二维符号网络上Ising模型演化图斑研究

二维符号网络上Ising模型演化图斑研究摘要当今社会生活与自然界中处处存在的复杂系统都可以用网络来描述。关于复杂网络拓扑特性的理论给复杂网络动力学研究打下了坚实的基础。二维符号网络的边因带正负符号而具有对立属性，比如在社会人际关系网络中，人与人关系的信任与不信任关系，支持与反对关系，生态系统中的共生与竞争关系以及酶催化网络中的催化与抑制等等。研究二维符号网络和复杂网络动力学特性的相互作用具有重要的意义。本文主要探索二维符号网络格子上符号的概率及其对Ising模型的演化图斑研究。本文先相对图论的基本理论与复杂网络的特性进行阐述，列举了几种常见的复杂网络模型。然后以数值模拟的方法分析二维符号网络的正负边属性对Ising模型动力学特性的影响。将复杂网络二维格子的相邻节点的边随机赋予符号，得到到两者之间的耦合强度。结合节点自旋状态推导出节点翻转的前后能量变化，并且判断翻转概率。用计算机模拟的方法得到正负边比值，再考虑温度的影响可以计算出各个热力学参量。模拟中对Ising模型演化图斑的计算重点集中在磁化强度、磁化率以及社团（cluster）与二维格子上正负边比例、格子边界条件和格子尺寸的关系。关键词：复杂网络二维符号网络Ising模型ABSTRACTThecomplexsystemsthatexistintoday'ssociallifeandnaturecanbedescribedbynetworks.Thetheoryofcomplexnetworktopologyfeatureslaysasolidfoundationforcomplexnetworkdynamicsresearch.Theedgesofatwo-dimensionalsignednetworkhaveoppositepropertiesbecauseofpositiveandnegativesigns.Forexample,insocialinterpersonalnetworks,therelationshipoftrustanddistrustbetweenpeople,supportandopposition,symbiosisandcompetitioninecosystems,andenzymes.Catalysisandinhibitionincatalyticnetworks,andthelike.Itisofgreatsignificancetostudytheinteractionbetweentwo-dimensionalsignednetworksandcomplexnetworkdynamics.Thispapermainlyexplorestheprobabilityofsymbolsonthetwo-dimensionalsignednetworklatticeanditsevolutionmapoftheIsingmodel.ThispaperfirstelaboratesontheGraphTheoryandthecharacteristicsofcomplexnetworks,andenumeratesseveralcommoncomplexnetworkmodels.Thenthenumericalsimulationmethodisusedtoanalyzetheinfluenceofthepositiveandnegativesidepropertiesofthetwo-dimensionalsignednetworkonthedynamiccharacteristicsoftheIsingmodel.Theedgesofadjacentnodesofthecomplexnetworktwo-dimensionallatticearerandomlyassignedtothesymbolstoobtainthecouplingstrengthbetweenthetwo.Theenergychangebeforeandafterthenodeflipisderivedbycombiningthespinstateofthenode,andtheflipprobabilityisdetermined.Thepositiveandnegativesideratiosareobtainedbycomputersimulation,andeachthermodynamicparametercanbecalculatedbyconsideringtheinfluenceoftemperature.ThecalculationoftheIsingmodelevolutionmapinthesimulationfocusesontherelationshipbetweenthemagnetization,themagneticsusceptibility,theratioofthepositiveandnegativesidesoftheclusterandthetwo-dimensionalgrid,thelatticeboundaryconditionsandthegridsize.Keywords:complexnetwork,two-dimensionalsignednetwork,Isingmodel,magnetization1目录14798_WPSOffice_Level1第一章引论 