第7章正交试验设计的极差分析

第7章正交试验设计的极差分析

正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又

称直观分析法)，另一种是方差分析法(又称统计分析法)O本章介绍极

差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。

7.1单指标正交试验设计及其极差分析

极差分析法简称R法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如

图7T所示。

图7-1R法示意图

图中，降为第j列因素m水平所对应的试验指标和，灭何为除的平均

值。由降的大小可以判断j因素的优水平和各因素的水平组合，即

最优组合。R』为第j列因素的极差，即第j列因素各水平下平均指标

值的最大值与最小值之差：

Rj=max(j,Kj2，…,)一min(KjX,Kj2，…,Kjni)

此反映了第j列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。生越

大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要°于是依据

Rj的大小，就可以判断因素的主次。

极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现

以例6-2来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。

一、确定因素的优水平和最优水平组合

例6-2为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制

造山楂精汁。拟通过正交试验寻找防法液化工艺的最佳工艺条件。

在例6-2中，不考虑因素间的交互作用(因例6-2是四因素三

水平试验，故选用LK3')正交表)，表头设计如表6-5所示，试验方

案则示于表6-6中。试验结果的极差分析过程，如表7-1所示.

表6-4因素水平表

加水量加酶量酶解温度酶解时间

(ml/100g)(ml/100g)(℃)(h)

ABCD

1101201.5

2504352.5

3907503.5

表6-6试验方案及结果

因素试验结果

试验号

ABCD液化率(%)

11(10)1(1)1(20；1(1.5)0.00

212(4)2(35；2(2.5)17.0

313(7)3(50)3(3.5)24.0

42(50)12312.0

5223147.0

6231228.0

73(90)1321.00

8321318.0

9332142.0

试验指标为液化率，用力表示，列于表6-6和表7-1的最后一

列。

表77试验方案及结果分析

因素试验结果

试验号

ABCD液化率(%)

11(10)1(1)1(20；1(1.5)0.00

212(4)2(35；2(2.5)17.0

313(7)3(50；3(3.5)24.0

42(50)12312.0

5223147.0

6231228.0

73(90)1321.00

8321318.0

9332142.0

K.41.013.046.089.02:189.0

K287.082.071.046.0

61.094.072.054.0

K3

K13.74.315.329.7

K29.027.323.715.3

冗20.331.324.018.0

优水平

B3C3D.

Rj15.327.08.714.4

主次顺序BADC

计算示例：

因素A的第1水平A1所对应的试验指标之和及其平均值分别为:

——1—

KAI=yi+yz+y3=0+17+24=41,K=—KAI=13.7

Ai3

三、绘制因素与指标趋势图

为了更直观地反映因素对试验指标的影响规律和趋势，用因素的

水平作横坐标，试验指标的平均值（石）作纵坐标，画出因素与指标的

关系图（即趋势图），如图7-2所示.（pl37）

趋势图可为进一步试验时选择因素水平指明方向.如对因素A,由

图7-2可见,A?水平时，指标最高，但若能在A2附近再取一些水平（如

40、60）作进一步试验,则有可能取得更高的指标;对D因素,若能取一

些比D更小的水平（如1.0和0.5）作进一步试验,也有可能得到更好

的结果.

以上三个步骤即为极差分析的基本程序与方法.

四、说明与讨论

1、计算结果的检验：每一列的幻之和应等于全部试验结果（即指标值）

之和，即2勺=2为，m为水平数,n为试验总实施次数.

J=Ij=i

2.因素的最优水平组合,在实际处理中是灵活的，即对于主要因素,一

定要选最优水平;而对次要因素，则应权衡利弊,综合考虑其它条件进

行水平选取,从而得到最符合实际生产的最优或较优生产工艺条件.

3.例6-2的最优工艺条件ABC仙并不在实施的9个试验之中.这表明

优化结果不仅反映了己做的试验信息，而且反映了全面试验信息.因

此，正交试验设计的部分实施方案反映了全面试验信息.

