第7讲 习题课一匀变速直线运动推论和应用(学生版)

习题课一匀变速直线运动的几个规律

一、匀变速直线运动的规律——中间时刻的瞬时速度与平均速度

1.平均速度

做匀变速直线运动的物体，在一段时间/内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,

还等于这段时间初末速度矢量和的一半。

推导：设物体的初速度为的，做匀变速直线运动的加速度为仆f秒末的速度为。。

由尸得，①

平均速度5=T=7,O+3〃@

由速度公式。=%十〃/知，

当-=女时，%=%+〃,③

由②③得彳=%④

2

乂。=%2+即2⑤

联立以上各式解得外二",所以，=%=四产。

22

2.中间时刻的瞬时速度与）与位移中点的瞬时逐度（%）的比较

22

在。“图象中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图甲可

知0T>%：当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知%>为o

3.匀变速直线运动的规律

（1）中间时刻的瞬时速度Vf/>="。J.

（2）中间位置的瞬时速度%2=哼2.

（3）平均速度公式总结：

T=y.适用条件：任意运动.

T="，适用条件：匀变速直线运动.

T=y£,适用条件：匀变速直线运动.

注意：（I）对匀变速直线运动有V=如2=里芦.

（2）匀变速直线运动中间时刻速度公式。入=空.是矢量式，要带入正负号

【典例精析】

例1光滑斜面的长度为3—物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为人则

下列说法不正确的是（）

A.物体运动全过程中的平均速度是彳

B.物体在那的瞬时速度是与

C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是平

D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是年

【变式训练】从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立

即做匀减速运动至停车，总共历时20s,行进了50m,求汽车的最大速度。

二、匀变速直线运动的规律二—-Ax=aT2的推导及应用

匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移差是个恒量，即

证明：如图,

%T

3

-

xi=v（）T-}-^ci7i,X2=v（）2T+^（i（27}2—VaT—^aT12

^x=X2—X\=at1o

I.匀变速直线运动中，在连续相等的时间7内的位移之差为一恒定值，即Ax=g.

2.应用

（I）判断物体是否做匀变速直线运动

如果zlV=X2—Xl=X3—X2...=&—&7=〃产成立，则CI为一恒量，说明物体做匀变速直线运

（2）求加速度：利用连续相等时间段内的位移差心，可求得。=拿.

逐差法”的由来

在研究匀变速直线运动的实验中，其实验目的之一是使用打点计时器测定匀变速直线运动的加

速度，实验原理是：设物体做匀加速直线运动，加速度是小在各个连续相等时间间隔T内的位移

分别是汨、X2…X6,如图甲所示,

町二2叼x4x5x6

甲

使用公式可得：

X4-X|=（X|—X3）+（刈-X2）+。2一笛）=34/

同理：X5—X2=X6—=3«72

由测得的各段位移加、汹、…、抵可求出:

X4~Xl

“1=3产

X5~X2

ay=~lr~

X6~X3

所以。1、。2、43的平均值:

—0+—+〃30+4+用一由一犯一X1

a=3=97^

这就是我们所需要测定的匀变速直线运动的加速度。

说明：（1）只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题。

（2）推论式.口一.口=〃/常在探究物体速度随时间变化规律的实险中根据打出的纸带求物体的加

速度。

【典例精析】

例2有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24m和

64m,连续相等的时间为4s,求物体的初速度和加速度大小。

【变式训练】如图所示是用某监测系统每隔2.5s拍摄火箭起始加速阶段的一组照片。已知火箭

的长度为40m,现在用刻度尺测置照片上的长度关系，结果如图所示。请你估算火箭的加速度〃和

火箭在照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度大小九

c

A

1O2

g-

•'i

EBS

m

*

T

Mm

ERn

▼

三、匀变速直线运动的规律三一初速度为零的匀加速直线运动的比例关系

1.由。=〃可知，90c/,故Is末、2s末、3s末、…、末的速度之比

：诙：：…：Vn=1：2：3：…：〃

2.由工=步尸可知，X8/，故Is内、2s内、3s内、…、“S内的位移之比

为：X2：X3：…：Xn=\：4：9：…：〃2

3.第1S内的位移xi=&X]2,第2s内的位移其产上⑵一产),第3s内的位移刈=5(32—22),…，

第Ns内的位移m=/[N2—(N—l)2],故第Is内、第2s内、第3s内、…、第Ns内的位移之比

x\:Xu:Xin:…:XN=I：3：5：•••：(2N—1)/-----

6*速B动4!

