第三章混凝土结构设计原理

第三章正截面受弯承载力计算

教学要求：

1深刻理解适筋梁正截面受弯全过程的三个阶段及其应用。

2熟练掌握单筋矩形截面、双筋矩形截面和T形截面受弯构件的正截面受弯承载力计

算。

3熟练掌握梁截而内纵向钢筋的选择和布置.

4理解纵向受拉钢筋配筋率的意义及其对正截面受弯性能的影响。

3.1梁、板的一般构造

3.1.1截面形式与尺寸

1截面形式

受压钢筋

中和轴

受拉钢筋

【形梁

/受压区

中和轴

\\\\\受拉钢筋

槽形板空心板

(/■)(K)

图3-1常用梁、板截面形式

(a)单筋矩形梁；(b)双筋矩形梁；(c)T形梁；(d)I形梁;

(e)槽形板；⑴空心板；(g)环形截面梁

2梁、板的截面尺寸

现浇梁、板的截面尺寸宜按下述采用：

(1)矩形截面梁的高宽比h/b一般取2.0〜3.5；T形截面梁的h/b一般取2.5〜4.0(此

处b为梁肋宽)。矩形截面的宽度或T形截面的肋宽b一般取为100mm.120mmJ50mm.

(180mm)>200mm、(220mm)、250mm和300mm,3()()mm以上的级差为50mm：括号

中的数值仅用于木模。

(2)米用梁局h=250mm、300mm、350mm>750mm>800mm>900mm>1000mm等尺

寸。800mm以下的级差为50mm,以上的为100mm。

(3)现浇板的宽度一般较大,设计时可取单位宽度(b=1000mm)进行计算。

3.1.2材料选择与一般构造

1混凝土强度等级

现浇钢筋混凝土梁、板常用的混凝土强度等级是C25、C30,一般不超过C40。

2钢筋强度等级及常用宜杼

(1)梁的钢筋强度等级和常用直径

1)梁内纵向受力钢筋。

梁中纵向受力钢筋宜采用HRB400级和HRB500级，常用直径为12mm、14mm、16mm、

18mm^20mm、22mm和25mm0

纵向受力钢筋的直径，当梁高大于等于300mm时，不应小于10mm；当梁高小丁300mm

时，不应小于8mmo

2)梁的箍筋宜采用HPB400级、HRB335级，少量用HPB300级钢筋，常用直径是6mm,

8mm和10mm。

凝

混

21.5钢筋直径土Y

保

层

护

净距230mmL潍

典

_kjJ

doo

*

d

I

WV

II

o

w-zJV

八

墨

史

净距225mm

》钢筋直径混凝土保护层225mm

(a)(b)

