苏汝铿量子力学讲义-波函数和Schroinger方程

第二章波函数和Schroinger方程质子在钯中波函数http://www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.shtml第1页薛定谔

ERWINSCHRODINGER

(1887-1961)第2页§2.1

波函数统计解释波粒二象性矛盾和解释

1.波和粒子关系波由粒子组成,波是大量粒子运动表现与降低入射粒子流密度,让粒子近似地一个个从粒子源射出后仍有波动性试验不符粒子由波组成,粒子=波包第3页§2.1

波函数统计解释反例:i)自由粒子

平面波,占据整个空间

ii)色散

群速度:

相速度:

必有色散->粒子解体第4页§2.1

波函数统计解释粒子性颗粒性(V)轨道(X)波动性物理量周期分布(VandX)将”粒子分布”视为物理量叠加性->干涉,衍射(V)第5页§2.1

波函数统计解释波函数统计解释

时间为t时刻,粒子出在位置r几率第6页§2.1

波函数统计解释波函数讨论平方可积除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续不确定性:

i)表示同一个态->归一化

ii)相角不确定性(常数相角)经典,态确定性量子:几率性=>可用以计算平均值第7页§2.1

波函数统计解释波函数讨论平面波多粒子体系推广第8页§2.1

波函数统计解释动量几率分布函数=>Fourier变换

频谱展开第9页§2.1

波函数统计解释可描写体系状态,也可描写体系状态是同一个态,不一样自变量第10页§2.1

波函数统计解释代表在态中,出现单色平面波几率第11页§2.1

波函数统计解释处于粒子,动量无确定值相当于晶体衍射如若则第12页§2.1

波函数统计解释坐标表象和动量表象第13页§2.2

态叠加原理波叠加经典合成波中有各种成份相干性量子相干性新特点第14页§2.2

态叠加原理新特点可能性和概率干涉项概率性是粒子运动状态概率波本身干涉,不是不一样粒子之间干涉第15页§2.2

态叠加原理波叠加原理表述

a)假如是可能态

则也是一个可能态

b)在中,体系出现几率是第16页§2.2

态叠加原理讨论

a)

b)光子偏整态:Malus定律第17页§2.2

态叠加原理讨论但任何时候观察到都是一整个光子,而不是个光子

=>概率相干第18页§2.2

态叠加原理讨论

c)线性叠加d)叠加次序并不主要第19页§2.3

薛定谔方程经典力学

牛顿方程特点:线性方程二阶全微分方程,只有一个独立变量t唯一性方程系数不含状态参数,有普适性第20页§2.3

薛定谔方程量子力学

要求:线性方程(态叠加原理直接要求)系数也不含状态参数t与x,y,z均为变量=>只能是偏微分方程解唯一性=>两阶正规方程第21页§2.3

薛定谔方程量子力学

进入方程式,表达微观世界特点(量子化)->0,过渡到牛顿方程第22页§2.3

薛定谔方程建立方程启示

自由粒子已知解=>方程式(不唯一)第23页§2.3

薛定谔方程已知解=>方程式(不唯一)第24页§2.3

薛定谔方程普通情况:第25页§2.3

薛定谔方程说明:

a)波动力学基本假定,表征量子体系特征量h进入了方程式,薛定谔方程在量子力学中地位与牛顿方程在经典力学中地位相当

b)算符形式第26页§2.3

薛定谔方程力学量用算符表示两个通例1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变例:二维极坐标下薛定谔方程第27页§2.3

薛定谔方程两个通例2)将H分成三部分:i)与坐标无关动量二次式

ii)只依赖于坐标函数

iii)第28页§2.3

薛定谔方程因为有波函数统计解释,所以概率流守恒定律自动包含在薛定谔方程中第29页§2.3

薛定谔方程第30页§2.3

薛定谔方程为何而与t无关?第31页§2.3

薛定谔方程定态U=U(r),不显含t

第32页§2.3

薛定谔方程=>几率流密度变不变?第33页§2.3

薛定谔方程本征值方程第34页§2.3

薛定谔方程边界条件讨论:U连续,波函数及其一阶导数连续U不连续,波函数及其一阶导数连续U趋向无穷大(一阶)波函数连续,一阶导数不连续U趋向无穷大(二阶及以上)波函数不连续,一阶导数亦不连续第35页§2.4

一维方势阱一维无限深势阱第36页§2.4

一维方势阱一维无限深势阱第37页§2.4

一维方势阱一维无限深势阱第38页§2.4

一维方势阱一维无限深势阱第39页一维方势阱波函数图象第40页一维方势阱波函数图象第41页§2.4

一维方势阱思索题:将势能为零区间放大或者缩小一倍(分是足够迟缓变还是突变两种情况)时,波函数和能级怎么变?将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?第42页§2.4

一维方势阱一维方势阱第43页§2.4

一维方势阱一维方势阱第44页§2.4

一维方势阱一维方势阱第45页§2.4

一维方势阱a)偶宇称波函数为cos(kx)关键:用在连续以代替波函数以及导数连续.好处于于去掉波函数中常数影响第46页§2.4

一维方势阱结论:不论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)第47页一维方势阱偶宇称能谱图第48页§2.4