4.由4=]/可知，个,，故通过X、2口3x、…、心的位移所用的时间之’

比A

/]：‘2："：…：%=1:啦：小：…：血

[时刈之比为”(〃・)

kI)：(./T-ZFI…J

(5)对于第1个x,=、后：对于第2个x,hi=yj三^一7,对于第3个x,力产弋二^

l2X2x一丁田.]NX2x/(N—l)X2r，虫，、虫

一、J~^—；…;对于第N个x,--A/1---------;故通过第I个X、第2个X、第3

个X、…、第N个x相邻相等位移所用的时间之比(即通过连续相邻相等的位移所用的时间之比)

ti:Zu:rm:•Av=i:(小一1):(y[3—\[2):•••:

上述几个关系可以借助下图左和下图右进行理解。

o

注意：（1）以上比例式成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动

（2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的与加速直线运动，应

用比例关系，可使问题简化.

（3）对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的勾加速直线运动，可优先考虑

应用上面的结论求解。

【典例精析】

例3做匀减速直线运动的物体经4s后停止，若在第1s内的位移是14m,则最后Is内的位移

是（）

A.3.5mB.2mC.1mD.0

【变式训练】质点从静止开始做匀加速直线运动，在第I个2s、第2个2s和第5个2s内三段位移

比为（）

A.1：4：25B.2：8：7

C.1：3：9D.2：2：1

运动学公式的选择

1.匀变速直线运动四个常用公式的比较

公式一般形式%=0时涉及的物理量不涉及的物理量

速度公式v=vo+atv=at。、即、a、t位移X

x=jar

位移公式x=&)/+呼-X、沏、八a末速度。位移、速度

关系式v2—vi=2a^v2=2axv>也、。、x时间，

a)+♦V

平均速度求位移公式x—2iX=2/X、Vo>0、t加速度。

2.共同点

⑴适用条件相同：适用了匀变速直线运动。

（2）都是矢量式：加、。、“、x都是矢量，应用这些公式时必须选取统一的正方向，一般选取为方向

为正方向。

⑶都涉及四个物理量，当已知其中三个物理量时，可求另一个未知量。

3.运动学公式的应用步骤

⑴认真审题，画出物体的运动过程示意图。

（2）明确研究对象，明确己知量、待求量。

⑶规定正方向（一般取初速度见的方向为正方向），确定各矢量的正、负。

（4）选择适当的公式求解。

⑸判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。

【典例精析】

例用2019•丰台高一检测]物体由静止开始沿斜面下滑，做匀加速直线运动，3s末开始在水平地

面上做匀减速直线运动，9s末停止，则物体在斜面上的位移和水平面上的位移大小之比是（）

A.1：1B.1：2C.I：3D.3：1

【自我检测】

I、在交通事故分析中，刹车线的长度是很重:要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地

面上滑动时留下的痕迹。在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30m,该车辆

的刹车加速度是15m&,该路段限速为60km/h,则该车（）

A.超速B.不超速

C.是否超速无法判断D.行驶速度刚好是60km/h

2.（2019年云南省楚雄州南华县中学测试）如图所示，一小车从4点由静止开始做匀加速直线运动，

若到达8点时速度为小到达。点时速度为2%则以屋工瓦•等于（）

A.1：1B.I：2C.I：3D.I：4

3.（多选）物体由静止做匀加速直线运动，第3s内通过的位移是3m,则（）

A.第3s内平均速度是3mxB.物体的加速度是1.2m/s?

C.前3s内的位移是6mD.3s末的速度是3.6m/s

4.（2019年甘肃省静宁县一中测试）一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Ar所用的时间为小

