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文档简介

专题3.4导数的应用:单调性、极值与最值(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1函数与导函数图象问题】...........................................................................................................................1

【题型2利用导数判断单调性、求单调区间】.......................................................................................................4

【题型3由函数的单调性求参数】...........................................................................................................................6

【题型4导数中函数单调性的应用】.......................................................................................................................9

【题型5利用导数求函数的极值】.........................................................................................................................11

【题型6根据极值(点)求参数】.........................................................................................................................14

【题型7利用导数求函数的最值】.........................................................................................................................16

【题型8已知函数最值求参数】.............................................................................................................................19

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1函数与导函数图象问题】

1.(2025·广东·一模)已知函数的导函数图象如图所示,则下列说法中错误的是()

�=�(�)

A.在区间上单调递增B.是的极大值点

C.当��1时,4,D.�=7在区�间=�(�)上单调递减

【答案】C4<�<7��>0��7,+∞

【解题思路】利用导函数的图象,判断导函数的符号,判断函数的极值以及函数的单调性,推出结果.

【解答过程】解:由导函数的图象可知:导函数在,导函数的符号为正,函数单调递增,A正确;

时,,函数单调递增,,1,4,函数单调递减,��

′′

�所<以7�是�>0的极大�值�点,B正确;�>7��<0��

在�=区7间�=�(�上)单调递减,D正确;

�当�7时,+,∞函数单调递增,可能,所以C不正确;

故选4:<C�.<7����<0

2.(25-26高三上·湖北黄冈·月考)已知是定义域为的函数的导函数,且函数

′′

的图象如图所示,则()��−2,2����=���

A.的极大值点为1,无极小值点B.的极小值点为1,无极大值点

C.��的极大值点为0,极小值点为1D.��的极小值点为0,极大值点为1

【答案】�D���

【解题思路】根据图象得到的正负,进而求出的正负,得到极值点情况.

【解答过程】由图象可得,当��时,��,故,

′′

当时,−2≤�,<故0��,=���>0��<0

′′

当0<�<1时,��=���>0,故��>0,

′′

所以1<�在≤2上�单�调=递��减,�在<0上�单�调递<增0,在上单调递减,

故�的�极大−值2,0点为1,极小值点为0,101,2

故选��:D.

3.(25-26高二上·云南玉溪·月考)已知函数的定义域为R,且的图象是一条连续不断的曲线,

的导函数为,若函数�的(�)图象如图所示,则(�(�))�(�)

′′

�(�)�(�)=(�+2)�(�)

A.2是的极值点

B.�的(�单)调递增区间是,

C.�(�)的单调递减区间是(−1,1)(2,+∞)

D.�当(�)时,(−∞,0)

【答案】C�=1�(�)<0

【解题思路】根据的图象,可得的正负情况,得的单调性,结合极值点的概念判断各个选项.

【解答过程】根据��的图象,当��时,��,则,

′′

当时,���<−2,则��=�+,2��>0��<0

′′

当−2<�时<,0��=�+2��,则<0��,仅<0,

′′′

所以�>0在��=上单�+调2递�减�,在≥0�上�单≥调0递增,�2=0

对A,��−左∞右,0两侧导函数符号不变0,,+故∞A错误;

对B,�=2在内有增有减,故B错误;

对C,��的(单−调1递,1)减区间是,故C正确;

对D,�当(�)时,,(−故∞D,0错)误.

故选:C.�=1��>0

4.(24-25高三上·贵州遵义·月考)已知函数的定义域为且导函数为,函数的

′′

图象如图,则下列说法正确的是()������=�+2⋅��

A.函数的增区间是

B.函数��的减区间是−2, 0, 2, +∞

C.�是�函数的极大值−点∞, −2, 2, +∞

�=2

D.是函数的极大值点

【答案】D�=0

【解题思路】根据函数图象确定导函数的符号,确定函数的单调区间和极值.

【解答过程】根据的图象可知:当时,;

′′

当时,�=�+2,⋅�当�时,�<−2,当��时>,0.

′′′

所以−2<�在<0�上单�调>递0增,在0<�<上2单调递�减�,<在0�>上2单调递�增�.>0

因此函��数−在∞,0时取得极小值,0,2在时取得极大2值,+.故∞ABC错误,D正确.

