(2025年)应力状态典型例题(带答案)

(2025年)应力状态典型例题(带答案)某构件表面某点处于平面应力状态，已知该点的应力分量为σₓ=80MPa（拉应力），σᵧ=-40MPa（压应力），τₓᵧ=30MPa（x面y向切应力为正）。要求：（1）计算与x轴成30°角的斜截面上的正应力和切应力；（2）确定该点的主应力大小及主平面方位角；（3）绘制该点的应力圆，并在圆上标注主应力、斜截面应力对应的点。（1）斜截面正应力与切应力计算斜截面方位角θ=30°，根据平面应力状态斜截面应力公式：σ_θ=(σₓ+σᵧ)/2+(σₓ-σᵧ)/2·cos2θ+τₓᵧ·sin2θτ_θ=-(σₓ-σᵧ)/2·sin2θ+τₓᵧ·cos2θ代入已知数据：(σₓ+σᵧ)/2=(80-40)/2=20MPa(σₓ-σᵧ)/2=(80+40)/2=60MPacos2θ=cos60°=0.5，sin2θ=sin60°=√3/2≈0.866计算σ_θ：σ_θ=20+60×0.5+30×0.866=20+30+25.98=75.98MPa（拉应力）计算τ_θ：τ_θ=-60×0.866+30×0.5=-51.96+15=-36.96MPa（负号表示切应力方向与假设方向相反）（2）主应力及主平面方位角计算主应力计算公式为：σ₁,₂=(σₓ+σᵧ)/2±√[((σₓ-σᵧ)/2)²+τₓᵧ²]代入数据：√[((80+40)/2)²+30²]=√(60²+30²)=√(3600+900)=√4500≈67.08MPa因此，σ₁=20+67.08=87.08MPa，σ₂=20-67.08=-47.08MPa由于平面应力状态下另一主应力σ₃=0（垂直于纸面方向无应力），故三个主应力为σ₁=87.08MPa，σ₂=0，σ₃=-47.08MPa（按代数值排序）。主平面方位角α₀由tan2α₀=-2τₓᵧ/(σₓ-σᵧ)计算：tan2α₀=-2×30/(80-(-40))=-60/120=-0.5解得2α₀=-26.565°或153.435°，故α₀=-13.28°或76.72°。验证主应力与方位角的对应关系：当α₀=-13.28°时，cos2α₀=cos(-26.565°)=0.894，sin2α₀=sin(-26.565°)=-0.447，代入σ_θ公式得σ_θ=20+60×0.894+30×(-0.447)=20+53.64-13.41=60.23MPa（非主应力，说明需用另一角度）。正确方法是通过应力圆判断，主应力σ₁对应α₀=-13.28°，σ₃对应α₀=76.72°（因σ₁>σ₃）。（3）应力圆绘制以σ为横轴，τ为纵轴，圆心坐标C((σₓ+σᵧ)/2,0)=(20,0)，半径R=√[((σₓ-σᵧ)/2)²+τₓᵧ²]=67.08MPa。在圆上，x面对应点A(σₓ,τₓᵧ)=(80,30)，y面对应点B(σᵧ,-τₓᵧ)=(-40,-30)。主应力点为圆与σ轴交点，即(20+67.08,0)=(87.08,0)对应σ₁，(20-67.08,0)=(-47.08,0)对应σ₃。斜截面θ=30°对应的点D，其坐标为(75.98,-36.96)，位于圆心C逆时针旋转2θ=60°的位置（因θ为从x轴逆时针转30°，故应力圆上从点A逆时针转60°到达D）。某高压容器内壁某点处于三向应力状态，已知两个主应力σ₁=200MPa（拉应力），σ₃=-150MPa（压应力），第三个主应力σ₂未知。通过电测法在该点表面沿0°、45°、90°方向粘贴应变片，测得线应变为ε₀°=450×10⁻⁶，ε₄₅°=200×10⁻⁶，ε₉₀°=-100×10⁻⁶。材料弹性模量E=210GPa，泊松比ν=0.28。要求：（1）验证σ₂是否为0（即是否处于平面应力状态）；（2）计算该点的最大切应力；（3）若材料的许用切应力[τ]=120MPa，判断是否满足强度要求。（1）验证σ₂是否为0三向应力状态下，表面应变片测得的应变为平面应变（z方向自由，σ_z=0但ε_z≠0）。根据广义胡克定律，x、y方向应变与应力关系为：εₓ=(1/E)(σₓ-νσᵧ-νσ_z)εᵧ=(1/E)(σᵧ-νσₓ-νσ_z)γₓᵧ=τₓᵧ/G，G=E/[2(1+ν)]由于主应力σ₁、σ₃作用方向假设为x、y方向（需验证），若σ₂=0，则该点处于平面应力状态（σ_z=0），此时主应力应满足σ₁>σ₂=0>σ₃。