2026年高考数学终极冲刺限时预测04（原卷版）（全国二卷）

限时预测04（A组+B组+C组）

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

3

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知bcsinAacosC.

3

(1)求角A的大小；

(2)若D为边BC上一点，满足BD2CD，且AD2，求ABC的面积最大值.

16．（15分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1CAA12AB2AC2BC4，BAA160.

(1)证明：直线A1B平面ABC．

(2)设P是棱CC1的中点，求AC与平面PA1B1所成角的正弦值．

17．（15分）

某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，

奖金可累计.具体规则如下：

游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币

第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得

500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；

游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.

第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得

600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.

(1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；

(2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.

18．（17分）

已知点F为抛物线C:x22py的焦点，点G2,1在C上.

(1)求C的方程与点F坐标：

(2)过点0,3的直线，与抛物线C相交于A,B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线y=3相

交于P,Q两点.

（i）若P为线段AB的中点，求证：直线QA为抛物线C的切线；

（ii）若直线QA为抛物线C的切线，过点Q作直线AF的垂线，垂足为H，求GH的最大值.

19．（17分）

ax

已知函数fxexxR.

(1)讨论函数fx的单调性.

m

(2)设函数gxfxaa0,mR，若存在唯一实数a使函数gx的最小值为0，求实数m的取值范

围.

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知an是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a2a512，S525.

(1)求an的通项公式；

2

(2)若数列bn满足bn，其前n项和为Tn，证明：Tn1.

anan1

16．（15分）

某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮

服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表：

经常购买不常购买

男性用户4010

女性用户3020

(1)依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？

(2)从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为

女性用户”，利用该调查数据，给出PBA，PBA的估计值．

2

nadbc

附：2．

abcdacbd

Pχ240.0500.0100.005

k3.8416.6357.879

17．（15分）

已知椭圆C过点M2,1，两个焦点坐标分别为6,0,6,0．

(1)求椭圆C的方程．

(2)已知A,B为椭圆C上异于M的两点，且直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形．

（i）求证：直线AB的斜率为定值；

（ii）求△MAB面积的最大值．

18（.17分）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD//BC，ADAP2BC2AC6，CD35.

(1)求证：ACPD；

(2)若G为△PCD的重心，

（i）求GC与平面PBD所成角的正弦值；

AF

（ii）若AG交平面PBD于F，求的值.

AG

19．（17分）

已知函数fx2exax，aR．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若fx在R上有两个零点，求实数a的取值范围；

12

x1x2

(3)若函数gxfxx有两个极值点x1，x2，证明：ee4．

2

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

2

甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙

3

答对每道题目的概率都是1，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答

2

题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答

对是独立的，且两人答题互不影响，

(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；

(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X，求X的分布列与期望.

16．（15分）

已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且S945，a3，a4，a7成等比数列.

(1)求an的通项公式；

(2)求使Snan成立的n的最小值.

17．（15分）

在三棱锥PABC中，ABC和△APC均为等边三角形，AC2，点F为线段PB的中点．

(1)证明：平面PBC平面ACF；

5

(2)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，求二面角PACB的余弦值．

8

18．（17分）

已知函数fxa2x23axlnx，a0．

(1)当a1时，求曲线yfx在1,f1处的切线方程；

(2)讨论fx的零点个数；

3

(3)当a时，证明：fx2sinx．

2

x2y2

19．（17分）已知A1，A2为椭圆C:1(0b3)的左，右顶点，M为C1上的一点，N为双曲线

13b2

x2y2

C:1上的一点（M，N两点不同于A1，A2两点），设直线A1M，A2M，A1N，A2N的斜率分别

23b2

为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k40.

(1)设O为坐标原点，证明：O，M，N三点共线；

(2)设C1、C2的右焦点分别