2026年高考数学复习系列（全国）专题2.8 函数图象与函数零点问题（解析版）

专题2.8函数图象与函数零点问题（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1函数图象的画法与图象变换】...................................................................................................................1

【题型2函数图象的识别】.......................................................................................................................................4

【题型3函数图象的应用】.......................................................................................................................................6

【题型4函数零点所在区间的判断】.......................................................................................................................8

【题型5求函数的零点或零点个数】.....................................................................................................................10

【题型6根据函数零点（方程根）个数求参数范围】.........................................................................................12

【题型7函数零点的大小与范围问题】.................................................................................................................15

【题型8嵌套函数的零点问题】.............................................................................................................................18

【题型9导数中的函数零点问题】.........................................................................................................................21

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1函数图象的画法与图象变换】

1．（25-26高三上·北京·月考）函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（）

1�1�

�=4×2�=2

A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍

1�

�=2

B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍

1�1

�=24

C．函数的图象向右平移2个单位

1�

�=2

D．函数的图象向左平移2个单位

1�

2

【答案】C�=

【解题思路】根据函数平移的原则一一分析即可.

【解答过程】对A，图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍得�，故A错误；

1�14

�=2�=2

对B，图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得，即，故B错误；

1�11�11�

�=244�=2�=4×2

对C，函数的图象向右平移2个单位得，故C正确；

1�1�−21�

�=2�=2=4×2

对D，函数的图象向左平移2个单位得，故D错误.

1�1�+211�

故选：C.�=2�=2=4×2

2．（25-26高三上·广东佛山·月考）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，

则（）�=���=��

A．B．

�

��=2�2���=2�2

C．D．

�

��=�2�+4��=�2+4

【答案】A

【解题思路】由图像的变换即可求解.

【解答过程】由图像可知的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得函数的图像，

所以.�=���=��

故选：�A�.=2�2�

3．（2025高一·全国·专题练习）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数

的图象为（）−2,2�=���=�2−�

A．B．

C．D．

【答案】C

【解题思路】解法一：利用函数对称和平移直接求解即可；

解法二：先求出的定义域即可排除BD，再结合特殊值排除A，即可求解.

【解答过程】解法�一=：�将2函−数�的图象关于轴对称，可得函数�2>0的图象，

再向右平移2个单位长度得函�数=���的图象，即�=�的−图�象．

解法二：由的定义域可知�，=�−�−2，则�=�，2−�

即�=的�定�义域是，排除−2B≤D，2−�≤20≤�≤4

由题�=图�可2知−�，所以[在0,4]中，时，，

排除A，而�C2满足>题0意.�2−��=0�2−0=�2>0

故选：C．

4．（2026高三·全国·专题练习）已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可

能是（）�=��

A．B．C．D．

【答案】C�=���=���=�−��=−�−�

【解题思路】根据函数图象的翻折变换判断即可.

【解答过程】因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分，

然后将轴左侧图象翻折到轴右侧得到的，所以题图②中的图象对�应=的�函�数可能是�.

故选：C�.��=�−�

【题型2函数图象的识别】

5．（2025·四川成都·三模）函数的图象是（）

|�|

�(�)=�+�

A．B．

C．D．

【答案】D

【解题思路】分、将函数解析式化简，分别说明函数的单调性与函数的取值情况，即可判断.

【解答过程】函数�>0�<0的定义域为，

|�|

当时�(�)=，�所+以�在�|�上≠单0调递增，且，

当�>0时�(�)=�+1，所以��在0,+∞上单调递增，且��>1.

所以�<符0合题�意�的=只�有−D1.��−∞,0��<−1

故选：D.

6．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（）

cos�

��=e−ln�

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】根据的解析式得到的定义域和奇偶性，再根据的取值情况得到符合题意的选项．

������

【解答过程】由已知，定义域为，，

cos(−�)cos�

所以为偶函数，图�象�关于轴对称�|，�≠故排0除�B(,−C；�)=e−ln|−�|=e−ln�=�(�)

��

又�，故D错误，A正确．

cosπ1

�(π)=e−lnπ=e−lnπ<0

故选：A．

7．（2025·甘肃白银·三模）函数的部分图象大致是（）

1

�(�)=2�(1+cos�)

A．B．

C．D．

【答案】B

【解题思路】由函数的奇偶性及零点逐个排查即可.

【解答过程】因为，所以函数是奇函数，排除选项A；

1

�(−�)=−2�(1+cos�)=−�(�)�(�)

因为，当时，，排除选项D；

1

1+cos�≥0�>0�(�)=2�(1+cos�)≥0

由知函数在时的第一个零点为，且，由图中所

πππ2ππ

�(�)=0�(�)�>0�=π�3=�2=4<1,�3=6<1

标的单位长度可知，选项B正确，选项C错误．

故选：B．

8．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

�(�)�(�)

A．π�B．π

ln|�|⋅sin2−2ln|�|⋅sin2−�

�(�)=��(�)=�

C．πD．

ln|�|⋅sin2−�ln|�|⋅sin�

2

�(�)=��(�)=�

【答案】B

【解题思路】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合即可求解.

