人教版七年级数学上册5.3一元一次方程的应用-和、差、倍、分型应用题（含详解）

第1页（共1页）一元一次方程的应用--和、差、倍、分型应用题（动点1）一．解答题（共60小题）1．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别是-3，5，C是数轴上一动点，设点C对应的数是x（1）若C是线段AB的中点，求x的值．（2）若AC＝2BC，求x的值．2．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程|x+9|＝1的两根（a＜b），（c﹣16）2与|d﹣20|互为相反数．（1）求a、b、c、d的值；（2）若A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、B两点都运动在线段CD上（不与C、D两个端点重合）？（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．3．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且|m﹣8|+|n+6|＝0．（1）m＝，n＝；（2）P为数轴上的动点，设Q为MP的中点，点P从点M向左运动时，请探究MN+NP与2NQ的数量关系，并说明理由．4．春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了15cm，从而燃尽时间延长了80%，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多2cm，求慢引线燃烧的速度．5．已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动．（1）直接写出a＝，b＝，c＝．（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|的最大值为．（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？6．（1）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的四个点．①直线l上以A，B，C，D为端点的射线共有条；②若AC＝4，BD＝6，BC＝1，点P为直线l上一点，则PA﹣PD的最大值为；（2）从图1的位置开始，点A在直线l上向左运动，点B，D在直线l上向右与A点同时开始运动，运动过程中BD的长度保持不变，M，N分别为AC，BD的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段AB，CD，MN之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；（3）如图3，点A，B，C为数轴上从左到右顺次的三个点，点A，B表示的数分别为m，n（m＜n），D为AC中点．若AC﹣AB＝3，且n﹣m＞3，AD+3BD＝7，求线段AB的长．7．定义：如果数轴上点A，B，Q所表示的数分别为a，b，q，点Q是线段AB的中点，那么数q是数a与数b的“中间数”．例如：图中点A，B表示的数分别是﹣1，3，线段AB的中点Q所表示的数是1，则1是有理数﹣1与3的“中间数”．（1）概念理解：有理数3与7的“中间数”是，﹣1与﹣5的“中间数”是；（2）性质探索：点A，B，Q所表示的数分别是a，b，q（a＜q＜b），若数q是数a与数b的“中间数”，根据定义可知AQ＝BQ，因为AQ＝q﹣a，BQ＝，所以数a，b，q之间的数量关系是；（3）性质运用：已知第一组数3m﹣9与2（1﹣m）的“中间数”是t，第二组数5m﹣7与2（1﹣m）的“中间数”也是t，求m的值，并求出此时第一组数是多少．8．在数轴上O为数轴的原点，点A、B在数轴上对应的数分别表示为a、b，且a+4、b﹣4为最大负整数，AB＝8．a＝，b＝．（1）如图1，数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数；（2）如图2，在数轴上有两个动点P、Q，点P、Q同时分别从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，取线段AQ的中点为点C，在运动过程中，若线段PC的长度为固定的值，直接写出m与n的数量关系．9．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝12．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝21cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝21cm，如图3，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段AB上向点B方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段AB上向点A方向运动，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．11．如图，数轴上的三点A、B、C，点A对应的数为﹣10，点B对应的数为﹣4．点C对应的数为8，点O为数轴原点．（1）填空：AC＝，BC＝；（2）若点D是数轴上点A、点C之间一点，且CD＝5AD，求线段AD的长及点D对应的数；（3）动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点C后，立即以同样速度返回，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设它们运动的时间为t秒（0＜t≤12），当P、Q两点间的距离为2个单位长度时，求t的值．12．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则A、B两点之间的距离AB＝b﹣a，例：在数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是15，则A、B两点间的距离为AB＝15﹣5＝10．定义：在数轴上，如果线段AB间从左往右的点M1，M2，M3，…，Mn﹣1将AB线段n等分，则这n﹣1个点都叫做线段AB的n等分点．若M1是靠近A的第1个n等分点，则记为A＜n，1＞，M2是靠近A的第2个等分点，则记为A＜n，2＞，…Mn﹣1是靠近A的第n﹣1个n等分点，则记为A＜n，n﹣l＞．探究一：如图1，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB的二等分点A＜2，1＞表示的数为a+b-a探究二：如图2，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB上靠近点A的第2个五等分点A＜5，2＞表示的数为．应用一：如图3，在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10、﹣2，则线段AB的距离为；数轴上两点C、D表示的数分别为﹣6、4，则线段CD的距离为；若线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合，请求出x的值．应用二：如图4，在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10和﹣2，若点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为t秒时，线段AB上靠近A的等分点A＜8，3＞与线段PQ的三等分点重合，请直接写出此时的t为．13．阅读材料材料：学习绝对值时，我们知道|a|表示数a的点与原点的距离，即|a|＝|a﹣0|，也可以说|a|表示数轴上数a与数O对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为|a﹣b|或|b﹣a|．