12271_WPSOffice_Level1第二章图论与复杂网络 32271_WPSOffice_Level2§2.1图论 33421_WPSOffice_Level22.1.1图论的起源 3195_WPSOffice_Level22.1.2图的定义 41828_WPSOffice_Level22.1.3图的各个表征量 626808_WPSOffice_Level2§2.2复杂网络 925221_WPSOffice_Level22.2.1复杂网络的定义与特性 925457_WPSOffice_Level22.2.2常见复杂网络模型 1130693_WPSOffice_Level2§2.3符号网络 133666_WPSOffice_Level22.3.1二维符号网络概述 1317248_WPSOffice_Level22.3.2构建二维符号网络 148231_WPSOffice_Level22.3.2现实中的二维符号网络结构 153421_WPSOffice_Level1第三章符号网络中Ising模型的数值模拟 1810026_WPSOffice_Level2§3.1Isingmodel的发展与应用 1818058_WPSOffice_Level2§3.2Isingmodel的结构分析 1926084_WPSOffice_Level2§3.3Ising模型的蒙特卡洛模拟 2032596_WPSOffice_Level23.3.1蒙特卡洛方法的发展与基本原理 2015547_WPSOffice_Level23.3.2Ising模型的蒙特卡洛模拟 2122230_WPSOffice_Level2§3.4Ising模型数值模拟演化图斑分析 25195_WPSOffice_Level1第四章总结与展望 31参考文献致谢中国地质大学学士学位论文补充引论，完整目录再次多次的参考学长论文，通过比较分析自己的不足之处与改动方法删除和论文主题相关度不高的内容，注重物理意义的阐述思考怎么让论文看起来顺畅，具有完整性看任务书总结思路，让论文内容和符合任务书补充符号网络的内容回顾之前所讲内容,查漏补缺关于符号网络内容的讲述，补充在论文当中，并且在综述部分贴合论文主题章节的内容排布，好好捋顺每章之前写本章的思路，在论文整体工作中的作用意义,每章后小结，总结本章说的内容，为后文承接,从而增加整体流畅度，让论文的内容环环相扣，看起来是一个完整的整体。论文排版问题，段落控制，一个段落至少说明一个问题中国地质大学学士学位论文引论日常生活中随处可见各种各样的网络，如社会网络，交通网络等。但有一类网络本身的特性是随机网络与规则格子不具备的，比如小世界特性，集群特性，度的集中性。我们将这一类网络统称为复杂网络。将每个独立个体看作是一个节点，两个个体间的相互作用看做是一条边，二者共同构建出复杂网络。因此，要研究复杂网络就不可避免的以图论为基础。图论问题的起源是格尼斯堡七桥问题，提出一个人如何才能不重复自己走过的路，从任意点出发经过七座后恰巧回到出发点。数学家欧拉最终解决了这个问题，这个问题也吸引越来越多的研究者投身图论领域的研究。计算物理，统计物理等基础学科研究的进步和计算机科学行业的飞速成长，给复杂网络拓扑结构的研究和其动力学特性影响的分析提供了更多思路。如今复杂网络的研究已被应用到的各个领域，例如人际关系网络，生物链网络，神经网络以及蛋白质酶的催化网络等等。我们的生活已和各种各样的网络密切相关。研究者把复杂网络的研究应用到现实当中，给人们生活带来了极大的便利。但是在受益的同时也增加了很多风险，社会的高度网络化，也加快了网络病毒的传播，个人信息隐私也受到了挑战。所以复杂网络的研究更应该被重视起来，让其不断进步来更好的服务人类社会。复杂网络的表征量有度和度的分布，路径长度和集聚系数等等。用这些表征量，我们可以描述出具有不同特征的复杂网络。给复杂网络的边赋予一个权重值，每个权重值的绝对值相同但具有正负符号，我们称其为符号网络。符号网络常用来描述个体与个体之间具有对立属性关系的网络，比如人际关系网络中的信任与不信任关系，朋友与敌人关系，生物链网络中的，捕食与被捕食关系，蛋白质酶的催化与抑制关系。当随着时间变化，两个个体之间的关系发生改变，体现在符号网络中两个节点之间的符号发生改变。这种复杂网络的拓扑结构随时间变化现象被称为复杂网络的演化。对复杂网络自适应演化的研究和对其动力学特性的研究是复杂网络的两个重要分支，研究对象包括节点度及其分布，最短路径，集聚程度等。