图3-2梁截面内纵向钢筋布置

及截面有效高度ho

(2)板的钢筋强度等级及常用直径

板内钢筋一般有受拉钢筋与分布钢筋两种。

1)板的受力钢筋

板的受拉钢筋常用HRB400级和HRB500级钢筋，常用直径是6mm、8mm、10mm和

12mm。为了防止施工时钢筋被踩下，现浇板的板面钢筋直径不宜小于8mm。

分布钢筋

图3-3板的配筋

2）板的分布钢筋

除沿受力方向布置受拉钢筋外，还应在受拉钢筋的内侧布置与其垂直的分布钢筋。

分布钢筋宜采用HRB400级和HRB335级钢筋，常用直径是6mm和8mm。

（3）纵向受拉钢筋的配筋率

>1.5钢筋直径混凝土w

-H®

净距230mm保护层cfe

学

考

J

dbo

0

W

谿

基q。oo

小DQoO□OOQ

净距225mm

）钢筋直径混凝土保护层>25mm

（a）（b）

纵向受拉钢筋的配筋率/在一定程度上标志了正截面上纵向受拉钢筋与混凝土之间

的面积比率，它是对梁的受力性能有很大影响的一个重要指标。

3混凝土保护层厚度

从最外层钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离，称为混凝土保护层厚度，用C表示,

最外层钢筋包括箍筋、构造筋、分布筋等。

混凝土保护层有三个作用：

1）防止纵向钢筋锈蚀；

2）在火灾等情况下，使钢筋的温度上升缓慢；

3）使纵向钢筋与混凝土有较好的粘结。

梁、板、柱的混凝土保护层厚度与环境类别和混凝土强度等级有关，设计使用年限

为50年的混凝土结构，其混凝土保护层最小厚度，见附表4-3。

此外，纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度尚不应小于钢筋的公称直径。

混凝土结构的环境类别，见表1-1。

3.2受弯构件正截面的受弯性能

3.2.1适筋梁正截面受弯的三个受力阶段

当受弯构件正截面内配置的纵向受拉钢筋能使其正截面受弯破坏形态属于延性破

坏类型时，称为适筋梁。

Mb—150mm

h=350nmi

Ao=315nim

混凝土C25

V钢筋4=354N/mm2

图3-4试验梁

适筋梁正截面受弯的全过程可划分为三个阶段一未裂阶段、裂缝阶段和破坏阶段

（1）第I阶段：混凝土开裂前的未裂阶段

应变图

1）混凝土没有开裂；

2）受压区混凝土的应力图形是直线，受拉区混凝土的应力图形在第I阶段前期是直线,

后期是曲线；

3）弯矩与截面曲率基本上是直线关系。

Ia阶段可作为受弯构件抗裂度的计算依据。

（2）第U阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段

1）在裂缝截面处，受拉区大部分混凝土退出工作，拉力主要由纵向受拉钢筋承担，但钢

筋没有屈服；

2）受压区混凝土已有塑性变形，但不充分，压应力图形为只有上升段的曲线；

3）弯矩与截面曲率是曲线关系，截面曲率与挠度的增长加快。

阶段II相当于梁正常使用时的受力状态，可作为正常使用阶段验算变形和裂缝开展宽度

的依据。

(3)第III阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的破坏阶段

纵向受拉钢筋屈服后，正截面就进入第HI阶段工作,

3.2.2正截面受弯的三种破坏形态

结构、构件和截面的破坏有脆性破坏和延性破坏两种类型。脆性破坏将造成严重后

果，且材料没有得到充分利用，因此在工程中，脆性破坏类型是不允许的。

图3・8梁的三种破坏形态

(a)适筋破坏；(b)超筋破坏;