例如数轴上表示﹣2和3的两点间的距离为|﹣2﹣3|＝5或|3﹣（﹣2）|＝5．发现解题规律：若|x|＝5，则x＝5或x＝﹣5；若|x﹣1|＝5，则x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，得x＝6或x＝﹣4；若|x﹣（﹣3）|＝5，则x﹣（﹣3）＝5或x﹣（﹣3）＝﹣5，得x＝2或x＝﹣8．结合上面的发现解决下列问题．（1）数轴上表示﹣1和4两点之间的距离是．（2）若|x-(-12)|=14，则x＝（3）如图所示，当点A、B所表示的数分别为-212和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x14．如图，点A，B，C是数轴上的三个点，其中AB＝16，且A，B两点表示的数互为相反数．（1）请在数轴上标出原点O，并写出点A表示的数；（2）如果点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发向左运动，那么经过多少秒时，点C恰好是BQ的中点；（3）如果点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发向右运动，那么经过多少秒时PC＝2PB？15．定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点C到A，B两点的距离呈2倍关系，即AC＝2BC或BC＝2AC，则称点C是线段AB的“倍距点”．（1）线段AB的中点该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”）（2）已知AB＝9，点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC＝．（3）如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点．①现有一动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？②现有一长度为2的线段MN（如图2，点M起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值．16．如图，在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是6，点B在原点的左侧，且AB＝5AO（点A与点B之间的距离记作AB）．（1）点B表示的数为；（2）若点P在原点的左侧，且点P到点A、点B的距离满足PA＝2PB，求点P在数轴上表示的数；（3）若动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，以3个单位长度/秒的速度向A点运动；当点M到达B点后，立即以原速返回，到达A点停止运动，当点N到达A点后立即以原速返回，到达B点停止运动，设M点的运动时间为t秒，求t为多少时，点M和点N之间的距离是16个长度单位．17．如图，A，B是数轴上的两个点（B在A的右侧），点A表示的数为﹣4，且AB：AO＝4：1．（1）若点C为数轴上一动点，当AC+BC＝24时，求点C表示的数．（2）动点P，Q分别从点B和点A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，点M为P，Q的中点，试探究点P，Q运动过程中，且点M在原点右边时，PQ﹣OM的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．18．阅读材料解决问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律；若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2，如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ=12（3）若P、Q在线段AB上运动，t为何值时，P、Q间的距离为3个单位长度？（直接写出结果）19．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．例如点P、Q表示的数分别为﹣5、3，则P、Q两点间的距离PQ＝|3﹣（﹣5）|＝8，线段PQ的中点M表示的数为(-5)+3【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为．②t秒后，用含t的代数式表示：点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）在上述的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得P、Q、B三点中的任意一点为连接另外两点之间线段的中点．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．20．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在点A的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．（1）写出数轴上点B表示的数为多少？点P所表示的数为多少？（2）若点P从点A出发，同时点Q从点B出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？21．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12．点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26个单位长度，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为；（2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时，O、M两点间的和谐距离|OM|＝（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离|CN|＝（用含有t的代数式表示）：t＝时，M、N两点相遇；（3）求当t为多少秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度．22．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为﹣30，点B表示的数为100．（1）A、B两点间的距离是．（2）若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？（3）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍．求点C表示的数．23．定义：数轴上有一点M，若点M到线段AB两个端点的距离成二倍关系时，则称点M是线段AB的二倍关联点．已知：点O为数轴原点，点A表示的数为1．（1）若点C在线段AB上，线段AB的二倍关联点C表示的数为3，则点B表示的数为；（2）点B从表示5的点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点D从表示1的点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当点D是线段AB的二倍关联点时，求出t的值；（3）设点B表示的数是2n，点P表示的数为n，点Q表示的数为n+2，若线段PQ上存在线段AB的二倍关联点，直接写出n的最大值及最小值．24．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米．点P从点A开始，以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，终点为C；点Q从点C开始，以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，终点为B．