本文研究的重点是在二维符号网络的基础上，用数值模拟的方法分析Ising模型的图斑演化结果。第二章图论与复杂网络本章内容是研究复杂网络动力特性与图斑演化的知识基础，主要对图论和复杂网络作一阐述，同时引出二维符号网络的概念。首先将图论起源的七桥问题作一介绍，说明图论的定义与图的各个表征量。接着分析了复杂网络的特性，并且对现实中的复杂网络结构进行解释，同时列举了常见的复杂网络模型。§2.1图论图论学科应用在非常广阔的领域，由于计算机硬件的提升和计算软件的进步，图论在人们的日常工作中越来越频繁的出现，成为人们解决许多问题的重要方法之一。图论是应用数学中很重要的部分，也是开展复杂网络研究的重要基石。它主要研究由节点和边所组成的图，并且对图的理论和应用进行分析。2.1.1图论的起源图论来源于著名的七桥问题。普鲁士的哥尼斯堡有一条穿过两个小岛的河，七座桥把两个岛与河岸联系起来。有人提出一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点，如图2.1.1所示。图2.1.1哥尼斯堡七桥问题(左图)和一笔画问题（右图）后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题：一笔画问题。他把每一块陆地抽象成一个点，而桥则抽象为连接相关两点间的线。据此，欧拉认为这是不可能完成的。欧拉的论点是：除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地(或点)时，他同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥(或线)，从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥，必为偶数。最后，欧拉不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件:1.奇点的数目不是0个就是2个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点）。2.中间点均是偶点。要想一笔画成，就必须有来路且有另一条去路。3.奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端。这个问题的论证得到了推广，同时也让许多学者发现了这个问题背后所蕴含的巨大潜力。越来越多的科研工作者将目光投向了这个领域，并且从此开启了图论理论的研究。2.1.2图的定义日常人际交往当中，把每一个人看做是一个节点，两个人之间的交互关系看做是一条边，那么，有多个人组成的群体以它们之间的关系就形成了一个人际关系图。图G的数学定义指一个有序的二元组(V(G),E(G))，其中为非空的顶点集合。E（G）为不与V（G）相交的边集，由V中两个元素的有序对（）组成。有时也将图G的定义为一个有序的三元组(V(G),E(G)，ψG)，V(G),E(G)的定义同上，ψG是关联函数,使得G的每条都对应于G的无序顶点对()（未必互异），简写为G=(V(G),E(G))或G=(V,E)。根据上述图的定义，可以用平面上的图形来表示图。图G的每个顶点均用一个点来表示。每条边均用以顶点、为端点的线段表示。由于图的各种属性的不同，我们将图进行分类分类：根据边的有无方向性分为：有向图和无向图；根据节点和边的属性不同分为权重图，对节点和边分别赋予权值分别称为节点权和边权。边权若只考虑其正负，则形成符号网络，将在后文进行说明。1.有向图无向图设图G=(V,E)，在边的集合中，如果顶点对()与顶点对()表示同一条边，则称图G为无向图，如图2.1.1（A）所示；如果顶点对()与顶点对()表示不同的一条边，则称图G为有向图，如图2.1.1（B）所示。即连接这两个顶点的边拥有了方向属性，比如在家族网络中，父母与子女的传承方向是存在方向的，由长辈指向晚辈；在城市地铁交通网络的地铁运行，也存在出发站点与到达站点的方向等等。图2.1.2三类常见图（A）无方向无权值图（B）有方向图无权重图（C）权重图2.权重图与无权重图本文中主要研究对象二维符号网络也是带有边权值的权重图，所以对权重图的理解对研究复杂网络的动力学具有重要意义。设图G=(V,E)，如果给每条节点或边都赋予相应的权值，那么该图就称为权重图。对节点赋予权值称为节点权，对边赋予权值称为边权。一般我们要表示两个节点之间的连接强度时，往往对两个节点间的边进行赋值，值的大小与方向表示连接强度的强弱与连接强度的方向属性。若值为0，则表示两个节点互相不影响，即两个节点之间不存在将二者相连的边。这时设图可以由一个有序的三元集来表示。节点集合V(G)与边集合E(G)的定义同上，集合W的子集表示图中的两个节点的权值，附在有序节点对()所组成的边上，如图2.1.2（C）所示。