但题目中σ₁=200MPa，σ₃=-150MPa，若σ₂≠0，则需通过应变片数据反推实际应力。应变花公式（0°、45°、90°）：ε₀°=εₓ=450×10⁻⁶ε₉₀°=εᵧ=-100×10⁻⁶ε₄₅°=(εₓ+εᵧ)/2+(εₓ-εᵧ)/2·cos90°+(γₓᵧ/2)·sin90°代入数据：200×10⁻⁶=(450-100)/2×10⁻⁶+0+(γₓᵧ/2)×1解得γₓᵧ/2=200×10⁻⁶175×10⁻⁶=25×10⁻⁶，故γₓᵧ=50×10⁻⁶假设该点实际应力分量为σₓ、σᵧ、τₓᵧ（非主应力状态），则根据广义胡克定律：σₓ=(E/(1-ν²))(εₓ+νεᵧ)σᵧ=(E/(1-ν²))(εᵧ+νεₓ)τₓᵧ=Gγₓᵧ=Eγₓᵧ/[2(1+ν)]计算σₓ：E/(1-ν²)=210×10³MPa/(1-0.28²)=210×10³/0.9216≈227848MPaσₓ=227848×(450×10⁻⁶+0.28×(-100×10⁻⁶))=227848×(450-28)×10⁻⁶=227848×422×10⁻⁶≈96.2MPaσᵧ=227848×(-100×10⁻⁶+0.28×450×10⁻⁶)=227848×(-100+126)×10⁻⁶=227848×26×10⁻⁶≈5.92MPaτₓᵧ=210×10³MPa×50×10⁻⁶/[2×(1+0.28)]=210×10³×50×10⁻⁶/(2.56)=10.5/2.56≈4.10MPa若该点为主应力状态，则τₓᵧ应等于0，但计算得τₓᵧ≈4.10MPa≠0，说明σ₁、σ₃并非沿x、y方向，原假设σ₂=0不成立，该点处于三向应力状态。（2）最大切应力计算三向应力状态下最大切应力τ_max=(σ₁-σ₃)/2，其中σ₁、σ₂、σ₃为按代数值排序的主应力。需先通过实际应力分量计算主应力：主应力公式：σ'₁,₂=(σₓ+σᵧ)/2±√[((σₓ-σᵧ)/2)²+τₓᵧ²]代入σₓ=96.2MPa，σᵧ=5.92MPa，τₓᵧ=4.10MPa：(σₓ+σᵧ)/2=(96.2+5.92)/2≈51.06MPa((σₓ-σᵧ)/2)²=(90.28/2)²=45.14²≈2037.6τₓᵧ²≈16.81√(2037.6+16.81)=√2054.4≈45.33MPa故σ'₁=51.06+45.33≈96.39MPa，σ'₂=51.06-45.33≈5.73MPa由于z方向应力σ_z未知，但表面点z方向无外力，σ_z=0（平面应力状态），因此三个主应力为σ₁=96.39MPa，σ₂=5.73MPa，σ₃=0（按代数值排序错误，实际应比较所有主应力）。正确排序应为σ₁=96.39MPa，σ₂=5.73MPa，σ₃=0？不，原三向应力状态中可能存在σ_z≠0，但根据表面应变，z方向自由，σ_z=0，故主应力应为σ₁=96.39MPa，σ₂=5.73MPa，σ₃=0（因0>5.73？不，5.73>0，故正确排序为σ₁=96.39MPa，σ₂=5.73MPa，σ₃=0？不，代数值排序是从大到小，96.39>5.73>0，所以σ₁=96.39，σ₂=5.73，σ₃=0。但之前题目中给出的σ₁=200MPa和σ₃=-150MPa可能是干扰，实际应通过应变计算。重新整理：题目中“已知两个主应力σ₁=200MPa，σ₃=-150MPa”可能是假设条件，需结合应变数据验证。若该点确实存在σ₁=200MPa，σ₃=-150MPa，σ₂未知，则根据广义胡克定律，三向应变公式为：εₓ=(1/E)(σ₁-νσ₂-νσ₃)εᵧ=(1/E)(σ₂-νσ₁-νσ₃)ε_z=(1/E)(σ₃-νσ₁-νσ₂)代入εₓ=450×10⁻⁶，εᵧ=-100×10⁻⁶，σ₁=200MPa，σ₃=-150MPa，E=210×10³MPa，ν=0.28：方程1：450×10⁻⁶=(1/210×10³)(2000.28σ₂0.28×(-150))450×10⁻⁶×210×10³=2000.28σ₂+4294.5=2420.28σ₂0.28σ₂=242-94.5=147.5σ₂=147.5/0.28≈526.79MPa方程2验证：εᵧ=(1/210×10³)(526.790.28×2000.28×(-150))=(1/210×10³)(526.7956+42)=(1/210×10³)(512.79)=512.79/210×10³≈2.442×10⁻³=2442×10⁻⁶，与测得的εᵧ=-100×10⁻⁶不符，说明题目中“已知两个主应力”的条件可能为假设错误，实际应通过应变计算主应力。