如果P，Q同时出发，用t秒表示移动时间．（1）分别求出P，Q到达终点时所需时间；（2）若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，试求出当t为何值时，QA＝AP？（3）当t为何值时，S三角形QBC=12S三角形25．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P是线段MN的中点，那么x的值是．（2）数轴上是否存在点P，使点PM+PN＝8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向右运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．26．在同一直线上的三点A，B，C，若满足点C到另两个点A，B的距离之比是3，则称点C是其余两点的亮点（或暗点）．具体地，当点C在线段AB上时，若CA＝3CB，则称点C是[A，B]的亮点；若CB＝3CA，则称点C是[B，A]的亮点；当C不在线段AB上时，若CA＝3CB，称点C是[A，B]的暗点；若CB＝3CA，则称点C是[B，A]的暗点．例如，如图1，数轴上点A，B，C，D分别表示数﹣2，2，1，0．则点C是[A，B]的亮点，又是[A，D]的暗点：（1）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为6．则[M，N]的亮点表示的数是，[N，M]的暗点表示的数是．（2）如图2，数轴上点E所表示的数为﹣15，点F所表示的数为10．点M在点E、F之间，将数轴以点M对折，点E落在数轴的H点，H、F和M三个点中恰有一个点为另外两个点的亮点，求点M所表示的数．27．已知，C，D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a，CD＝b，且a，b满足（a﹣150）2+|154b﹣a|＝0（1）求线段AB与CD的长度；（2）如图1，若M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长；（3）线段CD在线段AB上从端点D与点B重合的位置出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA的方向运动，同时点P以相同速度从点A出发沿射线AB的方向运动，当点P与点D相遇时，点P原路返回且速度加倍，线段CD的运动状态不变，直到点C到达点A时线段CD和点P同时停止运动，设运动时间为t秒，在此运动过程中，当t为秒时线段PC＝10．（直接写出答案）28．【知识背景】数轴上，点A，点B表示的数分别为a，b则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为a+b2【知识运用】已知数轴上A，B两点对应的数分别为4和2，且P为数轴上一动点．对应的数为x．（1）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为．（2）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒3个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，则经过秒点A追上点B．（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点组成的线段的中点？29．已知在数轴上A，B两点所对应的数分别为4，﹣5，AB表示A点与B点的距离．（1）AB＝；（2）若在数轴上存在一点C，且2AC＝BC，求C点对应的数；（3）点A，B同时出发，分别以2个单位长度/秒，4个单位长度/秒的速度向数轴的正方向运动，问几秒后点A和点B相距2个单位长度．30．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝20cm，BC＝12cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可）31．已知A、B两点在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0．（1）求A、B两点对应的数；（2）已知点T从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点T到点A的距离是点T到点B距离的2倍时，求运动的时间；（3）已知数轴上还有一点C对应的数为﹣10，动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度向左运动，动点N从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，动点P从点B出发，以每秒5个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：3PN﹣PM的值是否会随着t的变化而变化？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．32．如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表示：动点M对应的数为，动点N对应的数为；（2）如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值；（3）M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了个单位长度．33．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣13和7，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动秒钟时两只蚂蚁相遇；若相遇点是P，则点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为5，求出t的值．34．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示﹣8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“坡面数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至E点需要秒，此时点Q所对应的数是；（2）P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？（3）求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度是Q，D两点在数轴上相距长度的2倍．35．如图，在一条数轴上从左至右取A、B、C三点，已知点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C到点B的距离为8个单位长度．（1）在数轴上点C表示的数是；（2）在数轴上，甲从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，同时乙从点B出发也向右做匀速运动．①若甲恰好在点C追上乙，求乙的运动速度；②若丙从点C出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲、乙、丙同时开始运动，甲与丙相遇时，乙与丙的距离为1个单位长度，求乙的运动速度．36．如图，在数轴上点A表示的数是3，点B位于点A的左侧，与点A的距离是8个单位长度．（1）求点B表示的数，并在数轴上将点B表示出来；（2）若点M到点A的距离是到点B距离的2倍，求点M对应的数；（3）动点P从点B出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点A运动，同时，点Q从点A出发，沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当其中一点先到达终点时，另一点继续运动．