【解答过程】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数�，2且<0，

�(�)�(�)�2<0

对于A,π，故不符合，A错误，

ln2⋅sin2−1

�(2)=2>0

对于B,π，则为奇函数，且满足，故B

ln|�|⋅sin2−�ln|�|⋅cos�ln|−�|⋅cos−�

正确，�(�)=�=��(−�)=−�=���(�)�2<0

对于C,π，则为偶函数，不符合，C错误，

ln|�|⋅sin2−�ln|�|⋅cos�ln|−�|⋅cos−�

222

�(�)=�=�,�−�=−�=���(�)

对于D,，为偶函数，不符合，D错误，

ln|�|⋅sin�ln|−�|⋅sin−�

�−�

故选：B.�(�)=,�(−�)==���(�)

【题型3函数图象的应用】

9．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式

�

的解集是（）��0,32−4��<

0

A．B．

C．0,1D．1,2

【答案】B0,21,3

【解题思路】由可得或，利用指数函数的单调性与图象可得出原不

��

�2−4<02−4>0

2−4��<0

等式的解集.��>0��<0

【解答过程】因为函数的定义域为，由可得或，

��

�2−4<02−4>0

��0,32−4��<0

解不等式组，结合图形可得，得，��>0��<0

�

2−4<00<�<2

1<�<2

解不等式组��>0，结合图形可得1<�<3，得.

�

2−4>02<�<3

�∈∅

综上所述，不�等�式<0的解集0<为�<1.

�

故选：B.2−4��<01,2

10．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）函数的图象如图所示，则以下描述正确的是（）

�=��

A．函数的定义域为，）

B．函数��的值域为，[−44

C．此函数��在定义域内既0不5是增函数也不是减函数

D．对于任意的，，都有唯一的自变量与之对应

【答案】C�∈0+∞�

【解题思路】根据函数的图象和性质分别进行判断即可.

【解答过程】由图象知函数的定义域为，故A错误，

函数的值域为，故B错误，−4,0∪1,4

函数在定义域内0,既+不∞是增函数也不是减函数，故C正确，

对任意的，存在两个不同的自变量与之对应，故D错误，

故选：C.�∈1,5��

11．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（）

��

A．B．

C．−4,−1∪1,4D．−1,1

【答案】D−2,2−4,−1,1,4

【解题思路】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解.

【解答过程】由函数的图象可知，单调递增区间是，

又由图知��，而��，所以A不正−确4，,−1,1,4

故选：D.�−3=0>�1=−2−3<1

12．（25-26高一上·北京房山·期中）如图（1），四边形为直角梯形，，动点

°

从点出发，由沿边运动，设点运动的路程�为�𝐵的面积为𝐴∥�．�若,∠𝐴�的=图90象如图（2�）

所示�，则�的→面�积→为�（→�）��,△𝐴��(�)�(�)

△𝐴�

A．9B．12C．15D．24

【答案】B

【解题思路】根据图（2）可知，，，，进而求得，再计算面积即可.

【解答过程】解：当点从点出发��运=动3到�点�的=过4程�中�，=5面积随着𝐴点=的8运动路程线性增加，

所以，由图（2）可知，�这�段路程为，即�，△𝐴���

同理，当从点运动到点的过程中3，��=面3积保持不变，

由图（2）�知，�这段路程�为，即△，𝐴�

当从点运动到点的过程4中，𝐵=4面积随着点的运动路程线性减少，

由图�（�2）知，这�段路程为，即△𝐴�，��

所以，在直角梯形中，5过作𝐵=5于，则四边形是矩形，

所以𝐴𝐵�，��⊥𝐴�����

��=��=3,��=𝐵=4

所以，在中，易得，即

22

所以，Rt△的�面��积为𝐷=��−��=4𝐴=𝐷+��=8

11

△𝐴�2×𝐴×��=2×8×3=12

故选：B.

【题型4函数零点所在区间的判断】

13．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（）

1

�(�)=log2(�+1)−�+2

A．B．C．D．

(−2,−1)(−1,0)(0,1)(1,2)

【答案】C

【解题思路】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.

【解答过程】函数�(�)的定义域为，

1

�(�)=log2(�+1)−�+2(−1,+∞)

函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，

1

�=log2(�+1),�=−�+2(−1,+∞)�(�)(−1,+∞)

而，所以函数零点所在的一个区间是.

12

�(0)=−2<0,�(1)=3>0�(�)(0,1)

故选：C.