若每条节点或边都没有赋予的权值，称这个图为无权重图。当然，无权重图也可看作是节点没有赋予权值，每条边的权值都为1的权重图。权重图在身边随处可见，比如人际关系网络中，人与人之间都存在信任与不信任的关系，并且信任也有相当信任与有点信任的强弱关系存在。如果我们将每个人视为一个节点，那么两个人的关系可以认为是一条边。给边赋予权重值后，权重值的绝对值大小可以表示两个人信任与不信任关系的强弱，权重值的正负可以表示两个人的关系处于信任还是不信任的状态。2.1.3图的各个表征量1.节点度及节点度分布度（Degree）是单节点属性中非常简单而又重要的概念。节点的度就是该节点连接的其他节点的数目。图2.1.3图中节点a与其他五个节点相连，节点度为5节点度的公式表达为：（2.1.1）其中为所求节点的节点度，为与节点相连的节点。节点度是节点本身的属性之一。节点在图中与其他节点的联系越多，节点度就越高。比如在神经网络当中，位于中枢神经系统中的一个神经元所联系的其他神经元的数目，要比位于四肢的神经元多。就是中枢系统神经元节点度高于四肢神经元。当图是有向图时，我们还要将节点度分为初度与入度。入度定义为，所有由其他节点指向特定节点的边的数。出度的定义是，由特定节点指向其他节点的边的数目。此节点的总结点数为出度与入度之和。图2.2.3图中节点a的度（其中出度为2，入度为3，总节点度为5）节点度指的是与特定节点相连的数目，度的分布则是指特定节点度，在整张图中的分布，通常用P（k）表示。我们也可以将它理解为，在图中任选一个节点，节点度度分布P(k)指一个随机选定节点的度恰好为k的概率。表达式为：2.最短路径一个图中，指定两个节点m与n，在网络中从m点走到n点，需要经过很多节点与边。如果以所有走过的路程中没有重复的点与边与为前提，每一条从m直线n的途径都被称为路径。在所有路径中，总存在一条走过路程最短的路径，我们将它定义为：（2.1.2）其中D为两个节点m与n之间的最小距离。3.平均路径长度网络中两点之间的距离定义为连接两点的最短路径上所包含的边数。网络的平均路径长度指网络中所有节点对的平均距离。它反映了网络中节点之间的分离程度和网络的全局特性。有研究发现，虽然许多实际的复杂网络的节点数目巨大，但是网络的平均路径却小得惊人。比如著名的六度分离理论，在一个庞大而复杂的人际关系网络当中，取两个看似丝毫没有联系的人，总能通过亲人，朋友与同事的关系相互联系起来，并且，二人中间最多只隔五个人。也就是说，人际关系网络中的平均路径的最大值为6。平均路径长度的表达式为：（2.1.3）式中N为网络中的节点总数。（表达式中）4.聚集系数节点的聚集系数是指与该节点相邻的所有节点之间连边的数目占这些相邻节点之间最大可能连边数目的比例。网络的聚集系数则是指网络中所有节点聚集系数的平均值，它表明网络中节点的聚集情况即网络的聚集性，也就是说同一个节点的两个相邻节点仍然是相邻节点的概率有多大，它反映了网络的局部特性。在图中，我们认为一个特定节点周围连了K条边。那么与这个特定节点相邻的周边的K个节点，他们之间所能存在的最大边数极限是：（2.1.4）集聚系数表达的中心思想就是，现实中的边的边数和可能情况最大边数的比值。

特定节点i的集聚系数的表达式如下：（2.1.5）其中，为实际存在的边数。是节点i的节点度数。于是我们可以知道，复杂网络整体聚集系数的数值，就是所有特定节点聚集系数数值求和的平均值：（2.1.6）聚集系数为1时，网络中任意两点都有边相连的，而C=0时，节点之间是相互孤立。在真实世界网络中，节点之间较容易产生集群，形成密度很高的网群，真实世界有着很高的聚集系数。在一个班级当中，把每个同学视为一个节点，两个同学之间产生友谊关系则视为一条边。那么这个班级网络的集聚系数越高时，班级凝聚力也就高，同学之间更加团结。§2.2复杂网络本文中所探究的二维符号网络属于的复杂网络，故对于研究符号网络上Ising模型的演化图斑过程时，对复杂网络特性的分析与对几种复杂网络模型的介绍是很有必要的。在日常生活中也处处存在着复杂网络，从人与人相处的社会关系、生物物种之间的共生与竞争关系、神经系统的作用以及蛋白质和酶之间的相互作用等等。对现实中存在的这些网络的数据进行分析和研究，成为展开复杂网络科学研究的基础。通过对这些现实中存在的网络的研究，可以从中发现很多关于复杂网络的内容特性。这样我们可以通过建立模型研究，并且用数学的方法对数值模拟的结果进行分析，从而探明这些特征所产生的机理。2.2.1复杂网络的定义与特性\t"/item/%E5%A4%8D%E6%9D%82%E7%BD%91%E7%BB%9C/_blank"钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络。复杂网络一般具有以下特性：1.小世界特性复杂网络的特性可以用六度分离理论来解释。比如整个地球的人际关系网络，节点数数不胜数，边的关系也非常庞大复杂。