第十三讲 利用导数研究函数的极值与最大（小）值（学生版）

第十三讲利用导数研究函数的极值与最大（小）值【知识梳理】一、函数的极值1.极值的概念：若函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作；极大值与极小值统称为极值，称为极值点．2.求可导函数极值的步骤求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值．二、函数的最值1.最值的概念：函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.2.求可导函数最值的步骤：求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．三、函数的最值与极值的关系1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.题型01函数（导函数）图象与极值的关系【解题思路】（1）对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;（2）对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零【例1】（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点【例2】（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（

）A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数C．在时取极小值 D．在时取极小值【变式1-1】已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间上有且仅有2个极值点C．在区间上最多有4个零点D．在区间上存在极大值点【变式1-3】（多选）已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（

）

A．B．函数在区间上单调递减C．当时，函数取得极小值D．当时，函数取得极小值题型02求不含参函数的极值【解题思路】求可导函数的极值的步骤：①求函数的定义域;②求函数的导数;③令,求出全部的根;④列表:方程的根将整个定义域分成若干个区间,把在每个区间内的变化情况列在一个表格内;⑤判断得结论:若导数在附近左正右负,则在处取得极大值;若左负右正，则取得极小值.【例3】已知函数在处有极值.(1)求、的值；(2)求出的单调区间，并求极值.【例4】求下列函数的单调区间和极值．(1)；(2)．【变式2-1】已知函数的极小值为（

）A． B． C． D．【变式2-2】已知函数，为的导函数，，则（

）A．的极大值为，无极小值B．的极小值为，无极大值C．的极大值为，无极小值D．的极小值为，无极大值【变式2-3】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值.题型03求不含参函数的最值【解题思路】求解函数在固定区间上的最值的步骤：①对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内；②研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小,确定最值【例5】设函数(1)求的极大值点与极小值点及单调区间；(2)求在区间上的最大值与最小值．【例6】当.时，函数在区间上取最小值.【变式3-1】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在上的最值.【变式3-2】求下列函数的最值．(1)；(2).【变式3-3】已知函数，若曲线在处的切线方程为.(1)求a，b的值；(2)求函数在区间上的最值．题型04已知函数的极值求参数【解题思路】（1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值.（2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件.【例7】已知函数在处有极值0，则实数的值为（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11【例8】若函数与函数有相等的极小值，则实数（

）A． B． C．2 D．【变式4-1】已知函数在处取得极小值5．(1)求实数a，b的值；(2)当时，求函数的最小值．【变式4-2】已知函数在处取得极大值，求的值.【变式4-3】若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是.题型05利用极值研究方程根的方法【解题思路】（1）研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题.一般地,方程的根就是函数的图象与轴交点的横坐标,方程的根就是函数与的图象的交点的横坐标.（2）利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.【例9】已知函数在处取得极值．(1)求实数的值；(2)若函数在内有零点，求实数的取值范围．【例10】已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．【变式5-1】设函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．【变式5-2】已知函数在处有极值0.(1)讨论函数的单调性；(2)记，若函数有三个零点，求实数k的取值范围.【变式5-3】已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.(1)求的单调区间；(2)求a，b，c的值；(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.题型06已知函数的最值求参数【解题思路】已知函数最值求参数的步骤：①求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.；②通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值；③结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用.【例11】若函数的最小值为，则实数（

）A． B． C．4 D．【例12】（多选）函数，的最大值为，最小值为，则（

）A．或 B．若，则C．若，可得 D．或【变式6-1】如果函数在上的最大值是2，那么在上的最小值是.【变式6-2】已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.【变式6-3】设.当时，在上的最小值为－，求在该区间上的最大值.题型07与函数最值有关的恒成立问题【解题思路】（1）不等式恒成立问题的转化技巧：①或恒成立或；②或)恒有解或）；③恒成立其中）;④恒有解其中).（2）对于函数,若存在,使得或成立,则或.【例13】已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【例14】已知函数在处有极值10．(1)求实数，的值;(2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围．【变式7-1】若在上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知不等式恒成立，则的取值范围是．【变式7-3】已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．题型08利用导数解决实际问题【解题思路】①分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式;②求函数的导数,解方程;③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值;④把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情况并下结论.【例13】已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【例14】已知函数在处有极值10．(1)求实数，的值;(2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围．【变式7-1】若在上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知不等式恒成立，则的取值范围是．【变式7-3】已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．课后作业一、单选题1．函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是（

）

A．是函数的最小值B．是函数的极值C．在区间上单调递增D．在处的切线的斜率大于02．若函数在处取得极小值，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-43．函数在区间上的最大值是（

）A．0 B． C． D．4．如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为，体积为V，则的最大值为（

）

A． B． C． D．5．已知函数在处取得极值5，则（

）A． B． C．3 D．76．若方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（

）A．函数的单调递减区间是B．函数的单调递增区间是，C．处是函数的极值点D．时，函数的导函数小于08．下列函数中，存在极值点的是（

）A． B．C． D．9．已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（

）A． B． C． D．三、填空题10．若函数在区间上的