14．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间为（）.

1

�(�)=log2�−�

A．B．C．D．

11

0,22,1(1,2)(2,3)

【答案】C

【解题思路】根据零点存在定理计算求解.

【解答过程】因为函数，且在上单调递增，连续不断，

11

�(�)=log2�−��(�)=log2�−�0,+∞

又因为，

11

�1=log21−1=−1<0,�2=log22−2=2>0

所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为.

1

�(�)=log2�−�1,2

故选：C.

15．（25-26高三上·天津·月考）函数的零点所在区间是（）

�

A．B．��=0C.4．−�D．

【答案】C0,0.20.2,0.40.4,0.50.5,1

【解题思路】根据零点存在定理计算判断即可.

【解答过程】函数是由指数函数和幂函数相减而成.

��

单调递减�，�=0.4在−�上单调递增�，=0.4�=�

�

�所=以0.4�在=�0,上+单∞调递减.

�

��=0.4−�0,+∞，

0.40.40.5

�因0为.4=0.4为−减函0数.4，=所0.4以−0.4，即，

�0.40.5

�=0.40.4>，0.4�0.4>0

0.5

�因0为.5=0.4在−0.5上=为0增.4函−数0，.5所以，即，

所以�=�0,+∞，所以该区间存在零0.点4<，C0正.5确；�0.5<0

�0.4⋅�0.5<0

结合在上单调递减.

在��0,、+∞、无零点，故ABD错误.

�故�选：C0.,0.20.2,0.40.5,1

16．（25-26高一上·四川达州·月考）函数零点所在的大致区间为，则

*

为（）��=ln�+2�−7�,�+1�∈�

�A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解题思路】先根据函数的单调性判断函数零点个数，再利用函数零点存在性定理进行判断.

【解答过程】因为函数在上单调递增，

所以函数在��上至=多ln�1+个2零�点−.70,+∞

又��0,+∞，，

所以�2函数=ln2+在4−7上=有ln零2−点3.<0�3=ln3+6−7=ln3−1>0

综上，函数��只2,在3有1个零点.

故选：B.��2,3

【题型5求函数的零点或零点个数】

17．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（）

A．B．C．�和�=1−ln�D．或

【答案】Ce−ee−ee,0(−e,0)

【解答过程】直接解方程即得函数的零点.

【解题思路】令��=0，即��，解得，所以函数的零点为和.

故选：C.��=1−ln�=0ln�=1�=±e��e−e

，，

18．（2025·湖南长沙·三模）已知函数，方程的根的个数为（）

�，

e�<011

��=��=−8�+2

A．2B．3C．�4�−2�≥0D．5

【答案】B

【解题思路】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可.

11

【解答过程】当时，����=−，8故�+是2的一个周期，

又时�，≥0��=�，�则−22��，

�−2

0≤�<2−2≤�−2<0��=��−2=e

作出函数和的函数图象，

11

����=−8�+2

因，，

−21−2

�2=�0=�−2=e<�2=4�4=�2=e>�4=0

结合图象可知，和的函数图象交点个数为.

故选：B.����3

19．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，，

�

12911

5

的零点分别为，则（）��=2�+log���=�−3�+4ℎ�=2−�−2

A．�,�,�B．C．D．

【答案】D�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】由单调性结合，与0的大小可得，由单调性结合与0的大小可

111

���2�12<�<1ℎ�ℎ2

得，据此可得答案.

1

�<2

【解答过程】注意到在上单调递增，

1

��=2�+log5�0,+∞

，注意到，

1

111141

�2=4+log52=4−log525<2.3⇒5<2.3<1.6⇒log51.6>4

又，则，则，

1111

log52>log51.6>4�(2)=4−log52<0=���>2

又，则；

11

�1=2>0=��2<�<1

令，得；

2

2933

��=�−3�+4=�−2=0�=2

在R上单调递减，注意到.

1�1121

ℎ�=2−�−2ℎ2=2−1<0=ℎ�⇒�<2

则，即.

31

�=2>1>�>2>��>�>�

故选：D.

20．（2025·北京·模拟预测）已知函数�，则函数的零点个数为（）

2

12,0<�≤1

�(�)=�(�)=�(�)−�

A．2B．0C2．�(3�−1),�>1D．无穷

【答案】A

【解题思路】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化

1

�−2

�(�)(�−1,�]�∈N*�(�)=2

为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．

2

�(�)ℎ(�)=�

【解答过程】由�，得在区间上的函数值都是区间上相应函数

12,0<�≤1

�(�)=�(�)(�,�+1](�−1,�]

值的一半，，2�(�−1),�>1

又�时∈，N*是增函数，即，

�

所以0<�≤1，因�(�此)=2时，�(�)≤�(1)=2，

11

�−2�−2

�(�)=2�∈(�−1,�]�(�)≤�(�)=2

令，它在上是减函数，，，，

22

ℎ(�)=�(0,+∞)ℎ(�)=�ℎ(1)=2=�(1)ℎ(2)=1=�(2)