(c)少筋破坏

1适筋破坏形态

其特点是纵向受拉钢筋先屈服，受压区边缘混凝土随后压碎时，截面才破坏，属延

性破坏类型。

适筋梁的破坏特点是破坏始自受拉区钢筋的屈服。

2超筋破坏形态

特点是混凝土受压区边缘先压碎，纵向受拉钢筋不屈服，在没有明显预兆的情况下

由于受压区混凝土被压碎而突然破坏，属于脆性破坏类型。

3少筋破坏形态

当pVpmbrh/ho时发生少筋破坏，少筋梁破坏时的极限弯矩M，小于开裂弯矩M°cr,

故其破坏特点是受拉区混凝土一裂就坏，属脆性破坏类型。

图3-10少筋梁M%p。关系曲线图

3.2.3界限破坏及界限配筋率

比较适筋梁和超筋梁的破坏，可以发现，两者的差异在于：前者破坏始自受拉钢筋

屈服；后者则始自受压区混凝土压碎。显然，总会有一个界限配筋率的，这时钢筋应力

到达屈服强度的同时受压区边缘纤维应变也恰好到达混凝土受弯时的极限压应变值。这

种破坏形态称为“界限破坏”，即适筋梁与超筋梁的界限。

p=pb时，受拉钢筋应力到达屈服强度的同时受压区混凝土压碎使截面破坏。界限破

坏也属于延性破坏类型，所以界限配筋的梁也属于适筋梁的范围。

3.3正截面受弯承载力计算原理

3.3.1正截面承载力计算的基本假定

《混凝土结构设计规范》规定，包括受弯构件在内的各种混凝土构件的正截面承载力应

按下列四个基本假定进行计算：

1截面应变保持平面；

2不考虑混凝土的抗拉强度：

3混凝土受压的应力与压应变关系曲线按下列规定取用：

生工£。（上升段），b,=fc

L_

%<久<久“（水平段），=fc

£o=o.002-o.5x（九L50）X10T20002

与1-0.0033-05.-50）xlQ<<0.0033

4纵向受拉钢筋的极限拉应变取为0.01,纵向钢筋的应力取钢筋应变与其弹性模量的

乘积，但其值应符合下列要求：

3.3.2受压区混凝土的压应力的合力及其作用点

T74

图3-12等效矩形应力图

c=I三!;/%=工&、=匕工皿

00%%

3.3.3等效矩形应力图

两个图形的等效条件是：

1)混凝土压应力的合力C大小相等；

2)两图形中受压区合力C的作用点不变。

a』bx=kjbxc

x=2(x,-yf),x=2(l-fc>)xf

x

A=-=2(i-fc)

-iXV.

A2(1-kJ

3.3.4适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率

图3・13适筋梁、超筋梁、界限配筋梁

破坏时的正截面平均应变图

相对界限受压区高度3

当相对受压区高度&时，属于超筋梁。

当手与时，属于界限情况，与此对应的纵向受拉钢筋的配筋率，称为界限配筋率,

记作pb,此时考虑截面上力的平衡条件，有

%上她=ZA

H工Z

夕FF

3.3.5最小配筋率pmin

少筋破坏的特点是一裂就坏，所以，确定纵向受拉钢筋最小配筋率Pmin的理论原则

是这样的：按EOL阶段计算钢筋混凝土受弯构件正截面受弯承载力与由素混凝土受弯构

件计算得到的正截面受弯承载力两者相等。

按后者计算时，混凝土还没有开裂，所以规范规定的最小配筋是按h而不是按ho

计算的。

考虑到混凝土抗拉强度的离散性，以及收缩等因素的影响，所以在实用上，最小配

筋率Pmin往往是根据传统经验得出的。规范规定的纵向受力钢筋最小配筋率见附表4-5。

为了防止梁“一裂就坏”，适筋梁的配筋率应大于pm.nh/h0。

附表4-5中规定：受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件，其一侧纵向受拉钢筋的配

筋百分率不应小于0.2%和0.45ft/fy中的较大值。

此外，卧置于地基上的混凝土板，板中受拉钢筋的最小配筋率可适当降低，但不

应小于().15%

3.4单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算

3.4.1基本计算公式及适用条件

1基本计算公式

图3・14单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图

W=A/u=收-x/2)

.AZ==fyA:(hQ-x12)

(1)防止超筋破坏的限制条件

Sk

=%£6、盘(1-0.5蠹)

5号半

A

(2)防止少筋破坏的限制条件

p防

按照我国经验，板的经济配筋率约为0.3%〜0.8%；单筋矩形梁的经济配筋率约为

().6%〜1.5%。

3.4.2截面承载力计算的两类问题

受弯构件正截面受弯承栈力计算包括截面设计、截面复核两类问题。

1截面设计

截面设计时，应令正截面弯矩设计值M与截面受弯承载力设计值Mu相等，即M

=MUo

常遇到下列情形：已知M、混凝土强度等级及钢筋强度等级、矩形截面宽度b及

截面高度h,求所需的受拉钢筋截面面积A”

