上海复旦大学附属复兴中学2025-2026学年第二学期高三年级数学摸底考试题（含答案）

复兴中学2025-2026学年第二学期高三年级数学摸底考2026.3一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.设全集U={x∣x>−2.抛物线y2=3.双曲线y244.数列an中，a1=1，an5.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是_____.6.设t∈R,若1+tx1−x6的展开式中7.设a,b>0,a8.已知两个随机事件A,B,若PA=19.植物社团的同学观察一株植物的生长情况,为了解植物高度y(单位:厘米)与生长期x(单位:天)之间的关系,随机统计了某4天的植物高度,并制作了如下对照表:生长期x391117植物高度y2.43.43.85.2由表中数据可得经验回归方程y=ax+b中10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为C1D1,BC的中点,点P在正方体表面上运动，且D11.雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小.为了简化问题小明做出下列假设:假设1:小明把人假设为身高、肩宽分别为170 cm,40 cm假设2:受风的影响,雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为60∘假设3:伞柄OT长为60 cm,可绕矩形“纸片人”上点O假设4:伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB,如图,在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时,求其“裤脚”被淋湿(阴影)部分的面积_____(结果精确到0.1cm212.已知数列an的前n项和为Sn,a1=0,且满足二、选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)13.(a>bA.lna−C.12a14.已知ω∈R,函数fx=x−62⋅sinωx,存在常数a∈RA.π2B.π3C.π15.设n为正整数,空间中n个单位向量构成集合An=a1,a2,⋯,an,若存在实数t,满足对任意ai∈An,A.−12B.12C.16.已知函数fx的定义域为−2025π,2025π,对定义域内任意的x0,fx0的取值为x0或tanx0.有如下两个命题:①若有且仅有2025个实数a使得关于x的方程fx=aa∈R只有1个解,则函数fx至少存在2025个严格减区间;A.①正确；②正确B.①正确；②错误C.①错误；②正确D.①错误；②错误三、解答题(本大题共有78分，第17~19题每题14分，第20、21题每题18分)17.某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的实际净含量ξ(单位:g)服从正态分布N500(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率(精确到0.001)；(2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为X.求X的分布和期望(精确到0.001).参考数据:Φ1≈0.8413,Φ2≈18.已知函数fx=(1)当m=1时，求函数y=fx(2)若函数y=fx在区间1,e上有最小值-2,求实数19.如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=π2,D为AC中点,E,F分别为BA,BC边上的动点,且EF//AC,将三角形BEF沿EF折起,使点B折至点P(1)求证:AC⊥平面PCF(2)若点F为BC中点，求异面直线PD与CF所成的角的大小；(3)试判断直线PE与平面PAC所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在,请说明理由.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为(1)求椭圆C的方程；(2)设A−a,0，B0,b，三角形PF1F2的面积为S1，三角形PAB的面积为(3)设直线PF1与C交于另外一点R，直线PF2与C交于另外一点S，T为直线OP上一点，问是否存在实数λ满足OT=λOP,使得OR⋅21.若函数y=fx,x∈D满足:对于任意x1、x2∈D(1)分别判断fx=x2(2)已知定义域为R的函数y=fx具有“2级”性质,求证:对于任意的a,(3)已知定义域为R的函数y=fx具有“3级”性质，求证:函数1.