故选:D.���=2�=0

【题型2利用导数判断单调性、求单调区间】

5.(2025·湖北黄冈·二模)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是()

A.B.

1−�2�

��=ln1+���=lne+1−�

C.D.

�−�2

【答案】�D�=lne−e��=ln�+1+�

【解题思路】由奇函数的性质和导数逐一判断即可.

【解答过程】对于A,由题意可得,解得,所以定义域为,

又1+,�所1以−为�减>函0数,故−A1错<误�;<1−1,1

1+�−1+�−1−�−2

′22

��=1−�×1+�=1−�<0

对于,,,

B2�

e+11

−2�2�2�2�

e

二者不相�等−,�所=以l不n是e奇函+数1,+故�=Bl错n误;+�−��=−lne+1+�=lne+1+�

对于C,定义域需满足,即,定义域不关于原点对称,所以不是奇函数,故C错误;

�−�

对于D,定义域为,e−e>0�>0

R,为奇函数;

21

2

�−�=ln�+1−�=ln�+1+�=−��

,为增函数,故D正确.

′1�

22

��=�+1+��+1+1>0

故选:D.

6.(2025·海南海口·模拟预测)已知函数,则的单调递减区间为()

A.��B=.�−ln���

C.−∞,1D.0,1

【答案】B1,+∞0,+∞

【解题思路】求导,根据导数为负即可求解.

【解答过程】的定义域为,

��=,�−ln�0,+∞

′1�−1

��=1−�=�

令,解得,

′�−1

故��的=单�调递<减0区间为0<�,<1

故选��:B.0,1

7.(2025·河南鹤壁·模拟预测)设的导数为,若函数的图象关于

32′′

直线对称,且.��=2�+��+��+1�(�)�=�(�)

1′

�=−2�(1)=0

(1)求实数的值;

(2)求函数�,�的单调区间.

【答案】(1�)�,;

(2)的单�调=递3增区�=间−为12,;单调递减区间为.

【解�题�思路】(1)求得−,∞,根−据2二1次,+函∞数对称性,以及−2,,1即可求得;

′′

(2)根据(1)中所求解�析(�式),判断的正负,即可判断�原(1函)=数0单调性,从而�求,�得单调区间.

【解答过程】(1)因�(�),故.

32′2

因为的图象关��于直=线2�+��对+称�,�即+1�(�,)解=得6�+2.��+�

′1�1

又由于�=�(�),即�=−2,解得−6=−;2�=3

故�(1)=0.6+2�+�=0�=−12

(2)�=由3,�知=−12,.

32′2

令1,�即�=2�+3�−12�,+1解得�(�)=6�+6�.−12=6�−1�+2

当�(�)=0时6,�−1�+2,故=0在�1=−2,上�2为=增1函数;

当�∈−∞,−时2,�(�)>,0故�在�−∞上,为−减2函数;

当�∈−2,1时,�(�)<0,故��在−2,1上为增函数.

综上�∈所述1,,+∞的单�调(�递)>增0区间为��1,+,∞;单调递减区间为.

��−∞,−21,+∞−2,1

8.(2025·江苏南京·二模)已知函数.

12

�(�)=2�−(�+2)�+2�ln�(�∈�)

(1)当时,求函数在处的切线;

(2)讨论�=函−数3的单调性�.(�)�=1

�(�)

【答案】(1);

11

4�+�−2=0

(2)答案见解析.

【解题思路】(1)把代入,求出导数,再利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)求出导数,按�=,−3,,分类讨论即得函数的单调性.

�≤00<�<2�=2�>2

【解答过程】(1)当时,,求导得,则,而,

12′6′3

�=−3�(�)=2�+�−6ln��(�)=�+1−��(1)=−4�(1)=2

所以函数在处的切线方程为,即.