求点P与点Q到原点的距离相等时，点Q在数轴上对应的数．37．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【知识应用】如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒t＞0，根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：①A，C两点之间的距离AC＝，线段BC的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为．（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，MB=1【拓展提升】（3）在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为﹣4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK＝3．38．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是．（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？39．如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是﹣8、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．（1）AB的长为；（2）当点P与点Q相遇时，求t的值；（3）当点P与点Q之间的距离为5个单位长度时，求t的值；（4）若PC+QB＝7，直接写出t的值．40．如图，O点是数轴的原点，数轴正半轴上有一点A，已知OA＝2．（1）在原点O的左侧画点B，使OB＝3OA；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）点M，点N同时从原点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点B后立即返回向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．当点M到达点O时，两个点都停止运动．若BM＝ON时，求t的值；（3）在以上的条件下，若点M到达点O后继续沿数轴向右运动，点N的运动速度和方向保持不变．在整个运动过程中，若点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15，求t的值．41．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣6）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则数轴上折痕所表示的数为，点B与数表示的点重合，原点与数表示的点重合；（3）动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的3倍，2秒钟后，点P到达点A．①点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度；②经过几秒钟，点P与点Q相距12个单位长度．42．已知|a+1|+（b﹣4）2＝0，c＝2a，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．（1）a，b，c的值分别为a＝，b＝，c＝，并在数轴上标出点A，B，C；（2）定义：在数轴上，若点D到点E、F的距离之和为6，则点D叫做E和F的“幸福中心”．①若点G是B和C的“幸福中心”，且点G表示的数是整数，求所有满足条件的点G表示的数之和；②点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点M，N分别从点A，B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P是M和N的“幸福中心”？43．【课本探究】小明在学习《苏科版七上•数学》课本第31页“数学实验室”中碰到如下问题：如图2﹣14，把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“﹣2”的位置上．用算式可以将结果表示为：0+（﹣5）+（+3）＝﹣2．【深度思考】小明运用“由特殊到一般”的数学思想方法，得出结论：若表示数m的点向左平移n（n＞0）个单位长度，得到的点表示的数为m+（﹣n）；向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的点表示的数为m+n．【实际应用】数轴上A、B、C、D四点表示的数分别为a，b，c，d，且点A向右移动1个单位长度到点B位置，点B向右移动n（n＞0）个单位长度到点C位置，点C向右移动n+1个单位长度到点D位置，（1）当a＝﹣8，n＝2时，则b＝；c＝；d＝；（2）在（1）的条件下，若A、B两点分别以2个单位长度每秒的速度向右运动，同时C、D两点分别以1个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当A、B两点中至少有一个点落在C、D之间时（不包含C、D两点），求运动时间t的取值范围是多少？（3）若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，a+n＞0，求出a可能的值．（4）若a，b，c，d这四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等．当n为任意正整数时，a始终为整数．求此时a与n之间的数量关系式．44．如图，数轴上有A、B、C、D四点，点D对应的数为x，已知OA＝5，OB＝3，CD＝2，P、Q两点同时从原点O出发，沿着数轴正方向分别以每秒钟a和b个单位长度的速度运动，且a＜b．点Q到点D后立即朝数轴的负方向运动，速度不变，在点C处与点P相遇，相遇后点P也立即朝着数轴的负方向运动，且P点的速度变为2a，Q点的速度不变．（1）P、Q两点相遇时，点P前进的路程为；Q、P两点相遇前的速度比ba=；（用含有（2）若点B为线段AD的中点，①此时，点D表示的数x＝；②相遇后，当点P到达点A处时，点Q在原点O的（填“左”或“右”）侧，并求出此时点Q在数轴上所表示的数字；（3）在（2）的条件下，当点P到达点A处时，立即掉头朝数轴的正方向运动，速度变为3a，点Q的速度始终不变，这两点在点M处第二次相遇，则点M在数轴上所表示的数字为．45．【创设情境】我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；我们常常运用绝对值的几何意义，借助数轴求解含有绝对值的方程．【迁移应用】例如：①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2．②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣3．【问题解决】根据上面的阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x|＝5的解是．（2）方程|x﹣2|＝3的解是．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|＝7．46．如图，数轴上有A，B，C三点，其中A，C两点表示的数分别为﹣2，5，点B位于A，C两点之间，且满足BC＝6AB．（1）线段AC的长为，点B表示的数为；（2）若P、Q、R三个动点分别从A，B，C三点同时出发，均沿数轴负方向运动，它们的速度（单位长度/秒）分别是2，14，12，设运动时间为t秒，求当P、Q、（3）在（2）的条件下，在P、Q、R中的某两个点重合时，点R立刻改变方向，向数轴正方向移动且保持原速不变．