这时，根据环境类别及混凝土强度等级，由附表4-3查得混凝土保护层最小厚度，

再假定位，得ho,并按混凝土强度等级确定cu,解二次联立方程式。然后验算适用条件

(1),即要求满足岳上。若自>《b,需加大截面，或提高混凝土强度等级，或改用双筋矩

形截面。若公b,则计算推续进行，按求出的A.选择钢筋，采用的钢筋截面面积与计

算所得As值，两者相差不超过±5%,并检查实际的烝值与假定的as是否大致相符，如

果相差太大，则需重新计算。最后应该以实际采用的钢筋截面面积来验算适用条件(2),

即要求满足p>pmin-h/ho,且p>0.45ft/fy-h/h()o

如果不满足，则纵向受拉钢筋应按Pminh/ho配置。

在正截面受弯承载力设计中，钢筋直径、数量和层数等还不知道，因此纵向受拉

钢筋合力点到截面受拉边缘的距离区往往需要预先估计。当环境类别为一类时(即室内

环境)，一般取

梁内一层钢筋时，as=40mm

梁内两层钢筋时，as—65mm

对于板as=20mm

2截面复核

已知：M、b、h、As、混凝土强度等级及钢筋强度等级，求Mu。

先由p=As/(bho)计算4=p0/(aifc),如果满足适用条件:gb及归3minhAo,则求

出Mu=fyAsho(1-0.5^)

或Mu=aifcbh()241-0.戈)

当M仑M时，认为截面受弯承载力满足要求，否则为不安全。

当Mu大于M过多时，该截面设计不经济。

自的物理意义：

1)由1=x/ho知，匕称为相对受压区的度；

2)由9p0/aR知，匕与纵向受拉钢筋配筋率p相比，不仅考虑了纵向受拉钢筋截面

面积As与混凝土有效面积bho的比值，也考虑了两种材料力学性能指标的比值，能更全

面地反映纵向受拉钢筋与混凝土有效面积的匹配关系，因此又称匕为配筋系数。

截面复核也可采用以下方法:

先求出混凝土受压区高度

x=fyA$/(aifcb)

再求出配筋率p=As/(bho)

如果满足x势ho；p>pminh/ho,

则Mu就可求得。

3.4.3正截面受弯承载力的计算系数与计算方法

%=式1-0.5分

r,=^=i-o.5^=l(i+7iT2^)

42

.MM

~f,z~f“风

Ma=%却闲

金_林工网

%3=媒(1-。5备)

3.5双筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算

3.5.1概述

如果在受压区配置的纵向受压钢筋数量比较多，不仅起架立钢筋的作用，而且在正

截面受弯承载力的计算中必须考虑它的作用，这样配筋的截面称为双筋截面。

在正截面受弯承载力计算中，采用纵向受压钢筋协助混凝土承受压力是不经济的,

因而从承载力计算角度出发，双筋截面只适用于以下情况：

(1)弯矩很大，按单筋矩矩形截面计算所得的匕大于4b,而梁截面尺寸受到限制，

混凝土强度等级乂不能提高时；

(2)在不同荷载组合情况下，梁截面承受异号弯矩。

352计算公式与适用条件

1纵向受压钢筋抗压强度的取值

由平截面假定可得受压钢筋的压应变值

,x-a...a：Bq

£：=-_

x:X,氏X

a.'=0.5工

一(-a

)x%=(l-0.5£i)x」

X

若混凝土强度等级为C80,

£w,U,=0.003

月=0.74

^1=0.00189

受京钢筋强度为3OOMPa、335Mpa、400MPa时，均可达到抗压强度设计值。

x>2aJ'或Vz<ift-a,'

其含义为受压钢筋位置不低于矩形受压应力图形的重心。当不满足式该规定时，则

表明受压钢筋的位置离中和轴太近，受压钢筋的应变太小，以致其应力达不到抗压强度

设计值。

2计算公式及适用条件

图349双筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图

乂=a/bx依-x2)+/.'J.'(^

X”也

x>2a:'

当不满足上述条件时，可对受压钢筋取矩，正截面受弯承载力按下式计算

L~fy电（况-4）

3.5.3计算方法

1截面设计

有两种情况，一种是受压钢筋和受拉钢筋都是未知的；另一种是因构造要求等原

因，受压钢筋是己知的，求受拉钢筋。己如前述，截面设计时，令M=Mu。

(D情况1：已知截面尺寸bxh,混凝土强度等级及钢筋等级，弯矩设计值M。求：

受压钢筋AJ和受拉钢筋Aso

由于两个基本计算公式中含有x、As，、As三个未知数，其解是不定的，故尚需补

充一个条件才能求解。显然，在截面尺寸及材料强度已知的情况下，只有引入(4+AJ)

之和最小为其最优解。

.1j/腐4T

---------:——-

仆…)