4.例6-2得出的最优工艺条件，只有在试验所考察的范围内才有意义,

超出这个范围，情况就可能发生变化。另外，只能说是“较优工艺条

件”，而不能说是“最优工艺条件”.最好能根据趋势图做进一步试验,

找出最靠近最优的工艺条件.

5.对已确定的最优工艺条件（如例6-2的A2B3c3口）进行重复试验，验证

其试验指标是否最优.

7.2多指标正交试验设计及其极差分析

在实际生产和科研试验中，所要考察的指标往往不止一个,这一类

的试验设计叫做多指标试验设计.在多指标试验设计中，各指标之间

可能存在一定的矛盾，如何兼顾各个指标，找出使每个试验都尽可能

好的试验条件呢?换言之，应如何分析多指标试验设计的结果呢?常用

的有两种方法:综合平衡法和综合评分法,下面举例说明综合平衡法

的分析方法.

这种方法在试验方案安排和各指标计算分析方法上，与单指标试

验完全一样.其步骤是先分别找出各个指标最优或较优的生产条件，

然后将这些生产条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的生产

条件.

例7-1在油炸方便面的生产中，主要原料质量和主要工艺参数对产

品的质量有影响。今欲通过正交试验确定最佳生产条件。

一.试验方案设计

1.确定试验指标

评价方便面质量好坏的主要指标是：脂肪含量（越低越好），水分

含量(越高越好)和复水时间(越短越好)。

2.挑因素，选水平，列出因素水平表

根据专'业知识和实际经验，确定试验因素和水平，如表7-2所示。

表7-2因素水平表

湿面筋值(%)改良剂用量(酚油炸时间(S)油炸温度(℃)

ABCD

1280.0570150

2320.07575155

3360.1080160

3.选正交表，设计表头，编制试验方案

本试验是四因素三水平试验，不考虑因素间的交互作用，因此，

可应选Lg(3)安排试验，表头设计和试验方案见表7-3(pl40)o

按上述方案实施后，将每一项试验指标都记录下来，见表7-3。

注：对极差分析可以这样选正交表，但对方差分析应留有空列，以便

估计试验误差.

表7-3试验方案及结果分析

因素试验结果

试验号脂肪水分复水时间

ABCD

(%)(%)(s)

11(28)1(0.05)3(80)2(155)24.82.13.5

212(0.075)1(70)1(150)22.53.83.7

313(0.10)2(75)3(160)23.62.03.0

42(32)12123.82.83.0

5223322.41.72.2

6231219.32.72.8

73(36)11318.42.53.0

8322219.02.02.7

9333120.72.33.6

K.70.967.060.267.0Z=194.5

65.563.066.463.1

K2

Ka58.163.667.964.4

脂

肪K23.622.320.122.3

含

X21.821.322.121.0

量

氏19.421.222.621.5

R4.21.12.51.3

K.7.97.49.08.9Z=21.9

7.27.56.86.8

K2

K6.86.96.16.2

水3

分R2.632.473.002.97

含

旦石2.402.502.272.27

里

R2.272.302.032.07

R0.360.200.970.90

K.10.29.59.510.3Z=27.5

8.08.68.79.0

K2

K9.39.49.38.2

复3

水R3.403.173.173.43

时

石2.672.872.903.00

间

石3.103.133.102.73

R0.730.300.270.70

二.试验结果分析

1.计算每列各水平下每种试验指标的数据和（K,K„K3）,及

其平均值（耳,心,耳），并计算极差R,填入表7-3中。

2.画出因素与各种指标的趋势图，如图7-3所示（pl40）。

3.按极差大小列出各指标下各因素主次顺序:

各因素主次顺序表

试验指标主—＞次

脂肪含量（%）ACDB

水分含量（%）CDAB

复水时间（S）ADBC

4.初选最优工艺条件

根据各指标下的平均数据和耳，瓦,K，初步确定各因素的最优水

平组合为：

对脂肪含量（%）：A：BCD2（脂肪含量越低越好）

对水分含量（%）：A,B2C1D1（水分含量越高越好）

对复水时间（s）：A2B2C2D,3（复水时间越短越好）

5.综♦合♦平•衡•确定最优工艺条件（难点）！

由于三个指标单独分析出来的最优条件并不一致，所以必须根据

因素对三个指标影响的主次顺序，综合考虑，确定出最优条件。

首先，把水平选取上没有矛盾的因素的水平定下来，即如果对三

个指标影响都重要的某一因素，都是取某一水平时最好，则该因素就

是选这一水平。在本试验中无这样的因素，因此我们只能逐个考察每

一因素。

对因素A：从主次顺序来看，对脂肪含量和复水时间的影响都排

在第一位为主要因素，而对水分含量的影响则排在第三位，属次要因

素，因此，应以主要因素为主选因素的水平。从初选的最优水平组合

中可以看出，对脂肪含量选A3为好，而对复水时间，则选A2为好。

因为二者不一致，所以还须根据试验结果分析确定选A2还是A3。从表

7-3可知，当取儿时,复水时间比取A3时缩短16.1%(有利)，即

[(2.67-3.10)4-2.67]X100%=-16.1%,而脂肪含量只比取A3时增加

11.0%(不利)，即[(21.8-19.4)4-21.8]X100%=11.0%,且从水分含

量指标来看，取A?也比取A3时更好，因此，应选取A2水平。

注：当取A：,时，脂肪含量比取A2时降低12.4%(有利)，即

(19.4-21.8)/19.4X100%=-12.4%,复水时间比取A2时增加13.9%(不

利)，即(3.10-2.67)/3.10X100%=13.9%o

综合平衡

A不利有利

A211.0%16.1%

A313.9%12.4%

・••对“有利”部分,A2>A：，;对“不利”部分,A2O3,故应选A?!

对因素B：从主次顺序表中可见，对脂肪含量和水分含量的影响

均排在最后，属次要因素；对复水时间的影响排在第三位，所以，应

以复水时间这一指标来考虑。再从初选最优水平组合中可知，对复水

时间选B2为好,故B应取B?。

对因素C：从主次顺序表中和初选最优水平中可知，C对水分含

量的影响排在第一位，对脂肪含量的影响排在第二位，且都是取C

为好；而对复水时间的影响则排在最后一位，属次要因素，故C应取

C1O

对因素D：对水分含量和复水时间的影响均排在第二位；而对脂

肪含量的影响则排在第三位，属次要因素。对复水时间而言，选D3

较好；而对水分含量而言，则选以为好。所以，D应选□或D3。但取

D时，从表7-3可见，虽然水分含量最高，但复水时间最长，并且脂

肪含量最高，而D对这两项指标的影响也是比较主要的（在主次顺序

表中排在第二、三位），综合考虑，D应选（此时，复水时间最短,

脂肪含量接近（人与L很接近），对这两个指标都有利；但水分含量

此时低，不利）--这是书上的解释方法！！！

以上分析方法称为综合平衡法。

所以，本试验的较优工艺条件为484小3。由因素水平可知，此

时湿面筋值为32%,改良剂用量为0.075%,油炸时间为70s,油炸

温度为160（.最后,应在该条件下,进行验证试验,看其指标是否在所

有试验中为最优.

讨论：

上述对选Di还是选D3的讨论，侧重于定性.下面,从完全定♦量*的角

度讨论如何选D的水平.