在此后的运动过程中，所形成的三条线段PQ、PR、QR，请问是否存在某一时刻t，使得其中一条线段的长度是另一条线段长的4倍？若存在，请你求出时间t的所有可能；若不存在，请说明理由．47．【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．在数轴上，点A，B的位置如图1所示，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3．【问题解决】（1）|2﹣（﹣3）|的几何意义是．（2）如果点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2，那么CD＝（用含x的代数式表示）．【关联运用】（1）运用一：代数式|x+1|+|x+4|的最小值为．（2）运用二：代数式|x﹣2|﹣|x+14|的最大值为．（3）运用三：已知|x﹣1|+|x+3|＝10，则x的值为．（4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF，点E与点G之间的距离表示为EG，点F与点G之间的距离表示为FG，若mFG﹣3EF的值是一个定值，试确定m的值．48．如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）A，B两点间的距离等于，线段AB的中点表示的数为；（2）用含t的代数式表示：t秒后．点P表示的数为，点Q表示的数为；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为PQ的中点，当点M到原点距离为9时，t＝．49．阅读下面的材料，回答问题：材料一：在数轴上，我们把到两个点距离相等的点，叫做这两个点的“中点”，例如：①表示1和5的点到表示3的点距离都为2，所以它们“中点”表示的数是3．②表示﹣5和﹣3的点到表示﹣4的点距离都为1，所以它们的“中点”表示的数是﹣4．材料二：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P（1）表示﹣4和6的点的“中点”表示的数是；（2）若“中点”表示的数是2023，其中一点表示的数是2020，则另一个点表示的数是；（3）点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段A′B′，其中，点A、B的对应点分别是A′、B′，线段AB的中点C与线段A′B′的中点C′对应．①若点A表示的数是2，点B表示的数是6，请求出点C′表示的数．②若点C′表示的数是2，请求出点C表示的数．50．如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．（1）当0＜t＜5时，用含t的式子表示BP和AQ；（2）当t＝2时，求PQ的值；（3）当PQ=12AB51．如图，点O为数轴原点，点Q表示的数为﹣6，点O是BQ的中点，点A是OB的中点，以AB为边，在数轴上方作正方形ABCD，点P从点Q出发，向右运动，速度为每秒3个单位长度，到达点B后点P停止运动．设运动时间为t秒．（1）正方形ABCD的边长是．（2）当点P运动t秒时，则点P表示的数为（用含t的式子表示）．（3）当OP＝2时，求t的值．（4）当点P出发时，点M同时从点B出发，速度为每秒1个单位长度，向左运动到点O处立即按原速返回到点B停止运动，t为何值时，S△DPM=92．（直接写出答案）答：t的值是52．如图，MN是数轴上一条动线段，满足MN＝8，“点A在数轴上对应的数为24”表示为xA＝24．（1）若线段MN在线段OA上，且满足OM：AN＝7：1．①xN＝；②点E是线段MN上一点，满足5EN＝2MA，xE＝；（2）如图，设xM＝t（t＞0且t≠16），P是线段MN上一点，若OP＝2NP，猜想NA与MP的关系，并说明理由；（3）若点C是OM的中点，点D是ON的中点，以OM、ON、CD分别为直径的圆的周长为a、b、c，请直接写出的a、b、c关系．53．已知（a+12）2+|b﹣13|＝0，c＝|﹣7|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）a＝，c＝；（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设运动的时间为t秒（t＞0），①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为；②当PQ＝6时，求t的值．（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，MQ＝2MP？54．我们定义：如果线段上的一个点将这条线段分成长度分别是a，b的两部分，并且满足3a＝4b，那么这个点叫做这条线段的“三高四新点”．（1）如图1，点C是线段AB的“三高四新点”，AC＝3且AC＜BC，则AB＝；（2）若点D也是（1）中线段AB的“三高四新点”（不同于C点），求AC与DB的数量关系；（3）如图2，点O是数轴原点，点D对应的数是3，点E对应的数是12，在点E处有一挡板．小球P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，小球Q从点D同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，碰到挡板后立即以每秒3个单位长度的速度向左运动．Q追上P时，两小球同时停止运动．设运动时间为t秒，当P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“三高四新点”时，请求出t的值．55．如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|b﹣a|．【探索新知】如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC＝2，则AB＝；（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则ACDB．（填“＜”、“＝”、“＞”）【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度；（4）在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值．56．如图，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是9．点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求AB的距离；（2）当t＝1时，点P、点Q分别表示什么数？（3）当t为何值时，P、Q两点相遇？57．阅读理解，问题解决【方法指导】数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果．认真阅读下面的材料在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离，|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离用线段AB的长度表示，有AB＝|a﹣b|．问题解决：如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时OP＝BQ；（3）当t为何值时，P、Q两点间的距离PQ＝4．58．如图所示，点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，AB＝12，AC=13（1）点A表示的数是；（2）若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过秒时，点C恰好是BP的中点；（3）若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M．