x中,2p=1所以抛物线y2=x的准线方程为2.arctanx−所以直线x−2y−1=0的斜率为3.4设球体的半径为R,根据已知有:4πR2=4π,解得R故答案为:434.arctan2设直线x−3y+1=0与直线方法一:根据两直线夹角的余弦公式，可得cosθ所以直线x−3y+1=0与直线方法二:设直线x−3y+1=0的倾斜角为α,直线由x−3y+1=0,得y=13x+13由x+y−5=0,得y=−x+5tan直线x−3y+1=0与直线5.2如图所示,连接BF,在正方体ABCD−A1B1C1D1所以∠EFB即为EF与平面BB设正方体ABCD−A1B1C1在直角△EFB中,tan∠故答案为:226.−函数fx所以f′所以f′7.2圆x−32+y+42=圆心3,−4到直线x+y+故直线x+y+3=0被圆8.12因为limh→lim所以limh→0f29.2由y=x+1x设Px0,y0得x010.1如图,是球O的一个截面,圆O分别与A1A2、P因为PA1=6,球的半径为所以tan∠A所以A1因为A1A2是椭圆的长轴长,所以2a=8根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知,球O与A1A2相切的切点所以A1F=2=所以离心率e=故答案为:1211.13解:∵AB:BF2∵AB又由双曲线的定义得:BF∴A∴B∴a在Rt△BF1F∵F∴双曲线的离心率e=故答案为:13.12.9∵b设Pa,b,Qc,d,则点P在曲线y=ln设曲线y=lnxx上切线斜率为1y′=1−lnxx2,当x∈0,e时,y′>0,此时函数y=lnxx递增,当x直线y=x+2在曲线y=lnxx记fx=x2+lnx−1,显然fx在0,+∞y0=ln11=0,Q01,0∴a−c2+13.C因为ln10是常数,所以ln10′=0因为x2−1x′=因为xex′=x′因为sin2x′=cos2x⋅2x14.C由直线l1:mx+2y+2=0与直线l2:x+m−1y所以“m=−1”是直线l1:mx+15.D解:已知y=xlnx,令y′=0,即lnx+当0<x<1e时,y′当x>1e时,y′>0故选:D.16.B曲线C:y2=4x则PF=由MP=d得,点M的轨迹是以P为圆心,dx−12+y当点P在原点处时,P0,0,此时此时点M的轨迹方程为x2因为1+1=2>1,所以点N则存在r∈0,+∞,使得两圆相离,即故①错误，②正确.故选:B.17.1(2)fx的单调递增区间为−∞,a3和0,+∞(1)函数fx=2x3由题可得f′1=0,即6−当a=3时,当x<0或x>1时,f′x>0;所以fx在−∞,0上单调递增,在0,1上单调递减,在所以fx在x=1处取得极小值,所以又极小值为-4,所以f1=2−a所以a=(2)函数fx=2x3−f当a<0时,f′x=0的两根为所以当x<a3或x>0时,f′x>0所以fx的单调递增区间为−∞,a3和0,+∞18.11)因为AB⊥BC,三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB⊥四棱锥A1−BCC(2)如图建立空间直角坐标系则A设AC的中点为M,∵BM⊥AC,NM⊥CC1,∴BM⊥设平面A1B1C∴令z=1,解得设法向量n与BM的夹角为β,二面角B1−A1C−C1的大小为∵cos二面角B1−A119.(1)x(2)若m<0,函数y=mfx+2gx无极值点;若m>0,函数y=所以g′所以函数y=gx的图象在x=1处的切线方程为y(2)函数y=mfx+2g所以y′若m<0,x2−m>0恒成立,所以y′>0若m>因为x>0,所以所以当0<x<m时，y′<0；当所以函数y=mfx+2gx=mx2所以函数y=mfx+2gx在x综上,若m<0,函数y=mfx+2gx无极值点;若m>020.(1)如图,以抛物线Γ的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴所在直线为y轴建立坐标系,则抛物线的顶点为O0设抛物线Γ的标准方程为x2则4=2p×2,所以p=1,所以抛物线所以图中封闭图形的边缘抛物线部分的方程为x2=2y−2≤x≤2(2)由题意,设C−设题中圆柱的底面半径为r,则2πr=CD=2a所以该圆柱的底面面积为S=所以该圆柱的体积为V=令fa=4a2因为0<a<2所以当0<a<2时，f′a>0所以fa在区间0,2上单调递增,在区间所以fa在x=f即该圆柱的体积的最大值为2π(3)当x=0时，抛物线Γ的切线为x所以可设抛物线Γ上的点P1x1,x122,P由x2=2y,得y=x所以抛物线Γ在P1,P2且x1⋅x2=−1,所以得y−12x1由y−x122联立①②式，消去x，可得2x12+1因为1+x12≠所以抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线y=−121.(1)设双曲线C的焦距为2c,则2c=若双曲线C的虚轴长为4,则2b=所以a2所以该双曲线的方程为x2(2)双曲线C的焦距为2c，则2c=42，所以a2由3OP=OP1+2OP双曲线C:x2a2则y1=bax所以y0=b3ax又点P