取任意两个看似丝毫没有联系的人，身处于不同的大洲，不同的国家与不同的行业，总能通过亲人，朋友与同事等千丝万缕的关系相互联系起来，并且二人中间的关系链条最多只隔五个人，也就是说人际关系网络中的平均路径的最大值为6，如此看来，虽然网络中的节点关系看似毫不相干，实际上这是一种错觉，二者相距某种程度上很近。图2.2.1六度分离理论示意图这个看似非常简单，却又很玄妙的理论引起了数学家、物理学家，以及电脑科学家们的关注。他们研究发现世界上许多其它的网络也有极相似的“六度分离”结构，例如经济活动中的商业联系网络结构、生态系统中的食物链结构，甚至人类脑神经元结构，以及细胞内的分子交互作用网络结构。小世界以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节（顶）点间却有一条相当短的路径的事实。以日常语言看，它反映的是相互关系的数目可以很小但却能够连接世界的事实。地球变得越来越小，变成一个\t"/item/%E5%A4%8D%E6%9D%82%E7%BD%91%E7%BB%9C/_blank"地球村，也就是变成一个小世界。2.集群特性集群即集聚程度(clusteringcoefficient)的概念。例如在社会网络中，总是存在有一些群体所构成的亲戚圈、熟人圈或朋友圈，其中每个成员和其他成员有一定的亲戚关系、同事关系或朋友关系。集聚程度的意义是一个复杂网络中所有的节点集团化的程度。这是一种复杂网络的节点向内聚集的趋势。此外，连通集团的概念反映，在一个复杂程度高的大网络中，各个集聚在一起的小网络分布和相互联系的状况。它可以反映这个联系团体与另一个联系团体的相互关系，比如一个年级当中各个班级的联谊活动中的同学关系。2.2.2常见复杂网络模型1.规则网络模型规则网络是最简单的网络模型。在这种类型的网络中，任意两个节点之间的连接遵循既定的规则，通常每个节点的近邻数目都相同。常见的具有规则拓扑结构的网络包括全局耦合网络（也称为完全图）、最近邻耦合网络和星型耦合网络。比如在一个大型商场中，有一个店长和多个推销员，每个推销员只负责一个销售点，除了受店长管理之外，彼此之间没有联系。这样所形成的管理网络就是星型耦合网络，周边节点仅仅和中心节点产生联系，形状非常像一个星形。同样的，在一场接力跑步比赛中，每一位选手只和他相邻的选手存在接力关系，从上一位选手中接过接力棒，完成赛跑后传给下一位选手。假设最后一位选手跑完之后再把接力棒传给第一位选手，那么，这些运动员就形成了一个最近邻耦合网络。图2.2.2规则网络模型（左图为星型耦合网络右图为最近邻耦合网络）2.ER随机网络模型在抽象实际问题为网络问题过程中，如何在众多节点之间形成连边曾经困扰了许多科学家。在随机网络模型理论中，科学家们将该问题做了简化：节点之间是否产生连边是完全随机的，这一点与规则网络模型完全不同。ER随机网络模型的中心思想是，在一个集合中有n个节点，在其中任意取两个节点，以一定概率p将两个没有连边的节点相连。接着进行重复操作，一直到重复次数达到加边数之后不再取节点。在一个ER随机网络模型中，我们令k是平均连接度，则有：（2.2.1）模型的聚集系数C和平均最短路径d为：（2.2.2）（2.2.3）通过一系列证实人们发现，ER随机网络模型的聚集系数很小，平均最短路径距离也很小。图2.2.3ER随机网络模型3.WS小世界网络模型小世界网络模型是由瓦茨和斯特罗加茨在1998年《自然》上发表的《小世界网络的集体动力学》一文中提出的。他们发现，规则网络的群聚性较高，但网络之平均距离也大；而随机网络的平均距离较短，其群聚性也低。真实世界的网络既非完全规则，也非完全随机，而是介于这两者之间，于是有学者引入了小世界网络模型。小世界网络的特征就是平均路径较短，而聚类系数较大。图2.2.4WS小世界网络模型（随机性从左往右逐渐增加）§2.3符号网络在二维符号网络上进行复杂网络系统的拓扑结构及其动力学特性的研究的一个重要前提是对二维符号网络的构建。在分析数值模拟的Ising模型演化图斑时，二维符号网络上相邻格子之间的耦合强度对节点自旋的翻转概率也产生影响，和模拟结果有重要联系。本节主要对二维符号网络的概念进行阐述，同时说明构建二维符号网络的基本方法，最后对现实中的符号网络解释说明。2.3.1二维符号网络概述符号网络常常被用来描述节点中存在对立属性的复杂网络，网络组的两个节点具有积极关系与消极关系，比如在社会人际关系网络中，人与人关系的信任与不信任关系，支持与反对关系，生态系统中的共生与竞争关系以及酶催化网络中的催化与抑制等等。符号网络在某种程度上也属于权重图的一种。权重图是给图中的每条节点或者边都赋予相应的权值，附着在节点或边上，图也从有序二元组变成了有序三元组。那么二维符号网络图可以认为是一个二维的网络格子图中，节点与边整齐排列。给每一条边都赋予一个权值，且它的绝对值完全相同，你可以将它设为1。唯一的区别就是它的符号有可能不相同。这样每一条边的边权值只能是1或者-1。