当MC＝2QB时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．59．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b满足|a﹣5|+（b﹣8）2＝0，AC＝25．（1）直接写出a、b的值，a＝，b＝；（2）动点P从点C出发，以每秒4个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右运动，设运动时间为t（t≥0）秒，请用含t的式子表示点P，点Q以及线段PQ长度；（PQ就是点P与点Q之间的距离）（3）在（2）的条件下，若点M在A点以每秒6个单位向左与P、Q同时运动，当M点与P点或者Q点相遇时，则立即改变运动方向，以原速度向相反方向运动．当P，Q两点相遇时，三个点均停止运动．试探求下列问题：①当M点与点P第一次相遇时，求M点运动的时间t；②当M点与点Q第一次相遇时，求M点所在的位置；③求M点运动的总路程．60．已知数轴上有A、B、C三点分别表示数﹣24，﹣10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）同多少秒后甲到A、B、C三点的距离之和为46个单位？若此时甲调头往回走，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能求出相遇点若不能请说明理由．（3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁，Q表示乙蚂蚁）分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变时，写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所在连线段的中点．

一元一次方程的应用--和、差、倍、分型应用题（动点1）参考答案与试题解析一．解答题（共60小题）1．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别是-3，5，C是数轴上一动点，设点C对应的数是x（1）若C是线段AB的中点，求x的值．（2）若AC＝2BC，求x的值．【解答】解：（1）由题意得：x=12×（5∴x的值为5-（2）根据题意可知AC＝2BC，即可列x﹣（-3）＝2|x-5解得：x＝25+3或x∴点C对应的数是x＝25+3或2．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程|x+9|＝1的两根（a＜b），（c﹣16）2与|d﹣20|互为相反数．（1）求a、b、c、d的值；（2）若A、B两点以每秒6个单位的速度向右匀速运动，同时C、D两点以每秒2个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、B两点都运动在线段CD上（不与C、D两个端点重合）？（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍，若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a，b是方程|x+9|＝1的两根（a＜b），∴a＝﹣10，b＝﹣8，∵（c﹣16）2与|d﹣20|互为相反数，则：（c﹣16）2+|d﹣20|＝0，∴c﹣16＝0，d﹣20＝0，∴c＝16，d＝20；（2）经过时间t时，A的值为6t﹣10，B的值为6t﹣8，C的值为16﹣2t，D的值为20﹣2t，要使A、B两点都运动在线段CD上，则必须满足条件：A在C的右侧，B在D的左侧（不与C、D两个端点重合），则6t-解得：134故t的范围是：134（3）存在．①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，此时：6t-72由（1）中代数式可得，AD＝20﹣2t﹣（6t﹣10）＝30﹣8t，BC＝6t﹣8﹣（16﹣2t）＝8t﹣24，由题意得：8t﹣24＝4（30﹣8t），解得：t=18∵72∴t=18②点A、B均在点D的右边，此时6t-解得：t＞AD＝6t﹣10﹣（20﹣2t）＝8t﹣30，BC＝6t﹣8﹣（16﹣2t）＝8t﹣24，∴8t﹣24＝4（8t﹣30），解得：t＝4，满足t＞综上所述，存在时间t=185或t＝4，使B与C的距离是A与D的距离的3．如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且|m﹣8|+|n+6|＝0．（1）m＝8，n＝﹣6；（2）P为数轴上的动点，设Q为MP的中点，点P从点M向左运动时，请探究MN+NP与2NQ的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵|m﹣8|+|n+6|＝0，∴m﹣8＝0，n+6＝0．∴m＝8，n＝﹣6．故答案为：8，﹣6；（2）设点P从点M向左运动了x个单位长度，则点P表示的数是8﹣x．∵点M表示的数8，Q为MP的中点，∴点Q表示的数是8-x+82=8﹣0.5∵点N表示的数是﹣6，∴MN＝|8﹣（﹣6）|＝14，NP＝|8﹣x﹣（﹣6）|＝|14﹣x|，NQ＝|8﹣0.5x﹣（﹣6）|＝|14﹣0.5x|．∵若|14﹣x|＝0或|14﹣0.5x|＝0，x＝14或x＝28，∴x的取值范围为：0≤x≤14，14＜x≤28，x＞28．①0≤x≤14，即点P在线段MN上时．∵MN+NP＝14+14﹣x＝28﹣x，2NQ＝2（14﹣0.5x）＝28﹣x．∴MN+NP＝2NQ；②14＜x≤28，即点P在点N的左边距离点M不超过28个单位长度时．∵MN+NP＝14+x﹣14＝x，2NQ＝2（14﹣0.5x）＝28﹣x，14＜x≤28，∴MN+NP＞2NQ；③x＞28，即点P在点N的左边距离点M超过28个单位长度时．∵MN+NP＝14+x﹣14＝x，2NQ＝2（0.5x﹣14）＝x﹣28，∴MN+NP﹣2NQ＝28．综上：点P在线段MN上时，MN+NP＝2NQ；点P在点N的左边距离点M不超过28个单位长度时，MN+NP＞2NQ；点P在点N的左边距离点M超过28个单位长度时，MN+NP﹣2NQ＝28．4．春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为5秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了15cm，从而燃尽时间延长了80%，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多2cm，求慢引线燃烧的速度．【解答】解：设慢引线燃烧的速度为xcm/s，则快引线的燃烧速度为（x+2）cm/s，根据题意，得5（x+2）+5×80%x＝15，解得x=5答：慢引线燃烧的速度为59cm/s5．已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+（c﹣9）2＝0，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动．（1）直接写出a＝﹣12，b＝﹣6，c＝9．（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|的最大值为21．（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？