3

�(�)�=1�−2=−4(�−1)8�+2�−11=0

(2)函数的定义域为,

12

�(�)=2�−(�+2)�+2�ln�(0,+∞)

求导得,

′2�(�−�)(�−2)

当�时(�,)=由�−(�+2,)+得�=�;由,得,

′′

函数�≤0在�上(�单)调<递0减,0在<�<2上单�调(�递)>增0;�>2

当�(�)(0时,2),由,得(2,+∞);由,得或,

′′

函数0<�在<2上单�调(�递)<减0,在�<和�<2�上(单�)调>递0增;0<�<��>2

当�(�)时,(�,2),函(0,数�)(2在,+∞)上单调递增;

2

′(�−2)

当�=2时,由�(�)=�,≥得0�(;�)由(0,+∞),得或,

′′

函数�>2在�上(�单)<调0递减,2在<�<和��(�)上>单0调递增0,<�<2�>�

所以当�(�)(2时,�,)函数在(0上,2单)调(递�,减+,∞)在上单调递增;

当�≤0时,函数�(�)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞和)上单调递增;

当0<�时<,2函数在�(�)(�,2上)单调递增;(0,�)(2,+∞)

当�=2时,函数�(�)在(0,+上∞)单调递减,在和上单调递增.

�>2�(�)(2,�)(0,2)(�,+∞)

【题型3由函数的单调性求参数】

9.(2025·吉林松原·模拟预测)若函数的减区间为,则的值为()

3

A.3B.1��=C�.−��−D1,.1�

【答案】A−1−3

【解题思路】根据题意,求得,结合的解集为,列出方程组,即可求解.

′2′

【解答过程】由函数��=,3可�得−���≤,0−1,1

3′2

因为函数��的=减�区−间��为�,�即不=等3�式−�的解集为,

32

��=�−��−1,13�−�≤0−1,1

所以,且,解得,

2��

�>03�−�≤0−3≤�≤3

所以且,解得.

��

33

故选:−A.=−1=1�=3

10.(2025·河北·模拟预测)已知,,两个函数图象至少有一个在区间

2�

上不单调,则的取值范围是(�)�=�−����=�+�e−1,2

A.�B.C.D.

【答案】D−2,4−3,0−3,−2−3,4

【解题思路】利用二次函数的性质,求得函数在上不单调时,求得的取值范围,再由导数求得函

数在上不单调时,求得的取值范围�,�进而1得,2到答案.�

【解�答�过程1】,2由函数�的对称轴为,

2�

��=�−���=2

若在上不单调,则满足,解得;

��1,2−1<2<2−2<�<4

又由函数,可得,

�′�

若在��=上�不+单�调e,则满足��=�+�+1,e解得,

所以�两�个函−数1,2图象至少有一个在区−间1<−�上−不1单<调2,则有−3<�<0或,

可得,所以实数的取值范−围1,2为.−2<�<4−3<�<0

故选:−3D<.�<4�−3,4

11.(2025·山东菏泽·一模)已知函数在区间单调,则的取值范围是()

2

A.��=B��.−ln��>01,2�

111

0,2∪1,+∞0,8∪2,+∞

C.D.

111

2,18,2

【答案】B

【解题思路】先对函数求导,令导数等于0,求出增减区间,进而得到或,即可求得结

11

果.��2�≤12�≥2

【解答过程】由已知得,当时,令,得,

′1′1

��=2��−��>0��=0�=2�

令,解得;令,解得;

′1′1

��>0�>2���<0�<2�

故在区间上单调递减,在区间上单调递增,

11

��0,2�2�,+∞

所以若在区间上单调,则需满足或,即或,

1111

��1,22�≤12�≥20<�≤8�≥2

所以的取值范围是

11

�0,8∪2,+∞

故选:B.

.(陕西西安一模)若函数在上不单调,则实数的取值范围为()

122025··2

��3

ℎ�=�e−2+�2,3�

A.B.C.D.

21211121

32323233

e,ee,e2,ee,2

【答案】B2e2e

【解题思路】函数在上不单调,意味着其导数在该区间内有正有负,即

2

��3′3′

ℎ�=�e−2+�2,3ℎ�2,3ℎ�

在内有零点,将分离参数为,通过构造函数,求与0的大小,得到

3�−1�−1

′��′

2,3ℎ�=0�=e�(�)=e�(�)�(�)

的单调性,从而求出的取值范围,进而得到的取值范围.

