第10章算法初步统计与统计案例概率第3节用样本估计总体

第3节用样本估计总体

考试要求1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频

率分布折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和

作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标

准差)，并作出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体的频率分布，会用样

本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会

用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

知识梳理

1.频率分布直方图

(1)频率分布表的画法：

第一步：求极差,决定组数和组距，组距=荒极装差;

第二步：会组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.

(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)

横轴表示样本数据，纵轴表示磊，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频

至

2.茎叶图

统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的

旁边生长出来的数.

3.样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.

(2)中位数：把〃个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两

个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

⑶平均数：把如+碓｝…+比称为⑶,…，。“这〃个数的平均数.

⑷标准差与方差：设一组数据斤，X2,普，…，x〃的平均数为x,则这组数据的标

准差和方差分别是

(XI—X)12+(X2-X)2-\----F(物一JV)2],

s2=J(Xl—X)?+(X2-----F(Xn—X)2].

1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的

面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

2.平均数、方差的公式推广

⑴若数据xi,X2,…，即1的平均数为x,那么"?xi+a,"ic+a,…，rwc〃

十。的平均数是mx+a

(2)数据XI,X2,,,,,心的方差为$2.

①数据xi+”，xi+af,,,,的方差也为一；

②数据4X1,仪2,…，的的方差为必2.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()

(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.()

⑶频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越

大.()

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相

同的数据可以只记一次.()

答案⑴J(2)X(3)V(4)X

解析(2)错误.方差越大，这组数据越离散.

(4)错误.在茎叶图中，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.

2.(2021.天津卷)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，

将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),…，[94,98],并整理得

到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是()

A.20B.40C.64D.80

答案D

解析由频率分布直方图可知，评分在区间［82,86）内的影视作品数量为

400X0.05X4=8（）.

3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中

位数和平均数分别是（）

79

012346

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

答案A

解析这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,

・••中位数是乙91+彳92==91.5,

丁“皿-87+89+90+91+92+93+94+96

平均数x=---------------------g------------------------

=91.5.

4.（易错题）已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是,平均数是

答案6567

解析因为最高小长方形中点的横坐标为65,

所以众数为65；

平均数x=（55X0.030+65X0.040+75X0.015+85X0.010+95X0005）X10=67.

5.（2021・新高考全国I［卷改编）下列统计量中，能度量样本X2,…，灯的离散程

度的所有正确编号有.

①样本筋,X2，…,。的标准差;

②样本XI，X2,…，Xn的中位数;

③样本XI，X2,…，X"的极差；

④样本.，X2,…，%的平均数.

答案①③

解析由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义

可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据

的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势.故①③正确.

6.（易错题）若数据加，至，X3,…，刈的平均数x=5,方差？=2,则数据3笛+1,

3初+1,3》+1,…，3x”+1的平均数和方差分另［为.

答案16,18

解析Vxi,X2,X3,…，X”的平均数为5,

3x1+1,3工2+1,3x3+1,…，3x〃+1的平均数是3X5+1=16,

Vxi,X2,X3,,,,,X〃的方差为2,

A3X1+1,3x2+1,3^+1,…,3x〃+l的方差是32X2=18.

例1某公司为了解用户对其产品的满意度，从4B两地区分别随机调查了40

个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布

直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

图①

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

分分组

频数28141()6

⑴在图②中作出3地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两

地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

图②

⑵根据用户满意度评分，将用户和满意度分为三个等级：

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.

解(1)作出频率分布直方图如图：

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分

的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;3地区用户满意度评分比较集中，

而A地区用户满意度评分比较分散.

(2必地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记C八表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；

以表示事件：“8地区用户的满意度等级为不满意”.

由直方图得P(C)的估计值为

(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,

P(CB)的估计值为(0.005+0.02)X10=().25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

感悟提升1.频率分布直方图的性质.

频率

(1)小长方形的面积=组距X£==频率；

⑵各小长方形的面积之和等于1:

(3)小长方形的高=频就率.

2.要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系.