/、

fy"A'(—

为满足适用条件，当时应取白⑶。由表3-6知，当混凝土强度等级WC50时,

对于335MPa级、400MPa级钢筋其小=0.55、0.518,故可直接取&=小。对于300MPa级

钢筋，在混凝土强度等级WC50及等于C60时，因它的布=0.576和0.557,都大于().55,

故宜取4=0.55计算，此时，若仍取自=与，则钢筋用量略有增加。

取白刍

A/-aJ如：以一举：、

】'勺1.芯刍(1-0.5备)

4-----------------------------------------

-&(­)足(…)

a=4左+4^^

''fy-fy

*时,

W-组史L

取白⑶的意义是充分利用混凝土受压区对正截面受弯承载力的贡献。

(2)情况2：已知截面尺寸bxh、混凝土强度等级、钢筋等级、弯矩设计值M及受

压钢筋AJ,求受拉钢筋A“

单筋矩形梁，可求出其截面抵抗矩系数

Cf---------——

4=Mg，(EzA)

在求As2时，尚需注意：

(1)若自>小，表明原有的As，不足，可按未知的情况1计算；

(2)若求得的xV2葭时，即表明AJ不能到达其抗压强度设计值，因此，基本公式

中Osyfy\故需要求出但这样计算比较繁琐，通常可近似认为此时内力臂为iho-a「),

即假设混凝土压应力合力C也作用在受压钢筋合力点处，这样对内力臂计算的误差是很

小的，因而对求解As的误差也就很小。即

As=M/[fy(ho-as')]

(3)当as'/ho较大，若

M〈2a4cbaJ(ho・as'M，按单筋梁计算得到的As将比按式(3-44)求出的As要小，这

时应不考虑受压钢筋按单筋梁确定受拉钢筋截面面积As,以节约钢材。

2截面复核已知截面尺寸bxh、混凝土强度等级及钢筋等级、受拉钢筋As及受压

钢筋As，，弯矩设计值M,求正截面受弯承载力Mu。

由式(3-32)求x,若ahoNxMas',可代入式(3-33)中求Mu；

若xV2aA可利用式(3-44)求Mu；

若x>[bho,则应把x=xb代入式(3-33)求MUo

3.6T形截面受弯构件正截面受弯承载力计算

3.6.1概述

受弯构件在破坏时，大部分受拉区混凝土早已退出工作，故从正截面受弯承载力的

观点来看，可将受拉区的一部分混凝土挖去，见图3-20。

3

支座截面跨中截而

受压

*/'//////41•••4-

F1明二5压区

跨中截面支座截面

图3-21连续梁跨中与支座截面

图3-20T形截面与倒T形截面

（a）T形截面；（b）倒T形截面

图3-22T形截面梁受压区实际应力和计算应力图

（a）、（c）实际应力图；（b）、（d）计算应力图

图3-23独立的T形截面梁的翼缘宽度

1.两类T形截面的判别

第一T形截面：中和轴在翼缘内x<h'f

第二T形截面：中和轴在腹板内x>h；

ZX=O,%"㈤=f、A

gM=O,M“=aCo-%/2)

截面校核:若4片,第一类截面;

若f、A、＞ajcbfhf,第二类截面;

截面设计:若MWaJb*八h「hj2),第一类截面;

若

M仇-"/2),第二类截面；

2.第一T形截面勿/X/i矩形截面

IX=0,aJcb；x=J\A

ZM=0,%=0必"仇-x/2)

适用条件①xyho,或

②42As,min=Pminbh

gx=0,a£b；x+ajc(bjb)h；=/人

!!

ZM=0,M<ajy(x{h.-x/2)+aJc(bf-b)hf{h.-//；/2)

aJS；-b)/=/vA.afbx=fvAa

M<aJ(〃")%(4—//2)M2<aJ(.bx^-x/2)

M=/%+%A=4+Az

①Xqho,②4NAt,mint

三、基本公式的应用

1.截面设计

已知M,bxh,f”aifc/勿。hf7求4。

(1)