【解答过程】�(�),�,在上不单调,

22

��′���3

∵ℎ�=�e−2+�∴ℎ�=�e−�+1∴ℎ�=�e−2+�2,3

在上有变号零点,

′�3

∴ℎ�=�e−�+12,3

即存在,使得,

3′�

�∈2,3ℎ�=�e−�+1=0

在上有解,在上有解,

3�−13

��

∴�e−�+1=02,3∴�=e2,3

,,,

′��′

�−13(�−1)e−(�−1)(e)2−�

�′�2�

∵�(�)=e�∈2,3∴�(�)=(e)=e

,即,解得,在上是增函数;

2−�33

′�

∴�(�)>0e>02≤�<2∴�(�)�∈2,2

,即,解得,在上是减函数.

2−�

′�

∴�(�)<0e<02<�≤3∴�(�)�∈2,3

又,,,,

31123

323

22ee2

∵�()=2e�(2)=�(3)=∴�(2)>�()>�(3)

在上有解,,

�−1321

�32

∵�=e2,3∴�(3)≤�≤�(2)∴e≤�≤e

当时,,设,,

���

1eee

2′2′2′2

�=eℎ�=e−�+1�(�)=ℎ�=e−�+1�(�)=e−1

当,解得,得在上是增函数;

e

′2

�(�)=e−1>02<�≤3�(�)(2,3]

当,解得,得在上是减函数

�.

e33

′2

�(�)=e−1<02≤�<2�(�)[2,2)

则在处取最小值为,在上恒成立,即在上恒成立,得到

3′3

�(�)�=2�(2)=0�(�)≥0[2,3]ℎ�≥0[2,3]ℎ�

在是增函数,不满足题意,说明不满足题意,同理也不满足题意,综上可得.

31221

2332

[2,3]�=e�=ee<�<e

故选:B.

【题型4导数中函数单调性的应用】

.(广东肇庆一模)已知,,,则()

132025··4

1−5

A.B.�=5�=lCn.1.2�=eD.

【答案】B�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】令,利用导数研究单调性得,进而判断大小,令

,利用导数研�究�单=调ln性�得−�+1,即可比较大小,ln进�而≤求�−解1.�,���=e−�−

【1解答过程】令e≥�+,1所以�,�,令有,

′11−�′

当��=ln�−�+1�,�所=以�−1=在�单调�递�增=,0在�,=1单调递减,

′′

所以�>1⇒��<0,,0<即�<1⇒��,>所0以��0,1,即1;+∞

1

令��≤�1=0,所以ln�≤�−1,当ln1.2<1.2−1=0.2=5�<�,

�′�′′

所以��=在e−,�−1单调递�增�,在=e−1单调�递>减0,⇒所�以�>0,�<0⇒��<0,

所以��0+∞,即;−∞,0��≥�0=0⇒e≥�+1

4

−54

综上所e述>,−5+1=0..2�<�

故选:B.�>�>�

14.(2025·广东茂名·二模)已知函数为上的奇函数,,当时,,不等

式的解集为()����2=0�>0��+��>0

�A−.1��<0B.

C.−∞,−2∪0,1D.−∞,−2∪1,2

【答案】D−2,0∪0,1−2,0∪1,2

【解题思路】构造函数,利用导数得到在各区间的符号,再分类讨论即可解出不等式.

【解答过程】构造��=e,�则���,

�′�′

因为当时,��=e��,�则此�时=e��,+��单调递增,

′′

则�>0的�正�负+符�号�由>0决定,��>0��

−�

又因��为=e��,则,�因为�在上单调递增,

则当�2=0时,�2=0,所以此�时�0,+∞,

−�

0<�<2��<0��=e��<0

当时,,所以此时,

−�

又因�>为2为�上�的>奇0函数,则当��=e�时�,>0,则,

当��时,�,则−2<�<0−�,∈0,2��=−�−�>0

且�<−2−�∈2,+∞,��=−�−�<0

则若�−2=−�2=,0=则�0或

�−1>0�−1<0

�−1��<0

即或��<0��>0,解得或,

或或

�>1�<1

1<�<2−2<�<0

综上0,<�<2�<−2的解−集2为<�<0�>2.