紧接着通过下•段位移X所用时间为日则物体运动的加速度为（）

2加（八一12）Ax（/|—/2）

A"/2（，l+，2）

2AA0|+/2）

D

0/1/2（/1-/2）7ir2（n-Z2）

£.（多选）（2019年陕西省兴平市联考）如图所示，完全相同的三个木块并排固定在水平地面上，

一颗子弹以速度。水平射入，若子弹在木块中所受阻力恒定，且穿过第三个木块后速度恰好为零，

则子弹依次射入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为（）

A.Vi：V2：03=3：2：1

B.V]•V2-•A/2•I।-BIIII

c.m=i：巾：小

D.fl：■：A=（小一应）：（A/2-1）：1

6.（2019年青海省海东市第一中学检测）质点从静止开始做匀加速直线运动，在第I个2s、第2

个2s和第5个2s内三段位移之比为（）

A.1：4：25B.2：8：7

C.1：3：9D.2：2：1

7.（2019年新疆喀什二中测试）一质点做匀加速直线运动，第3s内的位移是2m,第4s内的位移

是2.5m,那么以下说法中不正确的是（）

A.这2s内平均速度是2.25m/s

B.第3s末瞬时速度是2.25m/s

C.质点的加速度是0.125m收

D.质点的加速度是O.5m/s2

8.（多选）（2019年宁夏平罗中学期末测试）一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀

加速运动时（设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计）（）

A.每节车厢末端经过观察者的速度之比是1：6：小：…：血

B.每节车厢末端经过观察者的速度之比是1：2：3：…：〃

C.在相等时间里经过观察者的车用数之比是1：3：5：…

D.在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1：2：3：-

9、如图所示，在水平面上有一个质量为加的小物块，从某点给它一个初速度沿水平面做匀减速直

线运动，途中经过4、8、C三点，到达。点的速度为零.A、8、C三点到O点的距离分别为为、

题、物块从A点、3点、。点运动到O点所用时间分别为人、匕、h，下列结论正确的是（）

口4CQ

A微中dB.汽偌

10.（2019年广东省顺德市顺德中学测试）小球沿斜面滚下，依次经过A、B、C三点，已知AO=6m,

3C=10m,小球通过A3、3C路程所用时间均为2s,则小球经过大B、C三点的瞬时速度是（）

A.VA=2m/s,如=3m/s»%=4m/s

B.VA=2m/s,Vu=4m/s,z?c=6m/s

C.办=3m/s,VB=4m/s.Vc=5m/s

D.办=3m/s,VB=5m/s,Vc=lm/s

II.有些航空母舰上装有将助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能

产生的最大加速度为5.0mH,当飞机的速度达到50m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处

于静止状态。问：

(1)若耍求该飞机滑行160m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？

(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起乱则该舰身长至少应为多长？

12.(2019年福建省厦门市联考)从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小

球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍卜如图4所示的照片，测得川川

=15cm,XBC—20cm.试问:

(I)小球的加速度是多少？图4

⑵拍摄时小球B的速度是多少？

(3)拍摄时xg是多少？

习题课一匀变速直线运动应用

一、位移一时间图像(X-t图像)

1.，图像：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像叫位移一时间

图像.

2.对x-f图像的理解

(I)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负表示速度的方向.

(2)截距：纵截距表示物体起始位置.

(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置.，即相遇.

3.几种常见的位移一时间图像

(1)静止物体的九一，图像是平行于时间轴的直线，如图3直线A

(2)匀速直线运动的x-r图像是一条倾斜的直线，如图直线8和C,其斜率表示速度.其中8沿

正方向运动，C沿负方向运动.

(3)匀变速直线运动的上一/图像：由位移工=数)/+5产可以看出，x是/的二次函数.当如=0时，

匀变速直线运动的1一［图像是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻

的速度，图4中切线斜率增大，质点的速度逐渐增大.

二、速度一时间图像⑴一，图像)

I.1，一/图像：以时间/为横坐标,以速度丁为纵坐标,描述速度随时间的变化规律.

2.对I，-f图像的理解

(1)斜率：斜率的绝对值表示加速度的大小：斜率的正负表示加速度的方向.

(2)截距：纵截距表示物体初速度.

(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇.

(4)图线折点：表示加速度方向改变的时刻

(5)u—/图像与时间轴所围面积表示位移.

图线与时间轴及始末时刻所围“面积”的数值等于物体在时间［内的位移。在时间轴的上方表示位移为

正，在时间轴的卜方表示位移为负

(6)图线在时间轴的上方表示物外向正方向运动，在时间轴的下方表示物体向负方向运动

―、X—/图像与。一，图像的比较

内容

种类、V-t图像L/图像

「甲

图象

ZT一XT一

举例

Ohtoht

倾斜直线表示匀变速直线运

倾斜直线表示匀速直线运动；

意义动；曲线表示变加速直线运

曲线表示变速直线运动

动

图像上某点表示某一时刻

表示瞬时速度

的纵坐标的位置

切线斜率表示瞬时加速度切线斜率表示瞬时速度

图线斜率

连线线斜率表示瞬时加速度连线线斜率表示平均速度

图线与时间轴所

表示位移无意义

围面积

图线与纵截距表示初速度表示初始时刻的位置

坐标轴表示开始运动或速度为零的时

横截距表示开始运动的时刻

的交点刻

表示速度相同但不表示相遇，

两图线交点坐标往往是距离最大或距离最小的表示相遇

临界点

2.三点说明

（l）x-r图象与v-t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运幻的轨迹;

⑵分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；

⑶识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.

