2026年高考数学终极冲刺限时预测05（解析版）（全国一卷）

限时预测05（A组+B组+C组）

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在ABC中，角A,B,C对应边分别是a,b,c.已知a,b,c成等差数列，且3sinA2sinC.

(1)求cosA的值；

47

(2)若ABC的外接圆半径为，求ABC的面积.

7

3

【答案】(1)

4

157

(2)

16

【详解】（1）由a,b,c成等差数列知2bac，又3sinA2sinC得3a2c，...................................4

于是a:b:c4:5:6，设a4k，则b5k,c6k，

b2c2a2(5k)2(6k)2(4k)23

所以cosA；.............................................................................6

2bc25k6k4

7

（2）由（1）知sinA1cos2A，...................................8

4

a5

由2R得a2RsinA24772，所以b,c3，...................................10

sinA742

1157157

所以ABC的面积SbcsinA.3...............................................13

222416

16．（15分）如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

BADFAB90,AD2BC,AF2BE．

(1)求证：C，D，E，F四点共面；

(2)设AB2,BCBE1，求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

5

(2)

5

【详解】（1）由平面ABEF平面ABCD，AFAB，得AF平面ABCD，以A为坐标原点，建立如图

所示的直角坐标系Axyz：

设ABa,BCb,BEc，

则B(a,0,0),C(a,b,0),E(a,0,c),D(0,2b,0),F(0,0,2c)，

EC0,b,c,FD0,2b,2c...................................3

1

故ECFD，EC//FD，...................................5

2

C,D,E,F共面....................................7

（2）设AB2,BCBE1，故B(2,0,0),C(2,1,0),E(2,0,1),D(0,2,0)，

设平面ADE的法向量为m(x1,y1,z1)，

由AE(2,0,1),AD(0,2,0)，CE(0,2,2)

2x1z10

得，取x11，可得z12；

2y10

m(1,0,2)，...................................10

设平面CDE的法向量为n(x2,y2,z2)，

由CD(2,1,0)，CE(0,1,1)

2x2y20

得，取x21，所以y22,z22，

y2z20

n(1,2,2)，...................................13

设平面ADE与平面CDE夹角为

mn145

coscosm,n,

mn|535

5

即平面ADE与平面CDE夹角的余弦值................................................15

5

17．（15分）．某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以

立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进

2

行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通

3

过复审专家评审的概率为1，各专家评审能否通过相互独立．

2

(1)求该项目予以立项的概率；

(2)记评审通过该项目的专家人数为X，求X的分布列与期望．

2

【答案】(1)

3

(2)

X012

122

P

993

14

E(X)

9

【详解】（1）该项目予以立项的事件是两位初审专家都评审通过该项目的事件与

两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的事件和，

24

两位初审专家都评审通过该项目的概率P()2，..................................3

139

两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率

2112

PC1，...................................5

223329

422

所以该项目予以立项的概率P．...................................7

993

（2）依题意，X的取值可能为0,1,2，

1121122

且P(X0)()2，P(X1)C1(1)，由（1）知P(X2)PP，...................................10

3923329123

所以X的分布列为

X012

122

P

993

...................................13

12214

数学期望E(X)012................................................15

9939

18．（17分）已知函数fxlnxax1．

(1)求fx的单调区间；

(2)已知fx在0,e上有且仅有两个零点，求a的取值范围.

11ax

【详解】（1）已知fxlnxax1，其定义域为0,.求导fxa​.

xx

当a0时，因为x0，所以1ax0，即fx0.所以fx在0,上单调递增....................................2

1ax1

当a0时，令fx0，即0，因为x0，所以1ax0，解得x.

xa

11

当0x​时，1ax0，则fx0，所以fx在0,上单调递增；

aa

11

当x​时，1ax0，则f′x0，所以fx在,上单调递减....................................5

aa

综上，当a0时，fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间；当a0时，fx的单调递增区间为

11

0,，单调递减区间为,....................................7

aa

（2）由（1）可知，当a0时，fx在0,上单调递增，所以fx在0,e上至多有一个零点，不符合

题意.