符号网络的应用给人们描述经典根系子集的几何分析提供很好的方法。此外，它还经常出现在拓扑图理论和群论中，是图论的研究中，奇数和偶数周期问题的基础背景。在计算非铁磁性Ising模型的基态能量时也需要用到符号网络。对于研究复杂网络的拓扑学结构与动力学行为具有非常高的应用价值。2.3.2构建二维符号网络分析Ising模型演化图斑的第一步是要构建一个二维符号网络模型，我们二维规则正方格子网络为例，说明符号网络的构建过程。先构建一个N*N的规则网络，如图2.3.1所示。显然在该网络中的N*N个节点当中，处于内部的节点连边最多共四条，处于四个角落的节点连边最少仅两条，其余位于边界部分的节点连边三条。根据图的表征量，这个网络的中共有（N*N-2N-1）个节点拥有数值为4的最大节点度，共有4个节点拥有数值为2的最小节点度，剩余（4*N-8）个节点的节点度为3.这些数据在计算机数值模拟的程序语言中会体现出来。图2.3.1二维规则符号网络示意图二维符号网络的前提是一个具有边权值的网络，且带有正负符号。故先给网络中每一条边都赋予边权值，的取值只能为+1或者-1.每条边所赋予的值都是随机的，在后面的数值模拟中，这一步可以通过计算机赋予随机符号的方法来实现。权值赋予完后，每个相邻节点间就有了正相关关系与负相关关系。在不考虑节点权值的情况下，一个最简单的二维符号网络构建完毕。在网络中任取两个相邻节点i、j，当两节点之间的相互作用关系为+1时，他们的磁矩耦合强度=+1，当相互作用关系为-1时，他们的磁矩耦合强度=-1，已知哈密顿量表达式为：（2.3.1）其中与分别为i、j两点的自旋状态。这里不考虑节点的权值，故将与看为1。那么哈密顿量的值就仅仅与相邻格子间的耦合强度有关了。在后面的章节中，我们还会根据Ising模型考虑节点的自旋情况。计算出翻转前后的能量差，结合能量最低原理来判断自粒子的翻转概率。用计算机模拟粒子的翻转过程得到正负边比值，同事再考虑温度的影响，可以计算出磁化强度、磁化率、比热比等热力学参量，并且分析模拟出的演化图斑。2.3.2现实中的二维符号网络结构1.社会符号网络社会符号网络是指社会个体成员之间的拥有相反属性的互动而形成的关系体系，社会网络关注的是人们之间的互动和联系,社会互动会影响人们的社会行为。它是由许多节点构成的一种社会结构，节点通常是指个人或组织，社会网络代表各种社会关系，经由这些社会关系，把从偶然相识的泛泛之交到紧密结合的家庭关系的各种人们或组织串连起来，如图2.2.1所示。作为符号网络的一种，节点之间的边权值有正相关关系与负相关关系。每个社会成员关系之间的对立体现在个体与个体之间的信任与不信任关系，支持与反对关系，朋友与敌人关系等。关系个体的关系之间所形成的网络也包括朋友关系网络、同学关系网络、生意伙伴关系网络、种族信仰关系网络等，要注意区别网络中的符号网络与不具有对立关系的普通复杂网络。图2.3.2社会网络关系示意图2.生物符号网络生物符号网络是指自然界中各个物种之间的具有完全相反属性的对立关系，受到食物链，生态环境等多种复杂因素的影响。生物网络中非常常见个体之间存在的正负相关的关系有共生与竞争关系、捕食与被捕食关系等等。两个物种之间相互帮助，为另一物种提供利益的同时，自己也获得生存优势，这就是生物物种的共生关系。竞争关系也称为生存斗争，包括同种个体之间的竞争和一种个体之间的竞争，以及生物个体与生态环境的斗争。这两种关系的属性是截然相反的，体现在符号网络中就是正边与负边的关系。物种间的共生与竞争关系产生的重要原因是生物物种的高度繁殖与地球生存资源与空间资源有限之间的矛盾。它使自然界在生物数量与生存空间等资源之间产生了生态平衡。3.神经符号网络神经符号网络一般指生物神经网络，由生物大脑的神经元细胞触点等组成的网络，通过各个组成的互动与协调来产生生物的意识，帮助其思考和行动。生物网络的个体称为神经元，是神经网络的基本单位。神经元之间的互动与协调形成一个神经网络，通过整合或分配同时或相继接受的输入信息，使网络的各种机能活动有规律的进行，来适应周边环境的变化。神经网络间的位置与功能不同，也分为中枢神经系统和外周神经系统两大部分。由各个神经元所组成的神经系统具有复杂多样的功能，包括可以让整体感受身边环境所产生的刺激的感觉功能，控制肌肉与分泌腺活动的效应功能，对周边信息进行整合，过滤与的信息整合功能，对重要信息的储存功能等等。通过这些功能的相互配合与协调，来实现睡眠学习、记忆、思维等高级活动。如图2.3.3所示为一个卷积神经元的二维符号网络，在输入节点的与求和节点的边之间有一个突触权值。这是一个非常典型的符号网络具有的特征，当突触权值符号为正时，表现为神经网络中的激活作用，突触权值为负号时，表现为神经网络中的抑制作用。图2.3.3卷积神经元网络示意图第三章符号网络中Ising模型的数值模拟对Ising模型进行数值模拟研究时，需要以二维符号网络为基础，同时考虑节点的自旋状态来引入Isingmodel，然后用模拟的方法计算热力学参量，并且观察演化图斑。