训练1(2021•江西省重点中学联考)江西省重点中学协作体于2021年进行了一次

校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,

90］之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是()

A.得分在［40,60)之间的共有40人

B.从这1()0名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,8())的概率为().5

C.这100名参赛者得分的中位数为65

D.可求得«=0.005

答案C

解析对于A,得分在［40,60)之间的有100X［1—(0.030+0.020+0.010)X10］=

40(人)，故A正确；

对于B,从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80）的概率为（0.030+

0.020）X10=0.5,故B正确；

对于D,由（a+0.035+0.030+0.020+0.010）X10=1,解得«=0.005,故D正确；

对于C,得分在［40,60）的频率为（0.005+0.035）X10=0.4,

得分在［60,70）的频率为0.030X10=0.3,

05—04

・••这1（）（）名参赛者得分的中位数为60+FT^X1（）~63.3,故C错误.

V7・J

角度1扇形图

例2（2022.郑州模拟）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同

学参加课外知识测试，测试共5题道，每答对一题得20分，答错得0分.已知每

名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，

测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.该次课外知识测试及格率为90%

B.该次课外知识测试得满分的同学有3（）名

C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D.若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440

名

答案C

解析由题图可知及格率为1-8%=92%,故A错误.

该次课外知识测试得满分同学占的百分比为1一8%—32%—48%=12%,则得满

分的同学有12%X200=24（名）故B错误.

中位数为80分，平均数为40X8%+60X32%+80X48%+100X12%=72.8分，

故C正确.

3OOOX（48%+12%）=1800（名），故D错误.

角度2折线图

例3（2021•昆明诊断）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次

数为基础所得到的统计指标.搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，

对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2019年9月到2020年2月这半年来

某个关键词的搜索指数变化的统计图.

根据该统计图判断，下列结论正确的是（）

A.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化

B.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱

C从该关键词的搜索指数来看，2019年1()月的方差小于11月的方差

D.从该关键词的搜索指数来看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值

答案D

解析由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，

排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，

排除B；由统计图可知，2019年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波

动较小，所以2019年10月的方差大于II月的方差，排除C；由统计图可知，2019

年12月该关键词的搜索指数大多高于1()000,该月平均值大于1()000,2020年1

月该关键词的搜索指数大多低于10000,该月平均值小于1()000,选D.

角度3茎叶图

例4(2022・西安模拟)中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最

高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准

备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训

队考试成绩的众数与中位数分别为()

712344557

8:;45556

A.85,75B.85,76

C.74,76D.75,77

答案B

解析由茎叶图知，出现的数据最多的是85,故众数为85；

由于数据总数为14个，故中位数为排序后第七个和第八个数据的平均数，即

75+77乩3

—5—=76,故选B.

感悟提升1.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.

2.折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于

显示在相等时间间隔下数据的趋势.

3.茎叶图的三个关注点

(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.

(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.

(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重

心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.

训练2(1)由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现

学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处

通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说

法错误的是()

A.样本容量为240

R.若m=50.则本次自主学习学生的满意度不低于四成

C.总体中对方式二满意的学生约为300人

D.样本中对方式一满意的学生为24人

⑵(2022・南昌测试)爱美之心，人皆有之，健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的

项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他

们的体重(单位：kg1情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情

况如柱状图2所示，对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是

()

A.他们健身后，体重在区间［90,100)内的人数增加了4

B.他们健身后，体重在区间［100,110)内的人数没有改变

C.因为健身前后体重在区间［100,110)内的人数所占的比例没有发生变化，所以

健身对体重没有任何影响

D.他们健身后，原来体重在区间［110,120)内的肥胖者的体重都有减少

答案(1)B(2)C

解析(1)选项A,样本容量为6000X4%=240,该选项正确；

选项B,根据题意得自主学习的满意率为60°+：*^2504.358V0.4,该选项错

误；

选项C,样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为

I500X20%=300,该选项正确；

选项D,样本中对方式一满意人数为2000X4%X30%=24,该选项正确.