故选:D�.−1��<0−2,0∪1,2

15.(2025·浙江杭州·模拟预测)定义在上的可导函数,满足,且,

2��ln�1

′2

若,,,则、0、, +的∞大小关系是(�)���+�=��e=2e

�A=.�3�=�2B�.=�e���C.D.

【答案】C�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】根据题意,结合条件求导可得在上为减函数,由其单调性即可判断、、的大小

关系.��0,+∞���

【解答过程】由已知可得:,令,

2′2

则���,+2���=ln���=���

′2′

且��=���+2���=ln�,

�����−2���ln�−2��

2′33

再令��=�,��=,�则=�,

′′

当ℎ�=�时ln,�−2��,即ℎ函�数=1+在ln�−上2�为增�函=数1,−ln�

∴当�∈0,e时,ℎ�>0,即函数ℎ�在0,e上为减函数,

�∈e,+∞ℎ�<0ℎ�,e,+∞

2

∴ℎ�≤ℎe在=e−2�上e恒=成e立−,2e�e在=0上为减函数;

∴��≤0,0,+∞∴,�即�0,+∞.

∵故2选<:eC<.3∴�2>�e>�3�>�>�

16.(2025·湖南·三模)已知是定义在上连续可导函数,其导函数为,若

,且,则�=不�等�式1,+的∞解集为()�=��

���A.<���3B=.6�ln�>C.2ln�D.

233

【答案】D1,33,e1,ee,e

【解题思路】构造函数,根据条件得在区间上单调递减,从而可得,

��

即可求解.��=�>1��1,+∞1<ln�<3

【解答过程】令,则,

�����−��

′2

因为��,=则��>1�,�所=以�,

′′′

则���<��在�区�间�−��上<单0调递减�,�<0

��

��=��>11,+∞

又,由,得到,所以,

�ln��3

ln�>2=3

解得�3=6�,ln�>2ln�1<ln�<3

ln�>1

3

故选:eD<.�<e

【题型5利用导数求函数的极值】

17.(2025·新疆·模拟预测)已知函数在处有极小值,则极大值为()

2

A.32B.1��=C�(.�−�)�=2D.0

32

27

【答案】C

【解题思路】求导,根据极值点可得或,即可代入导数中,确定函数单调性,得函数的极值点求

解.�=6�=2

【解答过程】由题意可得,

′2

由于是极小值点,�故�=(�−�)+2��−�=�−�,3或�−�,

当�=时2,�2=2,−当�6−�和=0⇒时�,=2�=,6当时,,

′′′

故�=6在�单�调=递减�,−在63�−6和�>6单调�递<增2,��>02<�<6��<0

此时��2是,6函数的极大值点6,,+不∞符合题−意∞,,2舍去,

当�=时2,,当和时,,当时,,

′2′2′

�=2��=�−23�−2�>2�<3��>03<�<2��<0

故在单调递减,在和单调递增,

22

��3,22,+∞−∞,3

此时是函数的极小值点,符合题意,且是极大值点,故极大值为,

2222232

故选:�=C.2�=3�3=33−2=27

18.(2025·江苏·三模)设函数的定义域为是的极大值点,则()

A.是的极小值点�(�)B.�,�0�是0≠0的�(极�)大值点

C.−�0是�(−�)的极小值点D.−�0是−�(�)的极大值点

−�0−�(−�)−�0��

【答案】C

【解题思路】A选项,的图象和的图象关于轴对称,是的极大值点;BD选项,可举

出反例;C选项,�(−�的)图象和�(�的)图象关于原�点对称,故−�0是�(−�)的极小值点.

【解答过程】A选项−,�(−�)的图象和�(�)的图象关于轴对称,−�0−�(−�)

因为是�的(极−大�)值点,故�(�)是的�极大值点,A错误;

000

BD选�项�,≠取0�(�),则−�是�(−�的)极大值点,

2

��,=故−�不+是1�的0极=−大1值点�,(�B)错误;

2

−��=�+1,其1为偶−函�数(�,)在上单调递减,

2

�(不�是)=−�的极+1大值点,D错误.0,+∞

C1选项�

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