11

所以a0，此时fx在0,上单调递增，在,上单调递减.

aa

要使fx在0,e上有且仅有两个零点，当x趋近于0时，fx趋近于,...................................9

所以根据零点存在定理，

1

f0

a

则需满足fe0，...................................11

1

0e

a

111

flna1lna0，解得0a1....................................13

aaa

2

felneae12ae<0，化简得2ae0，解得a.

e

11

又因0e可得a....................................15

ae

2

综上，a的取值范围是,1................................................17

e

x2y23

19．（17分）已知A，B分别为椭圆C：1ab0的左、右顶点，且AB4，C的离心率为．

a2b22

(1)求C的方程；

π

(2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；

4

，

(3)若直线l：xmyt2t2与C交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1k2，且k27k1，

求t．

x2

【答案】(1)y21

4

14545

(2)yx(x)

455

3

(3)t

2

【详解】（1）由题意可得：AB4，即a2，

c3

由离心率ec3，所以b2a2c21....................................2

a2

x2

故椭圆方程为：y21....................................4

4

（2）倾斜角为，可得斜率k1.

4

设直线方程为：yxn，与椭圆联立：

2

x2522

代入得：xn1x2nxn10，...................................6

44

2522

满足2n4n1n50，即5n5.

4

2

8n4n1

则x1x2，xx.

5125

设Dx1,y1，Ex2,y2，

xx4nn

则中点横坐标：x12，纵坐标：yxn.

025005

x

消去参数n得：y0，...................................8

04

14545

所以中点轨迹方程为：yx(x)....................................10

455

（3）

由题意可知直线l：xmyt2t2与椭圆交于M,N，

设k1kAM，k2kBN，Mx3,y3，Nx4,y4，

与椭圆联立方程：xmyt，消去可得222

x2xm4y2mtyt40.

y21

4

2mtt24

则yy，yy，

34m2434m24

y47y3y47y3

根据k27k1，可得，即，...................................13

x42x32my4t2my3t2

123t2

整理得：6my3y47t2y3t2y40，即yy7t2yt2y0，

t3434

可得：2t3t2y3t2y40，...................................15

因为t2，t2为常数，则t2y3t2y40不恒成立.，则2t30，得：

3

t................................................17

2

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2a30,5a2a420.

(1)求数列an的前n项和Sn；

an

(2)记bn2，数列bn的前n项积为Tn，求TnSn的最小值.

2

【答案】(1)Snn4n；

63

(2).

16

【详解】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程：

由a2a30得：(a1d)(a12d)2a13d0，...................................2

由5a2a420得：5a1da13d20,6a18d2，

联立解得：a13，d2，...................................4

n(n1)

则由等差数列前n项和公式可得Snad3nn(n1)n24n；...................................6

n12

（2）由a13，d2，可得等差数列an的通项公式为：an3n122n5，...................................8

an2n5

则bn22，即数列{bn}的前n项积为：

32n5n

2

3112n53112n52n4n，...................................10

Tnb1b2bn2222222

因此：n24n2，

TnSn2(n4n)

令tn24n(n2)24，nN，

因为函数y2tt是关于t的单调递增函数，因此t最小时，y取得最小值，

因为t的最小值在n2时取得，即tmin4，

163

代入可得：y24(4)4,...................................12

min1616

63

即TS的最小值为................................................13

nn16

16．（15分）

如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，底面ABCD为等腰梯形，且

AD∥BC，AD2BC2AB4，E为AD的中点．

(1)求直线PB与平面ABCD的夹角；

11

(2)若AFAP，CGCP，平面EFG与PB交于点M，求线段BM的长度．

33

π

【答案】(1)