(2)健身前体重在区间［90,100),［100,110),［110,120)内的人数分别为40X30%,

40X50%,40X20%,

即12,20,8,健身后体重在区间［80,90),［90,100),［100,110)内的人数分别

为40X10%,40X40%,40X50%,

即4,16,20.

所以健身后，体重在区间［90,100)内的人数增加了16—12=4,故A选项正确；

健身后，体重在区间［100,110)内的人数与健身前一样，同为20,故B选项正确;

虽然健身前后体重在区间［10(),11())内的人数所占的比例没有发生变化，但是健

身后没有体重在区间［110,120)内的人，所以健身对体重有影响，故C选项错误;

健身前，体重在区间［110,120)内的有8人，健身后没有体重在区间［110,120)

内的人，故D选项正确.故选C.

例5(1)(2021•太原模拟)已知一组数据1,2,a,b,5,8的平均数和中位数均为4,

其中小心,在去捏其中的一个最大数后，该组数据的()

A.平均数不变B.中位数不变

C.众数不变D.标准差不变

(2)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成

绩如下表(单位：环)：

甲1()8999

乙1()1()799

如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是_______.

答案(1)C(2)甲

解析(1)由平均数为4知，。+。=8;由中位数为4,得。=〃=4或。=3,力=5.

去掉最大数8后，根据平均数与标准差的意义，知平均数和标准差均变小，中位

数可能是4,也可能是3,当。=〃=4时，众数与原来一致，都为4；当。=3,b

=5时，众数也与原来一致，都为5,故选C.

⑵由题意可得x甲乙=9,

1?

又•••媚=彳乂［(9一1())2+(9—8)2+(9—9)2+(9—9)2+(9—9)2］=彳，

JJ

4=1X[(9-10)2+(9-10)2+(9-7)2+(9-9)2+(9-9)2]=|>4,

・•・甲更稳定，故最佳人选应是甲.

感悟提升1.平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数

据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；

标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.

2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

训练3(1)(2020•全国m卷)设一组样本数据的，%2,…，%的方差为0.01,则数据

10X1,10.E2,…，l(k〃的方差为()

A.0.01B.0.1C.1D.10

⑵(2022.成都诊断)构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努

力的方向.某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.

如图所示的是该校高二(1)(2)班两个班级在杲次活动中的德智体美劳的评价得分

对照图(得分越高，说明该项教育越好).下列说法正确的是()

A.高三(2)班五项评价得分的极差为1.5

B.除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分

C.高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高

D.各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大

答案(DC(2)C

解析⑴1()»,10x2,…，10x〃的方差为1。2*0.01=1.故选C.

(2)高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5,

所以极差为9.5—8.5=1,A错误；

对于B,两班的德育分相等，B错误；

对于D,两班的劳育得分相差最大，D错误.故选C.

A级基础巩固

1.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数为()

A.4B.8C.12D.16

答案B

解析设频数为小则亲=0.25,

・・・〃=32X0.25=8.

2.（2021・洛阳模拟）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示为

了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行

调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

A.200,20B.100,20

C.200,10D.100,10

答案A

解析由图①得样本容量为（3500+2000+4500）X2%=10000X2%=200,

抽取的高中生人数为2000X2%=40（人），

则近视人数为40X0.5=20（人），故选A.

3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：

身高[100,110](110,120](120,130](13(),140](140,150]

频数5353()2010

由此表估计这100名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（）

A.119.3B.119.7C.123.3D.126.7

答案C

解析由题意知身高在[100,110],（110,120],（120,130]的频率依次为005,

0.35,0.3,前两组频率加为0.4,组距为10,设中位数为X,则（x—120）X踪=0.1,

解得产F23.3.故选C.

4.（2021・贵阳诊断）如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶

图，则下列说法错误的是（）

甲乙

08

75111268

42202022

3231

A.甲所得分数的极差为22

B.乙所得分数的中位数为18

C.两人所得分数的众数相等

D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数

答案D

解析甲所得分数的极差为33—11=22,A正确；

乙所得分数的中位数为18,B正确；

甲所得分数的众数为22,乙所得分数的众数为22,C正确，故选D.