{全集U={xx>−1}, M={x2.4由题意抛物线的标准方程为y2=16x,所以其焦点坐标为4,03.y根据双曲线的渐近线公式得到y=±abx,4.2a1=1,an=2an+故答案为:2.5.1依题意可得,圆柱的高为1,底面周长为1,则底面半径为12π所以圆柱体积为1×故答案为:14π6.2x3项为1由−20故答案为:27.4由a,b>0≥12⋅2ab⋅4ab+2所以b+2a故答案为:48.7由题意PB所以PB所以PA故答案为:7159.7.7由题意可得x=所以b=所以经验回归方程为y=所以预测生长期是30天时,植物高度约为0.2×30故答案为:7.7.10.3如图,分别取A1D1,A连接EF,则MH//A1B,又MH⊄平面A所以MH//平面A同理MH//平面A1BC1,又MH所以平面EFGNHM//平面A在正方体中,易知B1D⊥平面所以B1D⊥平面又点P在正方体表面上运动,故P点的轨迹为正六边形EFGNHM,因为正方体ABCD−A1B1C1D所以A1故正六边形EFGNHM的面积为6×故答案为:3311.65.7c如图所示,过A作对边的垂线,垂足为点C,过点D作对边的垂线,垂足为点E,连接OA,由题意AB=120，OT因为T为AB得中点,所以AT=BT=60，又OT=60，所以OA=OB=602由正弦定理得OHsin∠HAO=OAsin∠AHO又∠HAO<π2，所以cos∠BAC所以DE=AC所以DF=所以阴影部分面积为12故答案为:65.712.14已知an=an−1+1,两边同时平方可得当n≥2aa...a将以上n−1a因为Sn−1=a1+a2当n=26时,又因为S26=S25+aaa由求根公式可得a26因为a26为实数,所以2S26+26分析S26因为an2=2Sn−1+n又因为a1=0,所以当a2=1时，a3=±2；当以此类推,an而S26的取值取决于a1通过分析可知,S26的取值为0,1,故答案为:14.13.C对于选项A,由lna−b>0,得到a−b>1>0,即a>对于选项B,由2a>2b,得到a>b,所以2a>2b对于选项C,由12a−b≤1,得到a−b≥0,即但a>b可以得出12a−b对于选项D,由a3>b3又a+12b2+34b2则a−b>0又当a>b,有a3>b3,所以a3>故选:C.14.C由函数fx=x−62⋅sinωx,存在常数a∈R由于函数为偶函数，故a=所以6ω=当k=1时,故选:C.15.C令集合An=a1,a2,⋯,a由向量aii∈N∗,i≤n为单位向量,则点由ai∈An,a由t=a1⋅a2=a2由t=a4⋅a2=a2⋅于是点A1,A2,A3,A4不共面,点若n≥5,不妨取n=5,同理得OA又OA5⊥A2A3,由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线,得点与点A1,A2,A3,A4不共面矛盾,因此则正△A1A2A3的外接圆半径为32m⋅23=33m,正四面体的高为m2−33m2故选:C16.B由函数fx的定义域为−2025π,2025π,对定义域内任意的x0,fx0①若有且仅有2025个实数a使得关于x的方程fx=aa由当x=−π2+kπk∈Z即对所有的x0=−π2+由题意有且仅有2025个实数a使得关于x的方程fx=aa说明当x<0，且x≠−π2+从而在区间−2025π,0内包含函数fx=tan从而在区间−2025π,2025π内至少存在2025②由y=x与y=tanx在由定义域内任意的x0,fx0的取值为x对任意满足条件的函数fx,方程fx只要实数a取上述交点纵坐标,则不论fx0取值为x0或方程fx=故a存在4050个可能的取值,命题②为错误.17.(1)由题意,ξ∼N500,2.5令Y=ξ−5002.5因此,P=2故净含量误差超过5g的概率约为(2)X可能的取值为0、由(1)可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为Φ故X服从二项分布B3,0.1587,记PP从而X的分布为X0123P0.5950.3370.0640.004因此EX18.1(2)m(1)当m=1时,fx=x所以f′e=1−所以函数y=fx在x=e处的切线方程为y−(2)f′易得当m≤0时,f′x<0所以fx当m>0时,令若1m≤1,则fx在所以fxmin若1m≥e,即0<m≤1e,则所以fxmin若1<1m<e,即1e<m<1,则fxfxmin综上m=−19.(1)证明见解析(2)arccos(3)存在，π4(1)由AC⊥BC,EF//AC,得因此AC⊥FC,AC⊥PF,而所以AC⊥平面PCF(2)连接DE，由点F为BC中点，EF//AC，得E是AB的中点，而D为AC中点，则DE//CF,DE=CF，∠PDE由(1)得∠PFC是二面角P−EF−C的平面角，∠PFC则△PCF是正三角形，CD=PC=a，由(1)得AC⊥而DE=a,PE=BE=2a,在等腰△所以异面直线PD与CF所成的角的大小为arccos2(3)作FG⊥PC于点G，由AC⊥平面PCF，GF⊂平面PCF，得而AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC又EF//AC,EF⊄平面PAC,AC⊂平面PAC点E到平面PAC距离等于点F到平面PAC距离FG,设BC=1,BF=x,直线PE与平面则CF=而PE=2BF=2x,因此则3x2−3x+1因此1−x3x2−3x+1所以直线PE与平面PAC所成的角的大小存在最大值,最大值为π420.(1)x(2)4(3)存在,λ=1110,定值为(1)由椭圆C的短轴长为2可得,b=由离心率为22可得,c又b2=a2−椭圆C的方程为x2(2)由(1)可知，A−2,0，所以直线AB的方程为x−2+y=设Px0,y0,则x0S点Px0,y0到直线ABS因为S2=2S1联立①②，且0<x0<2故点P的坐标为42(3)设Px0,y0，Rx1,y直线F1P的方程为由x22+y2有x0x1=−所以R−当x0≠1时,直线F2P由x22+y2所以x0x2=−