选D.与选D3优缺点的比较.综合平衡

①选》时水分含量：Z97-2.07x100%=30.3%（有利）

2.97

复水时间：343-2.73、［。9=20.4%（不利）

3.43

脂肪含量：22.3-21.5*10^=36%（不利）

22.3

②选D3时水分含量：207~297x100%=-43.5%

2.07

复水时间：253-343x100%=-25.6%（有利）

2.73

脂肪含量：215-22.3-1（）0%=一37%（有利）

21.5

由此可见，选一时，“有利”>“小利”；选D3时，“不利”>“有

利”.并且》（有利）>。3（有利之和绝对值），Di（不利之和）<D3（不利

绝对值）.因此,从定量分析来看,D应取瓦而不是取D3.那么，究竟如

何决定D的水平呢?最后，应该再进行A2B2CD和A2B2CD两次试验，由

试验结果决定D好还是D3好!实践是检验真理的唯一标准！

7.3混合型正交表的试验设计极差分析

前面讨论的都是水平数4（一）相同的正交试验设计.但在实际工

作中，有些试验受到设备、原材料和生产条件等限制.某些因素的水平

选择受到制约，或者在有些试验中，要重点考察某个（或某些）因素需

要多取几个水平，这时就会遇到水平数不同的正交试验设计.在这种

情况下,通常有三种解决方法:一是直接选用合适的混合型正交表；二

是采用拟水平法；三是采用拟因素法.我们现在只讨论第一种方法,

即使用混合型正交表心x,碎）进行正交减验设计.

例7-2某油炸膨化食品的体积与油温、物料含水量及油炸时间有关,

为确保产品质量，提出工艺要求。现通过正交试验设计寻求理想的工

艺条件。

一.试验方案设计

1.确定试验指标

本试验的指标为油炸膨化食品的体积,体积越大越好.

2,挑因素、选水平、制定因素水平表

根据专业知识,制定因素水平表如7-4所示，因素A取4个水平,

因素B和C各取2个水平，所以属于水平数不相等的正交试验设计.

表7-4因素水平表

油炸温度（。0物料含水量觥）油炸时间（s）

ABC

12102.030

22204.040

3230

4240

3.选正交表、设计表头、编制试验方案

本试验宜选用晨（4*2，）正交表安排试验，表头设计时，把A因素

放在第一列，其余两个因素可随意安排在四个二水平列中，比如依次

排在第二、三列中，把所安排因素的各列的水平数字后标上相应因素

的具体水平值，即得出试验方案,如表7-5所示.

按表7-5试验方案实施后,所得试验结果列于表7-5中的最后一

列.

表7-5试验方案及结果分析

油温A含水量B时间C体积a

试验号

12345(cm3/100g)

11(210)1(2.0)1(30)11210.0

212(4.0)2(40)22208.0

32(220)1122215.0

422211230.0

53(230)1212251.0

632121247.0

74(240)1221238.0

842112230.0

K.418.0914.0902.01=1829.0

445.0927.0

K2915.0

Ka498.0

K.468.0

R209.0228.5225.5

石222.5228.75231.75

R249.0

及234.0

R40.00.256.25

R25.460.3558.875

二.试验结果分析

1.计算各列各水平下的K、1及R

由于各列的水平数不完全相同，所以K和片的计算略有差异.

第1歹U：由于有四个水平数,所以要计算四个K与七每个K由二

个数据相加得到，因此％二K/2.

例如：

=210.0+208.0=418.0,KA、=K、/2=418.0+2=209.0

/?=249.0-209.0=40.0

第2、3歹IJ：由于只有两个水平,所以只要计算两个K与七每个K

由四个数据相加得到，因此片二K/4.

例如:

KR=210.0+215.0+251.0+238.()=914.0

KBX=K./4=914.0/4=228.5

/?=228.75-228.5=0.25

按上述方法计算出各列各水平下的K、R以及R值,列于表7-5中.

2.计算R的折算值R'(极差R的折算)

当因素的水平数相同时，因素的主次顺序完全由R决定.但当因

素的水平数不同时,直接比较R是不行的.这是因为,若两个因素对试

验指标有影响，一般来说,水平数多的因素极差可能大一些.因此，要

用一个系数把极差R折算后才能作比较.极差的折算公式如下：

R'=dR/r

式中R一折算后的极差；

R一因素的极差；

r—该因素每个水平试验的重复数，厂2；

m

d一折算系数，与因素的水平数有关，其值见表7-6。

表7-6折算系数表〃井-“』一*,

水平数m2345678910

折算系数d0.710.520.450.400.370.350.340.320.31

本例中，R的折算如下：

R八=0.45x40x72=25.46

=0.71x0.25x74=0.355

1=0.71x6.25x74=8.875

计算结果列于表7-5中.