【典例精析】

例1（多选）如图，直线“和曲线分别是在平直公路上行驶的汽车。和〃的位移一时间（X—/）图线,

由图可知（）

A在时刻内,a车追上〃车

B.在时刻da、b两车运动方向和反

C.在到々这段时间内，b车的速率先减少后增加

D.在八到“这段时间内，b车的速率一直比a车的大

例（2014•新课标全国II•14）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在『0到t=h的时间内,它们的

r—f图象如图5所示.在这段时间内（）

A.汽车甲的平均速度比乙的大

B.汽车乙的平均速度等于‘用

C.甲、乙两汽车的位移相同

D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

【变式训练1】甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移》随时间，变化的关系图象如图6

所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与l轴相切于10s处.则下列说法正确的是（）

A.甲车的初速度为零

B.乙车的初位置在AO=60in处

C.乙车的加速度大小为1.6m/s2

D.5s时两车相遇，此时甲车速度较大

【变式训练2】（2019•广东佛山盾检）如图所示为甲、乙两质点做直线运动的谏度一时间图象，则下

列说法中正确的是（）

A.在0〜力时间内甲、乙两质点的平均速度相等

B.甲质点在0时间内的加速度与乙质点在〜n时间内的加速度相同

C.甲质点在0~八时间内的平均速度小丁乙质点在0~/2时间内的平均速度

D.在八时刻，甲、乙两质点都回到了出发点

、解决匀变速直线运动的常用方法

方法解读

基本公式指速度公式、位移公式及速度位移关系式，它们均是矢量式，使用

基本公式法

时要规定正方向

(1)定义式3=:适用于任何性质的运动

平均速度法

(2)¥二4二瞪1只适用于匀变速直线运动

匀变速直线运动中，在连续相等的时间7内的位移之差为一恒量，即Ar=

推论法(位移差

«T2,x-x=(rn-n)-ar,对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时

公式)mn

间间隔，应优先考虑用位移差公式求解

比例法初速度或末速度为零的匀变速直线运动问题，可以考虑用比例法快速解答

应用。“图像，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题，尤其是用图

图像法

像进行定性分析，可避开繁杂的计算，快速得出答案

2.处理直线运动的方法总结

运用一般公式法，平均速度是简法。

中间时刻速度法，初速度为零比例法。

若是相邻等时间，位移逐差是妙法。

再加几何图象法，求解运动好方法。

例3.物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为XAC，物体到达斜面最

高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底脸处的3点时，所用时间为/,

求物体从8滑到C所用的时间。

【自我检测】

I.质点做直线运动的速度一时间图像如图所示，该质点（）

vAm-s-1)

2

A.在第1秒末速度方向发生了改变

B.在第2秒末加速度方向发生了改变

C.在第2秒内发生的位移为零

D.第3秒末和第5秒末的位置相同

2.（多选）（2018•全国卷II）甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度一时间图像分别如图

中甲、乙两条曲线所示。已知两车在时刻并排行驶。下列说法正确的是（）

A.两车在4时刻也并排行驶

B.在h时刻甲车在后，乙车在前

C.甲车的加速度大小先增大后减小

D.乙车的加速度大小先减小后增大

3.（多选）（2018•全国卷1H）甲、乙两车在同•平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速

直线运动。甲、乙两车的位置x随时间，的变化如图所示。下列说法正确的是（）

A.在h时刻两车速度相等

B.从。到八时间内，两车走过的路程相等

C.从人到，2时间内，两车走过的路程相等

D.在。到12时间内的某时刻，两车速度相等

4.物体做匀加速直线运动，相继经过两段距离为16m的路程，第•段用时4s,第二段用时2s,

则物体的加速度是（）

A.|m/s2B.|m/s2C.|m/s2D.竽m/s2

5.如图所示，〃、b、c、d为光滑斜面上的四个点。一小滑块自。点由静止开始下滑，通过时、be.

cd各段所用时间均为兀现让该滑块自。点由静止开始下滑，则该滑块（）

A.通过从、〃段的时间均大于T

B.通过c、d点的速度之比为1:2

C.通过力c、cd段的位移之比为I:3

D.通过c点的速度等于通过，段的平均速度

6.如图所示，很小的木块由静止开始从斜面卜滑，经时间/后进入一水平面，两轨道之间用长度口J

忽略的圆弧连接，再经2/时间停工，关于木块在斜面上与在水平面上位移大小之比和加速度大小之

比，下列说法正确的是（）

A.1：22：1B.1：21：2

C.2：12：ID.2：II：2

7.如图所示，物体自O点由静11.开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中O、A之间的

距离为羡m,A、3之间的距离为2m,物体通过A3和4c这两段位移的时间相等，则从C之间的

O

距离为（）

A.2.5m

C.3.5m

8.（多选）（2019年贵州省安顺市期末测试）一物体以初速度物做匀减速直线运动，第1s内通过的位

移xi=3m,第2s内通过的位移l2=2m,又经过位移刈，物体的速度减小为0,则下列说法正确的

是（）

A.初速度w的大小为2.5m/s

B.加速度a的大小为1m/s2

C.位移心