5.某运动健康App可以记录跑步（里程数）或行走情况（步数），用户通过该App可

查看自己某时间段的运动情况.某人根据2022年1月至2022年11月期间每月跑

步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论不

正确的是（）

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.相对6月至11月，1月至5月的月跑步里程波动性更小、变化比较平稳

答案A

解析由折线图可知，月跑步里程并不是逐月增加，A错误；月跑步里程最大值

出现在10月，B正确；月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，C正确；相

对6月至11月，1月至5月的月跑步里程波动性更小、变化比较平稳，D正确.

6.（2022・银川质检）甲、乙、丙、丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组

竞赛，共测试了5道题，每位同学各题得分情况如下表所示：

第1题第2题第3题第4题第5题

甲101010200

乙101051510

丙1010151510

T010102020

下列说法正确的是（）

A.甲的平均得分比丙的平均得分高

B.乙的得分极差比丁的得分极差大

C.对于这4位同学，因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高，所以第4题

相关知识一定比第2题相关知识掌握的好

D.对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小

答案D

解析选项A中，甲的平均得分为10+10+!°+20+0_](),丙的平均得分为

10+10+1/15+10=⑵故甲的平均得分比丙的平均得分低，故错误；

选项B中，乙的得分极差为15-5=10,丁的得分极差为2()—0=20,故乙的得

分极差比丁的得分极差小，故错误；

选项C中，不清楚两题的具体分值是否相同，所以不能通过平均分判断这4位同

学第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握的好，故错误；

选项D中，第3题得分的平均分为K).

故方差为

(1()-10)2+(5—10)2+(15—10)2+(10—10)2

4

=12.5,

第5题得分的平均分为0+l°；l°+20=io,

故方差为

(0—10)2+(10—10)2+(10—10)2+(20—10)2

4

=50,

所以对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小.

7.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次

的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,

则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

答案0.98

解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

10X0.97+20X0.98+10X0.99

---------------------------=098

x=10+20+10S3

8.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组

依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该

班的学生人数是.

答案5()

解析由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010+0.005)X20=0.3.

•・・该班学生人数"=品=50.

9.若样本数据月，必…，xio的标准差为8,则数据2口―1,2x2—1,…，2x\o-1

的标准差为.

答案16

解析依题意，XI,X2,X3,…，X10的方差$2=64.则数据2灯一1,2x2—1,•,,,

2A」0—1的方差为22s2=22X64,所以其标准差为，2?><64=2X8=16.

10.(2022♦哈尔滨调研节选改编)某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，

随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这

100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…，[90,100]分成

5组，制成如图所示的频率分布直方图.

⑴求图中x的值；

⑵估计这组数据的众数、平均数和中位数.

解(1)由频率分布直方图得

(O.OO5+x+O.O35+O.O3O+O.OlO)X10=1,解得x=0.020.

⑵因为最高小长方形中点的横坐标为75,

所以估计这组数据的众数为75.

估计这组数据的平均数为

x=55X0.005X10I65X0.020X10I75X0.035X10I85X0.030X10I

95X0.010X10=77.

满意度评分值在[50,70)内的频率为(0.005+0.020)X10=0.25,满意度评分值在

[70,80)内的频率为0.035X10=0.35,

0.5-0.25540

・,•中位数为704Xl()=

0.35

11.(2021.全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品

的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件

产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为X和户样本方差分别

记为6和S2.

⑴求工，y,5T,—

⑵判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y—x

227方二，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否

则不认为有显著提高).

解(1)由表格中的数捱易得：

-0.24-0.34-0+0.2-0.1-0.2+0+0.1+0.2-0.3.

x=-------------------------------------------4-10.0=10.0,

0.1+0.4+().1+0+0.1+().3+0.6+().5+0.4+0.5,

y=+10.0=[0.3,

5?=^X[(9.7-10.0)2+2X(9.8—10.0)2+(9.9—10.0)2+2X(100—10.0)2+(10.1-

10.0)2I2X(10.210.012I(10.310.0)2]=0.036,

5?=-j^X[(10.0-10.3