一维方势阱b)奇宇称波函数为sin(kx)结论:当时才有解(见下一页图)第49页一维方势阱奇宇称能谱图第50页§2.4

一维方势阱c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱特例第51页含有不一样深度

不过宽度相同方势阱(1)第52页含有不一样深度

不过宽度相同方势阱(2)第53页含有相同深度

不过宽度不一样方势阱(1)第54页含有相同深度

不过宽度不一样方势阱(2)第55页§2.4

一维方势阱思索题:半壁无限势阱时解怎样?第56页§2.5

一维谐振子Motivation:物理上:势场在平衡位置附近展开U(x)~k(x-x0)^2任何连续谐振子体系

无穷多个谐振子集合辐射场

简谐波叠加原子核表面振动,理想固体(无穷个振子)真正能够严格求解物理势(不是间断势)描述全同粒子体系

产生,湮灭算符第57页§2.5

一维谐振子Motivation:数学上:学会一套规范化求解薛定谔方程方案经过数学,看物理第58页§2.5

一维谐振子第59页§2.5

一维谐振子求解1DSchrodingerEqwithharmonicoscillator无量纲化优点单位在物理学上并不主要,主要是一些无量纲数可使方程系数变得最简单第60页§2.5

一维谐振子第61页§2.5

一维谐振子“抓两头,带中间”抓两头:看方程在两边边界上渐进行为(三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点)带中间:使函数在两头有与渐近行为相同形式第62页§2.5

一维谐振子使之变成关于H方程式第63页§2.5

一维谐振子求级数解,找递推关系看解在无穷远处渐近行为,”斩断魔爪”,无限求和截断为有限多项式,从而得到能谱及解求出波函数=>归一化第64页第65页第66页第67页第68页第69页§2.5

一维谐振子厄米多项式讨论别名母系(母函数)仇家(正交性)第70页§2.5

一维谐振子厄米多项式讨论弟兄姊妹(递推关系)对称性节点第71页§2.5

一维谐振子最低阶几个厄米多项式及谐振子波函数第72页§2.5

一维谐振子产生湮灭算符第73页第74页第75页§2.5

一维谐振子思索题:半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)第76页§2.5

一维谐振子思索题:对称性动量表象第77页§2.5

一维谐振子思索题:n维谐振子体系

等间距能级n个粒子

元激发(elementaryexitation)集合

产生湮灭算符第78页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质一维非奇性势薛定谔方程束缚态无简并第79页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质第80页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质一维束缚态波函数可取为实数第81页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质一维束缚态本征函数图象(图见后)第82页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质一维束缚态本征函数图象第83页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质一维束缚态本征函数图象第84页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例第85页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质能量本征谱性质振荡解,连续谱,二度简并,散射态指数衰减解振荡解本征谱连续,无简并,非束缚态解第86页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无简并第87页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质节点数:

基态无节点,第n个激发态有n个节点对称性:若U(x)=U(-x)则波函数可含有确定宇称正交归一性第88页§2.6

一维薛定谔方程普遍性质上述结论均可用性质证实一维薛定谔方程全部性质都与其对应Wronskian行列式相关第89页§2.7

势垒贯通经典图象:眼前无路好回头量子图象:眼前无路穿着走势阱有没有穿透?什么条件下全透射无反射?势垒高度和宽度影响?第90页§2.7

势垒贯通第91页§2.7

势垒贯通第92页§2.7

势垒贯通第93页§2.7

势垒贯通第94页§2.7

势垒贯通第95页§2.7

势垒贯通第96页§2.7

势垒贯通在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高位垒第97页§2.7

势垒贯通假如讨论是势阱而不是势垒,那么只需要作代换第98页§2.7

势垒贯通共振透射条件和共振能量第99页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)辏力普遍性质若U(r)处处有界=>波函数处处有界若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场极小值能量算符本征值比大于势场极小值若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零能谱必定是分立谱,对应束缚态第100页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)普遍性质Landaufall第101页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)Landaufalls<2:r趋于零,斥力为主;r趋于无穷,吸引力为主

束缚态s>2:r趋于零,吸引力为主;r趋于无穷,斥力为主Landaufalls=2:决定于c和\alpha数值\alpha_critical=\bar{h}^2/8m第102页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)角度部分解第103页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)第104页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)第105页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)第106页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)第107页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)勒让德多项式性质别名第108页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)母系弟兄姊妹第109页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)仇家对称性第110页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)几个最低阶勒让德多项式以下第111页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)第112页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)第113页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)总而言之,球对称场中薛定谔方程角度部分解第114页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)最低几个球谐函数是第115页§2.8

三维薛定谔方程(辏力场情况)最低几个球谐函数是第116页§2.9

氢原子第117页§2.9

氢原子库仑场中径向方程第118页§2.9

氢原子

第119页§2.9

氢原子

第120页§2.9

氢原子

第121页§2.9

氢原子作代换得到令第122页§2.9

氢原子第123页§2.9

氢原子为切断无穷级数,取由得到第124页§2.9

氢原子第125页§2.9

氢原子由此,氢原子镜像波函数是第126页最低阶几个径向波函数第127页§2.9

氢原子