本章先介绍了Ising模型的发展与构造，接着说明蒙特卡洛模拟在Ising模型上的模拟方法，并且对数值模拟的演化图斑结果进行分析。§3.1Isingmodel的发展与应用Ising模型可以说是统计物理中迄今为止唯一的一个同时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。伊辛模型由德国物理学家\t"/item/%E4%BC%8A%E8%BE%9B%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"威廉·楞次（WilhelmLenz）在1920年提出以描述铁磁性物质的内部的原子自旋状态及其与宏观磁矩的关系。1924年，楞次的学生ErnstIsing求解了不包含相变的一维伊辛模型。20世纪30-40年代，\t"/item/%E4%BC%8A%E8%BE%9B%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"劳伦斯·布拉格（LawrenceBragg）、E.J.Williams、\t"/item/%E4%BC%8A%E8%BE%9B%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"汉斯·贝特（HansBethe）、RudolfPeierls等学者使用平均场近似理论（mean-fieldtheory）对二维伊辛点阵模型（two-dimensionalsquare-latticeIsingmodel）进行了研究。1944年美国物理学家\t"/item/%E4%BC%8A%E8%BE%9B%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"拉斯·昂萨格（LarsOnsager）得到了二维伊辛模型在没有外磁场时的解析解，即Onsager解。伊辛模型（Isingmodel）是一类描述物质\t"/item/%E4%BC%8A%E8%BE%9B%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"相变的\t"/item/%E4%BC%8A%E8%BE%9B%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"随机过程（stochasticprocess）模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。伊辛模型所研究的系统由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示\t"/item/%E4%BC%8A%E8%BE%9B%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank"自旋变数，即自旋向上或自旋向下。伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。常见的二维伊辛模型示意图使用箭头方向表示自旋方向。由于Ising模型的高度抽象，人们可以很容易地将它应用到其他领域之中。例如，人们将每个小磁针比喻为某个村落中的村民，而将小磁针上、下的两种状态比喻成个体所具备的两种政治观点（例如对A,B两个不同候选人的选举），相邻小磁针之间的相互作用比喻成村民之间观点的影响。环境的温度比喻成每个村民对自己意见不坚持的程度。这样，整个Ising模型就可以建模该村落中不同政治见解的动态演化（即\o"观点动力学（页面不存在）"观点动力学opiniondynamics）。Ising模型在复杂网络上的应用也越来越多。比如在社会科学中，人们已经将Ising模型应用于股票市场、种族隔离、政治选择等不同的问题。另一方面，如果将小磁针比喻成神经元细胞，向上向下的状态比喻成神经元的激活与抑制，小磁针的相互作用比喻成神经元之间的信号传导，那么，Ising模型的变种还可以用来建模神经网络系统，从而搭建可适应环境、不断学习的机器Ising模型之所以具有如此广泛的应用并不仅仅在于它的模型机制的简单性，更重要的是它可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的\o"临界现象（页面不存在）"临界现象。所谓的临界现象，是指系统在\o"相变（页面不存在）"相变临界点附近的时候表现出的一系列的\o"标度现象（页面不存在）"标度现象（Scalingphenomena），以及系统在不同尺度之间的相似性。临界系统之中不同组成部分之间还会发生长程的关联，这种通过局部相互作用而导致长程联系的现象恰恰是真实复杂系统，因此，Ising模型不仅仅是一个\o"统计物理（页面不存在）"统计物理模型，它更是一个建模各种复杂系统模型的典范。