【解答】解：（1）非负数的和为0，这几个非负数都对应0得：a+12＝0，b+6＝0，c﹣9＝0，∴a＝﹣12，b＝﹣6，c＝9，故答案为：﹣12，﹣6，9；（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|＝|x+12|﹣|x﹣9|，当x＜﹣12时，x+12|﹣|x﹣9|＝﹣x﹣12﹣9+x＝﹣21；当﹣12≤x≤9时，x+12|﹣x﹣9|＝x+12﹣9+x＝2x﹣3≤18﹣3＝15；当x＞9时，|x+12|﹣|x﹣9|＝x+12﹣x+9＝21，综上所述，代数式|x﹣a|﹣|x﹣c的最大值为21，故答案为：21；（3）∵点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，当点P运动2秒时，PQ＝2；点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，∵AB＝﹣6﹣（﹣12）＝6，BC＝9﹣（﹣6）＝15，AC＝9﹣（﹣12）＝21，∴点P从点B运动至点C的时间为：9-(-6)1=15s，点Q从点A运动至点C的时间为：9-(-12)3∴可将P，Q两点距离为2的情况分为以下4种，设点P从点B运动ts后，P，Q两点距离为2，∴BP＝t，AQ＝3t，PQ＝2，①如图1，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q右侧时，∵AP＝AB+BP＝t+6，AP＝AQ+PQ，∴t+6＝3t+2，解得：t＝2，∴AP＝t+6＝8s，∴P点开始运动后的第8秒，P，Q两点之间的距离为2；②如图2，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q左侧时，∵AP＝AB+BP＝t+6，AQ＝AP+PQ，∴3t＝t+6+2，解得：t＝4，∴AP＝t+6＝10s，∴P点开始运动后的第10秒，P，Q两点之间的距离为2；③如图3，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q左侧时，∵AC+CQ＝3t，∴CQ＝3t﹣21，∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+PQ+CQ，∴21＝t+6+2+3t﹣21，解得：t＝8.5，∴AP＝t+6＝14.5s，∴P点开始运动后的第14.5秒，P，Q两点之间的距离为2；④如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q右侧时，∵AC+CQ＝3t，∴CQ＝3t﹣21，∵AP＝AB+BP＝t+6，AC＝AP+CQ﹣PQ，∴21＝t+6+3t﹣21﹣2，解得：t＝9.5，∴AP＝t+6＝15.5s，∴Q点开始运动后的第15.5秒，P，Q两点之间的距离为2；综上，当点P运动的第8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2．6．（1）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的四个点．①直线l上以A，B，C，D为端点的射线共有8条；②若AC＝4，BD＝6，BC＝1，点P为直线l上一点，则PA﹣PD的最大值为9；（2）从图1的位置开始，点A在直线l上向左运动，点B，D在直线l上向右与A点同时开始运动，运动过程中BD的长度保持不变，M，N分别为AC，BD的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段AB，CD，MN之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；（3）如图3，点A，B，C为数轴上从左到右顺次的三个点，点A，B表示的数分别为m，n（m＜n），D为AC中点．若AC﹣AB＝3，且n﹣m＞3，AD+3BD＝7，求线段AB的长．【解答】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8条射线，故答案为：8；②∵AC＝4，BD＝6，BC＝1，∴AD＝AC+BD﹣BC＝9，如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），PA﹣PD＝﹣AD＝﹣9，如图所示，当点P在A、D之间时，PA﹣PD＜AD＝9，如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），PA﹣PD＝AD＝9，综上所述，PA﹣PD的最大值为9，故答案为：9；（2）AB+CD＝2MN，理由如下：如图所示，当点B在点C左边时，∵M，N分别为AC，BD的中点，∴AC＝2MC，BD＝2BN，∴AB+BC+CD＝AC+BD﹣BC＝2MC+2BN﹣BC＝2（MC+BN）﹣BC＝2（MN+BC）﹣BC＝2MN+BC，∴AB+CD＝2MN；如图所示，当点B在点C右侧时，∵M，N分别为AC，BD的中点，∴AC＝2MC，BD＝2BN，∴AB+CD﹣BC＝AC+BD+BC＝2MC+2BN+BC＝2（MC+BN）+BC＝2（MN﹣BC）+BC＝2MN﹣BC，∴AB+CD＝2MN，综上所述，AB+CD＝2MN；（3）∵A，B，C为数轴上从左到右顺次的三个点，点A，B表示的数分别为m、n（m＜n），∴AB＝n﹣m，∵AC﹣AB＝BC＝3，且AB＝n﹣m＞3，∴点C表示的数为n+3，AC＝n+3﹣m，点D在线段AB上，∵D为AC中点，∴AD＝CD=12AC=12（n∴BD＝AB﹣AD＝（n﹣m）-12（n+3﹣m）=12（n﹣∵AD+3BD＝7，∴12（n+3﹣m）+3×12（n﹣m﹣3化简得：4n﹣4m＝20，∴n﹣m＝5，∴AB＝n﹣m＝5，7．定义：如果数轴上点A，B，Q所表示的数分别为a，b，q，点Q是线段AB的中点，那么数q是数a与数b的“中间数”．例如：图中点A，B表示的数分别是﹣1，3，线段AB的中点Q所表示的数是1，则1是有理数﹣1与3的“中间数”．（1）概念理解：有理数3与7的“中间数”是5，﹣1与﹣5的“中间数”是﹣3；（2）性质探索：点A，B，Q所表示的数分别是a，b，q（a＜q＜b），若数q是数a与数b的“中间数”，根据定义可知AQ＝BQ，因为AQ＝q﹣a，BQ＝b﹣q，所以数a，b，q之间的数量关系是a+b＝2q；（3）性质运用：已知第一组数3m﹣9与2（1﹣m）的“中间数”是t，第二组数5m﹣7与2（1﹣m）的“中间数”也是t，求m的值，并求出此时第一组数是多少．【解答】解：（1）设3与7的“中间数”为x，由题意得：x﹣3＝7﹣x．解得：x＝5；设﹣1与﹣5的“中间数”为y，由题意得：﹣1﹣y＝y﹣（﹣5）．解得：y＝﹣3．故答案为：5，﹣3．（2）∵a＜q＜b，∴点B在点Q的右边．∴BQ＝b﹣q．∵AQ＝BQ，∴q﹣a＝b﹣q．∴a+b＝2q．（3）∵3m﹣9与2（1﹣m）的“中间数”是t，第二组数5m﹣7与2（1﹣m）的“中间数”也是t，∴3m﹣9+2（1﹣m）＝2t，5m﹣7+2（1﹣m）＝2t．∴3m﹣9+2（1﹣m）＝5m﹣7+2（1﹣m）．解得：m＝﹣1．∴3m﹣9＝﹣12，2（1﹣m）＝4．答：m＝﹣1，此时第一组数是﹣12和4．8．在数轴上O为数轴的原点，点A、B在数轴上对应的数分别表示为a、b，且a+4、b﹣4为最大负整数，AB＝8．a＝﹣5，b＝3．（1）如图1，数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数；（2）如图2，在数轴上有两个动点P、Q，点P、Q同时分别从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，取线段AQ的中点为点C，在运动过程中，若线段PC的长度为固定的值，直接写出m与n的数量关系．【解答】解：∵a+4、b﹣4为最大负整数，∴a+4＝﹣1，b﹣4＝﹣1∴a＝﹣5，b＝3，故答案为：﹣5，3；（1）设点M对应的数为x，点A对应的数为﹣5，点B对应的数为3，①当点M在点A的左侧时，则MA＝﹣5﹣x，MB＝3﹣x，∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，∴MB＝3MA，∴3﹣x＝3（﹣5﹣x），解得x＝﹣9；②当点M在线段AB之间时，则MA＝x+5，MB＝3﹣x，∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，∴MB＝3MA，∴3﹣x＝3（5+x），解得x＝﹣3；③当点M在点B右侧时，不满足题意，综上所述：点M对应的数为﹣9或﹣3；（2）n＝2m，理由如下：设运动时间为t秒，根据题意得：AP＝mt，BQ＝nt，∴AQ＝AB+BQ＝8+nt，∵点C为线段AQ的中点，∴AC＝QC=12AQ=12点C表示的数为：12（8+nt）﹣5=12nt点P表示的数为：mt﹣5，∴PC=12nt﹣1﹣mt+5=12nt∵线段PC的长度总为一个固定的值，∴n2∴n＝2m．