第六讲 直线与圆锥曲线的综合归类（学生版）

第六讲直线与圆锥曲线的综合归类【知识梳理】一、直线与圆锥曲线的位置关系设直线方程为,与圆锥曲线联立消去一个变量,得到关于另一个变量的一元方程,则有下列结论：①当时,直线与圆锥曲线只有一个公共点；②当时直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离．二、弦长问题设直线交圆锥曲线于点两点,则同理可得可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形：三、中点弦问题点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率；四、定点定值问题解题步骤：（1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；（2）利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；（3）利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；（4）由所得等式恒成立可整理得到定点或定值五、切线问题若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为；若在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为；若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为；题型01直线与圆锥曲线的位置关系【例1】过点与抛物线只有一个交点的直线有（）条.A．1 B．2 C．3 D．4【例2】已知双曲线：，直线过．“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【变式1-1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【变式1-2】已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型02弦长问题【例3】斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．3【例4】已知是椭圆的左顶点，且经过点.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，且，求弦的长.【变式2-1】已知椭圆的左焦点为，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积.【变式2-2】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率．【变式2-3】已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．(1)求C的方程；(2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．题型03中点弦问题【例5】已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（

）A． B． C．3 D．【例6】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（多选）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（

）A． B． C． D．【变式3-2】已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为．【变式3-3】过点作直线交抛物线于，两点，且点恰为线段中点，则.题型04圆锥曲线中的参数范围问题【例7】已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是．【例8】在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线．(1)求的顶点C的轨迹方程；(2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围．【变式4-1】已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；【变式4-2】已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围.【变式4-3】已知椭圆C：点，分别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，O为坐标原点，且的最小值为1，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点作直线l与椭圆C交于不同两点P，Q，点M是线段PQ的中点，过点M作直线l的垂线交x轴于点N．求的取值范围．题型05圆锥曲线中的最值问题【例9】如图，椭圆的一个焦点为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；（ⅱ）求面积的最大值.【例10】双曲线焦点是椭圆C：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程；(2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【变式5-1】已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，.(1)求双曲线的标准方程.(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值.【变式5-2】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．(1)求双曲线E的标准方程；(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．【变式5-3】已知圆，定点，N为圆C上一动点，线段MN的中垂线与直线CN交于点P．(1)证明：为定值，并求出点P的轨迹的方程；(2)若曲线上一点Q，点A，B分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围．题型06切线问题【例11】已知定圆，动圆过点且与圆A相切，记动圆圆心的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点．(3)由(2)你能否得到一个更一般的结论？并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明)．【例12】已知抛物线：.(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.【变式6-1】已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）【变式6-2】已知抛物线与双曲线有共同的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.【变式6-3】已知椭圆：，椭圆：，动点在上运动，过作的两条切线，切点分别为A，B.（提示：过椭圆C：上一点与C相切的直线方程为）(1)求直线AB的方程（用，表示）；(2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积.题型07定值问题【例13】设点是椭圆上一动点，分别是椭圆的左，右焦点，射线分别交椭圆于两点，已知的周长为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)证明：（为原点）为定值．【例14】已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍．(1)求双曲线的标准方程；(2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值；(3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．【变式7-1】已知点为椭圆C：的左焦点，在C上．(1)求C的方程；(2)已知两点与，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且，试判断mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【变式7-2】在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值．【变式7-3】已知是抛物线的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；(3)已知点，直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．题型08直线过定点问题【例15】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为．【例16】已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知点，点，过点A的直线与抛物线交于，两点，连接PB交抛物线于另一点T，证明：直线QT过定点，并求出定点坐标．【变式8-1】已知椭圆经过点，左焦点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.【变式8-2】已知圆，一动圆P与直线相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)已知过的直线与曲线T交于A，B两点，点，直线，分别与曲线T交于C，D两点，求证：直线过定点.【变式8-3】在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点．题型09圆过定点问题【例17】已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【例18】已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．(1)求C的方程；(2)设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【变式9-1】已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，直线l与抛物线C相交于A，B两点（A，B均异于原点）．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆恰好经过坐标原点，证明：直线l恒过定点．【变式9-2】已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线交椭圆于两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由．【变式9-3】已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为，(1)求点的轨迹方程(2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．题型10定直线问题【例19】已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，抛物线经过点，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，且的最大值为．(1)求椭圆和抛物线的标准方程；(2)过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于两点，线段的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线交于点，求证：点在定直线上．【例20】已知椭圆C：（，）过点，且离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上．【变式10-1】双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．【变式10-2】已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点.(1)若，求的面积；(2)若直线与交于点，证明：点在定直线上.【变式10-3】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件： ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．课后作业一、单选题1．已知抛物线的焦点为，点，点在抛物线上，且满足，若的面积为，则的值为（

）A． B．4 C． D．92．已知椭圆M：，点在其上，直线l交椭圆于A，B两点，的重心是坐标原点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．3．已知直线和双曲线，若与的上支交于不同的两点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题4．已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．的最大值为4C．的最大值为3 D．的最大值为5．过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为，若的最小值为8，则（

）A．的坐标为B．若，则C．的中点到的准线的最小距离为4D．当时，为的一个四等分点三、填空题6．已知双曲线（，）的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段上的动点，当取得最大值和最小值时，的面积分别为，，则.7．已知抛物线，在轴正半轴上存在一点，使过的任意直线交抛物线于，都有为定值，则点的坐标为．四、解答题8．已知双曲线：，点的坐标为．(1)设直线过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．9．给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．(1)求椭圆和其“准圆”的方程；(2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的