3.根据R'大小确定因素的主次顺序

主一〉次

ACB

即油炸温度对实验指标的影响最大，其次是油炸时间，而物料含

水量的影响最小。

4.回出因素指标趋势图，如图7-4所示(pl46)

5.选各因素的最优水平及最优水平组合

比较各因素各水平下的N值(本例中1越大越好)，并参考因素指

标趋势图，得出最优水平组合为A：,B2c2或A,BG,即油炸温度230摄氏

度，油炸时间40秒，物料含水量对试验指标影响很小，故取2%或领

都可以，视具体情况而定。

由表7-5可见，若最优水平组合ABC2,则该试验即表中的第5

号试验，实验指标值即膨化体积为251.0cm3/10()g,为表中所列最大

值；若最优水平组合为ABC2,则需再实施一次该水平组合下的试验,

作为验证。

7.4考察交互作用的正交试验设计及极差分析

一、交互作用的概念

前面介绍的正交试验设计与试验结果的分析方法，都是指因素间

没有(或不考虑)交互作用的情况，实际上，在许多试验中，不仅因

素对指标有影响，而且因素之间还会联合搭配起来对指标产生影响。

所以，因素对试验产生的总效果，是由每一个因素对试验的单独作用

再加上各个因素之间的搭配作用决定的。这种因素间的联合搭配对试

验指标产生的影响作用，称为交互作用。

例如，我们要考虑化学反应的温度(A)与时间(B)对产品收率

的影响，温度和时间都取二个水平，即人：;和秋：;。在各AB组合

条件的平均产品收率，可能有如下三种情况：

(1)不论B因素取哪个水平,A?水平下收率总比人水平高10；同

样，不论A因素取哪个水平，B2水平下的收率总比日水平下高5。在

这种情况下，一个水平的好坏或好坏程度不受另一个因素水平的影

响，这种情况称为因素A与B之间无交互作用。

(2)在B水平下A2比4的收率高，但在BZ水平下，Ai比A2的收

率高。这种一个因素水平的好坏或好坏程度受到另一因素水平制约的

情况，称为因素A由于因素B存在交互作用，一般用AXB表示。

(3)不论B因素取哪个水平，A?水平的收率总比人水平下高，但

高的程度不等，这也说明因素A与B存在交互作用。

A、A?

Bi7585

B28090

(1)A与B间无交互作用(平行线)

(2)A与B间有交互作用(AXB)

NA2

Bi7585

B28095

(3)A与B间存在交互作用(AXB)

图7-4A与B间的交互作用情况

事实上，因素之间总是存在着交互作用的，这是客观存在的普遍

现象，只不过交互作用的程度不同而已。一般的，当交互作用很小时,

就认为不存在交互作用。因素间的交互作用对试验指标的影响，可能

是正的，也可能是负的。有人说：“中国人一个人像一条龙，三个人

像一条虫；日本人一个人像一条虫，三个人像一条龙。”这说明中国

人之间的交互作用常常产生负面效应。(一个和尚挑水喝，二个和尚

抬水喝，三个和尚没水喝。团结就是力量：集体主义精神)