当时，，

21

�−2

�≥3ℎ(�)=�>2

作出和在上图象，如图，由图可知：

2

在�=时�(，�)ℎ(的�)图=象�与(0,+的∞图)象没有交点，所以在上，它们只有两个交点，

所以�>2的零�点(�个)数为2.ℎ(�)(0,+∞)

故选：�(A�)．

【题型6根据函数零点（方程根）个数求参数范围】

21．（2025·陕西西安·二模）已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是

�

2+�,�<0

��=����

（）−�+2,�≥0

A．B．C．D．

【答案】B−∞,−1−1,0−∞,−1−1,0

【解题思路】根据函数零点的定义先确定当时，有1个零点，进而得到当时，

只有一个零点，进而转化问题�为≥方0程��=在−�+2时有一个解，�=再2结合指数函数的�性<质0求

��

�解�即可=.2+�2=−��<0

【解答过程】当时，有1个零点，

则当时，�≥0��只=有−一�个+零2点，�=2

�

即方程�<0��在=2+时�有一个解，

�

2+�=0�<0

即方程在时有一个解，

�

因为函数2=−�为�增<函0数，

�

且当�时=，2，

�

则�<0，0即<2<1.

故选0：<−B.�<1−1<�<0

22．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是

2

1log�,0<�<4

��=2�=�

（）2�−2�+1,�≥4

A．B．C．D．

【答案】D1,21,21,21,2

【解题思路】画出函数的图象，结合图像求解即可.

【解答过程】画出的�图�象，

��

由图象可知a的范围是.

故选：D.1,2

23．（25-26高一上·上海宝山·月考）已知函数，若方程有且仅有3个

lg�,�>0

�(�)=����−��=0

根，则实数的取值范围为.2,�≤0

【答案】�

(0,1]

【解题思路】将问题转化为方程有2个非零根，画出的图象，再根据

lg�,�>0

��−�=0�(�)=��=

与直线有2个交点数形结合求解即可.2,�≤0

【�解�答过程】�方=程�即，

显然为方程���−��=0的�一�个�根−，�=0

由题意�=方0程���−有��2=个0非零根，则函数与有两个交点，

画出函数�的�图−象�，=如0图所示：�=���=�

��

由图可知，故实数的取值范围为.

故答案为：0<�≤.1�(0,1]

(0,1]

24．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零

3

�,�≤�

��=�=��−�

点，则a的取值范围为．ln�−1,�>�

【答案】

【解题思路0,】e根据幂函数、对数函数的性质，讨论、、结合已知零点个数确定参数范围

即可.�≤00<�<e�≥e

【解答过程】由在上单调递增，且值域为，

33

对于�=，�(−∞,�](−∞,�]

当�=，|l则n�−1|，而，此时最多有两个零点；

3

当�≤0�时≤，则0|ln�−1|≥0�=��−�，此时的大致图象如下，

1−ln�,�<�<e

0<�<e�=|ln�−1|=��

ln�−1,�≥e

由在上单调递增，且，结合上图，

3

当�(�)=�+，l即n�−1�∈(时0,e，)，�(1)=0恰有三个零点，

33

当0<�<1，即�<1−ln�时，0<�≤��=，��−�恰有三个零点；

3

当1≤�时<，e�≥1−在ln�0上<单�调<递1−增l，n�此时�函=数��−�最多有两个零点，不符题意；

综上�≥，e�=.ln�−1(�,+∞)�=��−�

故答案为�∈：0,e.

0,e

【题型7函数零点的大小与范围问题】

25．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，

�

则，，的大小关系为(�).���(�)=��−1�(�)=�lg�−1ℎ(�)=�e−1

�A．��B．

C．�>�>�D．�>�>�

【答案】�D>�>��>�>�

【解题思路】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，

即，的取值范�围=，1最后�综1合判=断0即可.�=10<�≤1�≥1�(�)ℎ(�)

��

【解答过程】因为时，，又因为单调递增，所以；

3

2

若，则�=1，�所以�−1=0时，�=�，�即=�；�=1

若0<�，≤则1�lg，�≤所0以�lg�−时1，=0�>，1即�>1.

��

综上�≥所1述，�e>1�e，−1=00<�<10<�<1

故选：D.0<�<1=�<�

26．（2025·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分

3�

别为，则之间的大小关系为（��）=�+�−3��=ln�+�−3ℎ�=e+�−3

A�．,�,��,�,�B．

C．�<�<�D．�<�<�

【答案】�B<�<��<�<�

【解题思路】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.

【解答过程】因为函数，，，都是增函数，

3�

所以函数