4

(2)2

【详解】（1）方法一：连接PE，EB，因为PAPD，所以PEAD，

又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，

所以PE平面ABCD，...................................3

所以PBE即为直线PB与平面ABCD的夹角，

因为AD4，PAPD，PAPD，所以PE2．

又因为底面ABCD为等腰梯形，且AD//BC，AD2BC2AB4，

所以ED//BC，EDBC，所以四边形EDCB为平行四边形，所以EBCD2．...................................5

π

则tanPBE1，所以PBE，

4

π

所以直线PB与底面ABCD的夹角为...................................7

4

方法二：连接PE，EB，因为PAPD，所以PEAD，

又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD交平面ABCD于AD，

所以PE平面ABCD，...................................3

所以PBE即为直线PB与底面ABCD的夹角，

因为AD4，PAPD，PAPD，所以PE2．

又因为底面ABCD为等腰梯形，且AD//BC，AD2BC2AB4，

所以ED//BC，EDBC，所以四边形EDCB为平行四边形，所以EBCD2．

取BC的中点H，连接EH，因为底面ABCD为等腰梯形，所以EHAD，...................................5

由PE面ABCD，建立空间直角坐标系如图所示，

所以P0,0,2,B1,3,0，所以BP1,3,2，

22

面ABCD的法向量为n0,0,1，所以cosBP,n，

222

π

所以直线PB与底面ABCD的夹角为；...................................7

4

（2）取BC的中点H，连接EH，因为底面ABCD为等腰梯形，所以EHAD，

由（1）得PE面ABCD，建立空间直角坐标系如图所示，

所以A2,0,0,P0,0,2,B1,3,0,C1,3,0，

所以AP2,0,2,BP1,3,2,CP1,3,2，

12242

因为AFAP，所以AF,0,，则EFEAAF,0,，

33333

2232

同理EGECCG,,，...................................10

333

mEF02xz0

设面EFG的法向量为mx,y,z，所以，则，

mEG0x3yz0

不妨令x1，所以y3，z2，则m1,3,2．...................................12

令BMBP,3,2，所以EMEBBM1,33,2

1

因为点M在面EFG中，所以mEM13340，所以，

2

13

所以BM,,1，所以BM2．...................................14

22

综上，线段BM的长度为2．...................................15

17．（15分）

一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培

9

训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参

10

2

加专业培训后，考核合格的概率为．

3

(1)若志愿者A，B都参加了培训，求志愿者A，B中至少有1人通过培训考核的概率；

(2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服

务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望．

21

【答案】(1)

25

(2)X的分布列为：

X0123

1428121

P

55555555

数学期望为1

【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立，

923

因此单个志愿者通过培训考核的概率为P，...................................2

1035

32

则单个志愿者没有通过培训考核的概率为1....................................5

55

因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”，

2

因此所求概率221

P11....................................7

525

（2）由题意，X服从超几何分布，X的所有可能取值为0,1,2,3，

CkC4k

39

概率公式为PXk4k0,1,2,3，...................................9

C12

C0C412614C1C338428

3939

分别计算概率得P(X0)4，P(X1)4，

C1249555C1249555

C2C233612C3C191

3939

P(X2)4，P(X3)4，...................................12

C1249555C1249555

因此X的分布列为：

X0123

1428121

P

55555555

...................................14

1428121

所以数学期望为E(X)01231.

55555555

..........................................................15

x2axb

18（17分）已知函数fx的一个极值点是x2．

ex

(1)求a与b的关系式；

(2)求出fx的单调区间；

2

(3)设a0，gxa2ex2，若存在x,x0,3，使得fxgx成立，求实数a的取值范围．

1212e2

【答案】(1)ba2

(2)当a2时，函数fx的单调递增区间为2,a，单调递减区间为,2和a,；

当a2时，函数fx的单调递增区间为a,2，单调递减区间为,a和2,．

(3)0,3

x2axb

【详解】（1）因为fx，

ex

2xaexx2axbexx22axab

所以fx2x，

exe

x2axb

因为函数fx的一个极值点是x2，

ex

所以f20，即ba；...................................2

x22ax2ax2xa

则有fx，

exex

2

x2

当a2时，fx0，函数fx在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意.

