高等数学 第八章习题B详解_第1页
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文档简介

第八章第二节正项级数及其敛散性判别法已知且,试证：若收敛，则.解反证法.设,由于,因此,所以与有相同的敛散性,而调和级数发散,则发散,矛盾.所以.设数列,满足,级数发散,且,证明级数发散.解由于,所以.因此,所以由不等式形式比较判别法知发散.设正项级数收敛,且,证明级数收敛.解由于,所以.而,由极限形式的比较判别法知收敛,因此收敛.设正项级数收敛,证明级数收敛.解由于正项级数收敛,因此,所以从某项开始,则,由正项级数的比较判别法收敛,由,由正项级数的比较判别法收敛.若,且,证明级数发散.证由于,因此,所以数列单调递增,从而有下界,即存在,使得,所以.由发散,及正项级数不等式形式比较判别法,级数发散.第三节任意项级数及其敛散性判别法若数项级数绝对收敛,条件收敛,证明级数绝对收敛.解由条件收敛,知,因此,,.考虑,由于,则由比较判别法,知收敛.因此级数绝对收敛.若是单调递增的有界数列,证明级数绝对收敛.解由题,,.且由于是单调递增的有界数列,所以收敛,不妨设.考虑,则该正项级数的前项部分和,因此该正项级数部分和数列有界,则级数收敛,所以级数绝对收敛.第四节幂级数已知幂级数在处收敛,求实数的取值范围.解由于收敛域为,且幂级数在处收敛,因此,所以.求幂级数的收敛域与和函数.解由于收敛半径，则收敛区间为，考虑端点处，收敛，所以级数的收敛域为.，当时，考虑，，因此.则幂级数的和函数为.第五节函数的幂级数展开式将展开为的幂级数.解由于,.因此,.将函数在点处展开成泰勒级数.解,收敛域.,收敛域.或,收敛域.已知幂级数的和函数为,求的收敛域与和函数.解由于,因此,,所以.考虑,所以当时,即时,级数收敛,当时,级数发散,则收敛区间为.考虑端

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