§3.2Isingmodel的结构分析在最初Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种\o"连续相变（页面不存在）"连续相变（也叫\o"二级相变（页面不存在）"二级相变）。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有两个状态。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变。我们认为Ising模型分别在一维空间和二维、三维空间的如何一个格点上都有一个自旋状态。在二维符号网络空间内建立的Ising模型上，节点的自旋都仅仅有两个量子化的方向，即向上自旋与向下自旋。在Ising模型阐述铁磁物质的相变现象时，如果节点的自旋全部指向一个方向，就可以明确这个物体具有铁磁性。在二维符号网络的Ising模型中，格点间的自旋相互作用耦合强度非常容易受到温度的影响。温度比较低时，由于系统中格点间的自旋耦合强度作用倾向于让相邻节点的自旋状态与自己相同，模型中节点的自旋状态趋向于同一个自旋方向。温度比较高的时候，节点自旋状态的趋同属性就会消失，部分节点的自旋不再受到相邻节点的干扰而发生翻转，同时翻转后的节点自旋状态对相邻节点通过耦合强度变化的方式产生影响，整个模型变得越发无序。我们用计算机模拟的就是在三个参量：磁化强度、温度与翻转概率中，使其中一个值固定，通过其他两个参量的变化来观察二维符号网络上的演化图斑。图3.2.1二维规则网络Ising模型§3.3Ising模型的蒙特卡洛模拟3.3.1蒙特卡洛方法的发展与基本原理\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时,他们通常应用一类需要长串的\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"随机数的复杂计算。设计这种用来预测复杂趋势和事件的\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"数字模型越来越依赖于一种称为\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"蒙特卡罗模拟的统计手段,而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源.最近，由\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"美国佐治亚大学的\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"费伦博格博士作出的一份报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。科学家们发现,出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机,它们实际上隐藏了一些相互关系和样式,这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。贝尔实验室的\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"里德博士告诫人们记住伟大的\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"诺伊曼的忠告:任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。当所要求解的问题是某种事件出现的\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"概率分布抽样；建立各种\t"/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F/_blank"估计量。3.3.2Ising模型的蒙特卡洛模拟通常蒙特卡罗模拟通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗模拟是一种有效的求出数值解的方法。设想有一个的二维正方格子上的Ising模型，这个体系同温度为T的恒温热浴接触，形成正则系综。要获得系统在平衡态的宏观可观测量，通常对系统进行一段时间的观测，对其时间求平均值。这里以二维伊辛点阵模型（two-dimensionalsquare-latticeIsingmodel）为例对伊辛模型进行说明。图3.3.1二维伊辛模型点阵示意图在上图中，我们建立了一个大小为N*N二维规则格子网络模型，认为它是一个空间随机场。假设任意点的状态

，格点自旋向上带+号，格点自旋向下带-号。同时给每个节点赋予权值，权值的绝对值全部相同，大小为1。所以任意点的状态

可有

两个取值，并