ex

所以ba2....................................5

x22ax2ax2xa

（2）fx，由（1）可知a2.

exex

①当a2时，令fx0得x2或xa，列表如下：

x,222,aaa,

fx-0+0-

满足x2是函数fx的极值点；...................................7

②当a2时，令fx0得x2或xa，列表如下：

x,aaa,222,

fx-0+0-

满足x2是函数fx的极值点....................................9

所以当a2时，函数fx的单调递增区间为2,a，单调递减区间为,2和a,；

当a2时，函数fx的单调递增区间为a,2，单调递减区间为,a和

2,．...................................11

x2axa

（3）由（1）（2）知，fx，

ex

且a0时，fx在0,2单调递增，在2,3单调递减，

92a

又因为f0a0，f30，

e3

4a

所以fx在0,3上的最大值为f2，最小值为f0a...................................14

e2

又当a0时，函数gxa2ex2在0,3单调递增，

2

2a

所以gx在0,3上的最大值为g3ae，最小值为g0．...................................15

e2

2

因为存在x,x0,3，使得fxgx成立，

1212e2

22

即存在x,x0,3，使得fxgx成立，...................................16

12e212e2

2

aa2e

e2

即，又a0，所以解得0<a<3，

4aa22

e2e2e2

所以实数a的取值范围为0,3．..............................................................................................17

19．（17分）

已知动圆过定点E2,0，且被y轴截得的弦长为4.

(1)求动圆圆心C的轨迹方程；

(2)已知过点E的直线l与圆心C的轨迹交于A,B两点，点B关于x轴的对称点为B.

（i）求AOB（O为坐标原点）面积的最小值；

（ii）证明：直线AB必过定点D.

【答案】(1)y24x

(2)（i）42；（ii）证明见解析

【详解】（1）解：设动圆圆心为Cx,y，

则CE(x2)2y2，

圆心C到y轴距离为x，动圆被y轴截得的半弦长为2，

则(x2)2y2|x|222，

化简得y24x，

所以动圆圆心C的轨迹方程为y24x....................................4

（2）

（i）解：设直线AB的方程为xmy2,Ax1,y1,Bx2,y2，

xmy2

联立，消去x整理得22，

2y4my80,Δ16m320...................................6

y4x

则y1y24m,y1y28，

1

则AOB的面积为SOEyyyy16m2324m2242，...................................8

21212

当且仅当m0时取等号.

所以AOB面积的最小值为42....................................10

（ii）证明：由题得Bx2,y2，

y2y1

则直线AB的方程为yy2xx2，...................................12

x2x1

根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上，

x2x1x1y2x2y1y2my12y1my22

令y0，得xy2x2

y2y1y2y1y1y2

2my2y12y1y216m8m

2，...................................15

y1y24m

所以直线AB必过定点D2,0.

......................................................17

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC2sinBsinAB.

(1)求角A；

(2)若bc221，ABC的面积为1，求边a的值.

π

【答案】(1)A

4

(2)a5

【详解】（1）ABC中，ABCπ，所以ABπCsinCsinAB

所以sin(AB)sin(AB)2sinB2cosAsinB2sinB...................................2

又sinB0，所以2cosA2，...................................4

π

又因为A0,π，所以A....................................6

4

1

（2）因为SbcsinA1bc22，...................................8

△ABC2

π2

由余弦定理Ab2c2a22bcbca222bc，

4

将bc221，bc22代入解得a25，...................................11

所以a5.................................................................13

16．（15分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，

且．

A1D5

(1)求证：CD平面ABB1A1；

(2)已知P为线段B1C中点，求直线AP与平面A1CD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

25

(2)

5

1

【详解】（1）在三棱柱ABCABC中，AABB2，ADAB1，AD5

1111121

222

ADA1A5A1D，则A1AAD....................................1

^

又四边形BCC1B1是正方形，则B1BBC，B1B//A1A，所以A1ABC.