正确方法：由应变片数据计算平面应力状态下的主应变，再转换为主应力。平面应变状态下，主应变ε₁,₂=(εₓ+εᵧ)/2±√[((εₓ-εᵧ)/2)²+(γₓᵧ/2)²]，代入εₓ=450×10⁻⁶，εᵧ=-100×10⁻⁶，γₓᵧ=50×10⁻⁶：(εₓ+εᵧ)/2=(450-100)/2×10⁻⁶=175×10⁻⁶((εₓ-εᵧ)/2)²=(550/2×10⁻⁶)²=(275×10⁻⁶)²=75625×10⁻¹²(γₓᵧ/2)²=(25×10⁻⁶)²=625×10⁻¹²√(75625+625)×10⁻⁶=√76250×10⁻⁶≈276.13×10⁻⁶故ε₁=175×10⁻⁶+276.13×10⁻⁶=451.13×10⁻⁶，ε₂=175×10⁻⁶-276.13×10⁻⁶=-101.13×10⁻⁶平面应力状态下，主应力与主应变关系为：σ₁=E/(1-ν²)(ε₁+νε₂)σ₂=E/(1-ν²)(ε₂+νε₁)代入数据：E/(1-ν²)=210×10³/(1-0.28²)=210×10³/0.9216≈227848MPaσ₁=227848×(451.13×10⁻⁶+0.28×(-101.13×10⁻⁶))=227848×(451.13-28.32)×10⁻⁶=227848×422.81×10⁻⁶≈96.4MPaσ₂=227848×(-101.13×10⁻⁶+0.28×451.13×10⁻⁶)=227848×(-101.13+126.32)×10⁻⁶=227848×25.19×10⁻⁶≈5.74MPa因此，三个主应力为σ₁=96.4MPa，σ₂=5.74MPa，σ₃=0（平面应力状态），说明原假设的σ₁=200MPa和σ₃=-150MPa不成立，该点实际处于平面应力状态（σ₃=0）。最大切应力τ_max=(σ₁-σ₃)/2=(96.4-0)/2=48.2MPa（若考虑三向，τ_max=(σ₁-σ₃)/2=48.2MPa）。（3）强度校核许用切应力[τ]=120MPa，实际最大切应力τ_max=48.2MPa<[τ]，满足强度要求。某机械传动轴由45钢制成，直径d=60mm，承受轴向拉力F=150kN，扭矩T=3kN·m，以及横向力F_y=8kN（作用于跨中，跨度L=1.2m）。要求：（1）确定危险截面及危险点位置；（2）计算危险点的应力状态（用单元体表示）；（3）计算该点的主应力及最大切应力；（4）若材料的屈服强度σ_s=355MPa，采用第三强度理论校核强度。（1）危险截面与危险点确定传动轴同时承受轴向拉伸、扭转和弯曲。轴向拉力引起均匀分布的正应力σ_N=F/A；扭矩引起切应力τ_T=16T/(πd³)，在横截面边缘最大；横向力引起弯矩M=F_y×L/4=8×1.2/4=2.4kN·m，弯曲正应力σ_M=32M/(πd³)，在横截面上下边缘（y方向）最大。危险截面为弯矩最大的跨中截面，危险点为该截面上下边缘（同时受最大弯曲正应力和最大扭转切应力，且轴向拉应力叠加）。（2）危险点应力状态计算计算各应力分量：轴力F=150kN，截面积A=πd²/4=π×60²/4=2827.43mm²=2827.43×10⁻⁶m²σ_N=F/A=150×10³N/(2827.43×10⁻⁶m²)=53.05MPa（拉应力）弯矩M=2.4kN·m=2.4×10⁶N·mm，弯曲正应力：σ_M=32M/(πd³)=32×2.4×10⁶/(π×60³)=76.8×10⁶/(π×216000)=76.8×10⁶/678584≈113.2MPa（拉应力，上边缘为拉，下边缘为压，取上边缘危险点）扭矩T=3kN·m=3×10⁶N·mm，扭转切应力：τ_T=16T/(πd³)=16×3×10⁶/(π×60³)=48×10⁶/678584≈70.7MPa危险点的正应力为σₓ=σ_N+σ_M=53.05+113.2=166.25MPa（拉应力），σᵧ=0（垂直于轴线方向无正应力），切应力τₓᵧ=τ_T=70.7MPa（x面y向切应力）。（3）主应力及最大切应力计算主应力公式