在试验设计中，表示因素A、B间的交互作用记作AXB,称作一

级交互作用；表示因素A、B、C之间的交互作用记作AXBXC,称作

二级交互作用；依次类推，还有三级、四级交互作用。二级和二级以

上的交互作用称为高级交互作用。在试验设计中，通常忽略高级交互

作用。

2.交互作用的处理原则

处理交互作用的总原则是，将交互作用当作因素看待，并将交互

作用安排在能考察交互作用的正交表的相应列上（表头设计），它们

对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简便。但交互

作用又与试验因素不同，主要表现在：

（1）用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；

（2）一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-l）P

列。即表头设计时，交互作用所占正交表的列数与因素水平m和交互

作用的级数P有关，并旦m和p越大，交互作用所占列数也就越多。

例如，二水平因素的各级交互作用均只占一列，即（m-1尸二（2-1）三1；

对于三水平因素，（mT）P=（3-1）三2,显然一级交互作用占两列（2匚2）,

二级交互作用占四列（2?二4）

对于交互作用的具体处理原则是：

（1）忽略高级交互作用；

（2）有选择的考虑一级交互作用；

正是由于忽略可以忽略的交互作用，才使正交试验法具有减少试

验次数的优点。

（3）试验因素尽量取二个水平

因为二水平因素的各级交互作用均只占一列，所以选取二水平可

以减少交互作用所占列数和减少试验次数。

二、考虑交互作用的正交试验设计方法

例7-4用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测

定灵敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影响吸光度的因素，确定

最佳测定条件。

1.试验方案设计

（1）确定试验指标

（2）挑因素、选水平、制定因素水平表（根据专业知识，制定出的

因素水平表见770,此处略。）

（3）选正交表

选正交表时，一定要把交互作用看成因素，同试验因素一并加

以考虑。所选正交表试验号的大小，应能放下所有要考察的因素及交

互作用，并且最好有1〜2列空列，用以评价试验误差。

本例是三因素二水平试验，对于二水平因素，交互作用AXB,

AXC和BXC都各占正交表一列，加上A（灰化温度）、B（原子化

温度）、C（灯电流）各需一列，共需六列。查附表7（p329）可知,

选用L8（27）最合适。

（4）表头设计

表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按

照交互作用表（seep329附表7）进行安排。这是考虑交互作用的

正交试验设计的一个重要特点，也是其试验方案设计的关键一步。

每张标准正交表都附有一张交互作用表（见附表7）,用于表头

设计o正交表晨（2?）的交互作用表7-11（pl的交表中所有数字均

为列号，括号里的数字表不各因素所占的列。任意两个括号列纵横所

交的数字，即为这两个括号列所表示的因素的交互作用列。例如，第

1列和第2列间的交互作用列是第3歹IJ；第1列与第4列之间的交互

作用列是第5歹U；第2列与第4列之间的交互作用列是第6歹U；等等。

于是，就可把试验因素以及所要考察的交互作用安排在正交表的相应

列上，进行表头设计。

对本例，可将因素A和B分别排在第1、2列上，则AXB必须排

在第3列上；再将C排在第4列上，而AXC必须排在第5列上，而

BXC必须排在第6列上，第7列为空列。表头设计见表7-13。

表7-13表头设计

因素ABAXBCAXCBXC

列号1234567

表头设计的一个重要原则是避免混杂。所谓混杂，是指在正交表

的同一列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用。这样，就无

法区分同一列中的这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。

为了避免混杂，在表头设计中应优先安排主要因素和涉及交互作

用的因素，而不涉及交互作用的因素应放在后面安排。

又如，某试验要用晨（27）正交表考察A、B、C、D四个因素和交

互作用BXC与CXDo则在表头设计时应优先安排涉及交互作用的因

素B、C、D,因为A不涉及交互作用，所以可以放在后面安排。将B

和C分别排在第1、2歹U，则由交互作用表可知，BXC只能排在第3

列；冉在第4列排上D,则CXD只能排在第6歹I」；现在还剩下第5、

7列供排因素A,因为第5列反映的是BXD（这里不考虑），所以将A

排在第7歹人这样安排可避免因素的混杂。表头设计结果如表7-12

所示。

表7T2表头设计

因素BCBXCDCXDA

列号1234567

（5）编制试验方案

表头设计完成后，将正交表安排有因素各列的水平数字，加注

相应因素的具体水平值，即构成试验方案。（应该指出的是，交互作

用不是具体的因素，而只是因素间的联合搭配作用，故无所谓水平问

题。）安排交互作用的各列对试验方案及试验的具体实施不产生任何

影响，但在计算和分析试验结果时要用到它。

本例试验方案见表7T4（pl53）.

表774试验方案及结果分析

试ABAXBCAXCBXC

吸光度

验

1234567Xi

号

11(300)1(1800)11(8)1110.242

21112(10)2220.224

312(2400)211220.266

412222110.258

52(700)1212120.236

621221210.240

722112210.279

822121120.276

K,0.990.9421.0