又ADBCB，AD,BC平面ABC，因此A1A平面ABC....................................3

又CD平面ABC，所以CDAA1.

在等边ABC中，D为AB中点，则CDAB，...................................5

又ABAA1A，AB,AA1平面ABB1A1，所以CD平面ABB1A1....................................7

（2）

取BC中点为O，B1C1中点为Q，则OABC，OQBC.

由（1）知，A1A平面ABC，OA平面ABC，则OAAA1.又B1B//A1A，故OABB1.

又BB1BCB，BB1,BC平面BCC1B1，则OA平面BCC1B1.即OA,OB,OQ两两垂直.

以O为坐标原点，OB，OQ，OA的方向为x轴､y轴､z轴的正方向，建立空间直角坐标

系，...................................10

13

则，，，，，，

O0,0,0A0,0,3A10,2,3C1,0,0D,0,B11,2,0

22

因为P为线段B1C中点，所以P0,1,0....................................11

33

，，

CD,0,CA11,2,3AP0,1,3.

22

设平面A1CD的法向量为nx,y,z，

33

nCD0xz0

则，即22，故可取n1,1,3....................................13

nCA10

x2y3z0

设直线AP与平面A1CD所成角为，

011133425

则sin=cosAP,n

22

2222255

013113

25

所以直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为...........................................................................15

5

17．（15分）

已知抛物线C:y22px(p0)，点F为C的焦点，M,N是C上任意不重合的两点，当直线MN过点F且垂

直x轴时，|MN|4.

(1)求C的方程；

(2)若直线MN过点F且OMN的面积为4，求MN的方程.

【答案】(1)y24x

(2)x3y10或x3y10

【详解】（1）设点Mx1,y1,Nx2,y2

p

因为抛物线C:y22px,(p0)，所以F(,0)，

2

p

当直线MN过点F且垂直x轴时，直线MN的方程为x，...................................2

2

p

把x代入y22px可得yp,yp，...................................4

212

故MN2p4，所以p2，所以方程为y24x....................................6

（2）由（1）可知F1,0，设直线MN方程为xmy1，

xmy12

联立2得y4my40，

y4x

2

则y1y24m,y1y24，16m160，...................................8

所以22222，

|MN|1m(y1y2)4y1y21m16m164(1m)

1

又点O到直线MN距离d，

1m2

111

22

所以SOMNMNd41m21m，...................................14

221m2

令21m24，所以1m22，所以m23，解得m3或m3，...................................16

所以直线MN方程为x3y10或x3y10....................................17

18．（17分）

已知函数fxxlnxlna1x.

(1)求函数fx的单调区间；

(2)设函数fx的零点为x0，设曲线yfx在x0,0处的切线为ykxm，求证：fxkxm.

1x2x11

(3)当a1时，设x1,x20,，且满足fx1fx21，求证：ee.

ea

【详解】（1）fxxlnxlna1x，

由fxlnxlna，...................................2

当x0,a时，fx0，即fx在0,a为增函数；

当xa,时，fx0，即fx在a,为减函数.

所以fx的递增区间为0,a，递减区间为a,；...................................4

（2）由fxxlnxlna1x0，解得x0ae，

又因为fxlnxlna，则faelnaelna1，

所以切线方程为yxae，...................................5

设xxlnxlna2xae，则xlnxlna1，

令xlnxlna10，解得xae，...................................6

当0xae时，x0，当xae时，x0，

可知x在0,ae为增函数，x在ae,为减函数，...................................7

故xae0，所以fxkxm；...................................9

（）由（）可知，

31fxmaxfaa1...................................10

①若x20,a，则fx2x2lna1lnx2x20，

fx1fx2fx1faalnaalnaa1不符合题意；

所以x2a

②若