9．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝12．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数﹣4，点P表示的数8﹣5t（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝12，∴点B表示的数是8﹣12＝﹣4，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，∴点P表示的数是8﹣5t．故答案为：﹣4，8﹣5t；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC＝5x，BC＝3x，∵AC﹣BC＝AB，∴5x﹣3x＝12，解得：x＝6，∴点P运动6秒时追上点Q；（3）线段MN的长度不发生变化，都等于6；理由如下：∵①当点P在点A、B两点之间运动时：MN＝MP+NP=12AP+12BP=12（AP+BP）=②当点P运动到点B的左侧时：MN＝MP﹣NP=12AP-12BP=12（AP﹣BP∴线段MN的长度不发生变化，其值为6．10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝21cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝21cm，如图3，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在线段AB上向点B方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度在线段AB上向点A方向运动，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．【解答】解：（1）①如图，DP：PE＝1：2．∵DE＝21cm，∴DP=13DE=13×21②如图，EP：PD＝1：2．∴DP=23DE=23×21答：DP长7cm或14cm；（2）①∵点P与点Q重合，∴点P运动的路程+点Q运动的路程＝AB的长．∴t+2t＝21．解得：t＝7．答：当点P与点Q重合时，t的值为7；②Ⅰ、如图：AP：PQ＝1：2．∵AP+PQ+BQ＝21，∴t+2t+2t＝21．解得：t＝4.2．Ⅱ、如图：QP：PA＝1：2．∵AP+PQ+BQ＝21，∴t+0.5t+2t＝21．解得：t＝6．答：当点P是线段AQ的三等分点时，t的值为4.2或6．11．如图，数轴上的三点A、B、C，点A对应的数为﹣10，点B对应的数为﹣4．点C对应的数为8，点O为数轴原点．（1）填空：AC＝18，BC＝12；（2）若点D是数轴上点A、点C之间一点，且CD＝5AD，求线段AD的长及点D对应的数；（3）动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达点C后，立即以同样速度返回，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设它们运动的时间为t秒（0＜t≤12），当P、Q两点间的距离为2个单位长度时，求t的值．【解答】解：（1）∵点A对应的数为﹣10，点B对应的数为﹣4．点C对应的数为8，∴AC＝8﹣（﹣10）＝18，BC＝8﹣（﹣4）＝12．故答案为：18，12；（2）设点D表示的数为x，则AD＝x﹣（﹣10）＝x+10，CD＝8﹣x．∵CD＝5AD，∴8﹣x＝5（x+10）．解得：x＝﹣7．∴AD＝x+10＝3．答：线段AD的长3，点D对应的数为﹣7；（3）①当0＜t≤6时，点P从A向C运动，表示的数为：﹣10+3t，点Q表示的数为：﹣4+t．∵PQ＝2，∴|（﹣10+3t）﹣（﹣4+t）|＝2．∴|2t﹣6|＝2．∴2t﹣6＝2或2t﹣6＝﹣2．解得：t＝4或t＝2；②当6＜t≤12时，点P从C返回，表示的数为：8﹣（3t﹣18）＝﹣3t+26，点Q表示的数为：﹣4+t．∵PQ＝2，∴|（﹣3t+26）﹣（﹣4+t）|＝2．∴|30﹣4t|＝2．∴30﹣4t＝2或30﹣4t＝﹣2．解得：t＝7或t＝8．综上：t＝2或4或7或8．12．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则A、B两点之间的距离AB＝b﹣a，例：在数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是15，则A、B两点间的距离为AB＝15﹣5＝10．定义：在数轴上，如果线段AB间从左往右的点M1，M2，M3，…，Mn﹣1将AB线段n等分，则这n﹣1个点都叫做线段AB的n等分点．若M1是靠近A的第1个n等分点，则记为A＜n，1＞，M2是靠近A的第2个等分点，则记为A＜n，2＞，…Mn﹣1是靠近A的第n﹣1个n等分点，则记为A＜n，n﹣l＞．探究一：如图1，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB的二等分点A＜2，1＞表示的数为a+b-a探究二：如图2，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB上靠近点A的第2个五等分点A＜5，2＞表示的数为3a+2b5应用一：如图3，在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10、﹣2，则线段AB的距离为8；数轴上两点C、D表示的数分别为﹣6、4，则线段CD的距离为10；若线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合，请求出x的值．应用二：如图4，在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10和﹣2，若点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为t秒时，线段AB上靠近A的等分点A＜8，3＞与线段PQ的三等分点重合，请直接写出此时的t为14或7【解答】解：探究二：由题意，得A＜5，2＞表示的数为a+2•b-a5故答案为：3a+2b5应用一：在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10、﹣2，则线段AB的距离为﹣2﹣（﹣10）＝8；数轴上两点C、D表示的数分别为﹣6、4，则线段CD的距离为4﹣（﹣6）＝10；∴线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞表示的数为﹣10+3×84段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞表示的数为﹣6+x•1010=x﹣∵线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合，∴x﹣6＝﹣4，解得：x＝2．故答案为：8；10．应用二：在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10和﹣2，则线段AB的距离为﹣2﹣（﹣10）＝8，∴A＜8，3＞表示的数为﹣10+3×88由题意得，点P表示的为3t﹣10，点Q表示的数为﹣2t﹣2．若点P在点Q左侧，则PQ＝﹣2t﹣2﹣（3t﹣10）＝﹣5t+8，∴P＜3，1＞表示的数为3t﹣10+-5t+83，P＜3，2＞表示的数为3t﹣10+2当A＜8，3＞和P＜3，1＞重合时，所以﹣7＝3t﹣10+-5t+8解得：t=1当A＜8，3＞和P＜3，2＞重合时，﹣7＝3t﹣10+2×-5t+8解得：t＝7（不合题