2026年高一函数入门指导

一、前言演讲人2026年

目录01.前言07.作业03.新知讲授05.互动02.教学目标04.练习06.小结08.致谢

2026年高一函数入门指导站在讲台上，望着台下45张青涩的面孔，我总能想起自己第一次接触“函数”时的迷茫——课本上那句“在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”，像团棉花堵在喉咙里，既知道重要，又说不出具体分量。如今带了八届高一，我愈发明白：函数不是突然砸向学生的“新知识”，而是他们从初中“变量关系”到高中“数学建模”的关键跳板。这节课，我要带着孩子们跨过这块跳板，让抽象的“对应关系”变得可触可感。01ONE前言

前言初中三年，我们学过一次函数、二次函数、反比例函数，画过图像，算过增减性，可很多同学到了高一还在问：“函数到底是什么？为什么初中讲‘变量’，高中又讲‘集合’？”其实，这是数学从“描述现象”到“定义本质”的升级。初中的函数像“观察日记”——记录x和y如何一起变化；高中的函数则是“实验室报告”——用集合和对应关系给这种变化下精准定义。去年带的学生小周，开学时总说“函数太抽象，不如解方程实在”。直到他用函数模型分析小区快递柜的使用规律：把时间设为x，同时使用的人数设为y，发现下午5点到7点y随x增长最快，这才感叹：“原来函数是用来‘翻译’生活的！”今天这节课，我们就从“翻译”开始，让函数从课本里走出来，成为你们认识世界的工具。02ONE教学目标

教学目标基于新课标“发展数学抽象、逻辑推理、数学建模”的核心素养要求，结合高一学生的认知特点，本节课的目标分三层：知识目标：理解函数的近代定义（集合与对应关系），掌握函数的三要素（定义域、值域、对应关系），能区分函数与非函数关系；学会用解析式、图像、列表三种方法表示函数，尤其能分析分段函数的实际意义。能力目标：通过对比初中与高中函数定义，提升数学抽象能力；通过分析生活案例（如气温变化、出租车计费），培养从实际问题中抽象函数模型的能力；通过小组讨论“不同表示方法的优缺点”，发展逻辑表达与合作能力。情感目标：消除对“抽象概念”的畏难情绪，体会函数“用简单规则描述复杂变化”的数学之美；感受函数在解决实际问题中的工具价值，激发“用数学解释生活”的兴趣。03ONE新知讲授

从“变量说”到“对应说”：函数定义的升级我在黑板上写下两行字：初中定义（变量说）：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。高中定义（对应说）：设A、B是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。“大家找一找，这两个定义有什么不同？”靠窗的小雨举手：“初中说‘变化过程’，高中说‘集合A、B’。”“还有！”后排的小阳补充：“初中没说集合，高中明确了A、B是非空实数集。”

从“变量说”到“对应说”：函数定义的升级我点头：“没错。初中的‘变量说’更直观，适合刚接触函数时理解‘x变y跟着变’；但它的问题是依赖‘变化过程’这个场景，比如y=√x，x不变化时，难道就不是函数了？高中的‘对应说’用集合和对应关系给函数下了更普适的定义——不管有没有实际的‘变化过程’，只要满足‘A中任意x，B中有唯一y对应’，就是函数。”为了让抽象的定义落地，我展示了三个例子：例1：某天气温记录（时间x：0:00,2:00,…,24:00；气温y：18℃,16℃,…,20℃）例2：y=±√x（x≥0）例3：f(x)=x²（x∈R）

从“变量说”到“对应说”：函数定义的升级“例1是函数吗？”“是！”“为什么？”“每个时间点对应唯一气温。”“例2呢？”“不是！因为x=4时，y=2或-2，不唯一。”“例3呢？”“是，每个x对应唯一x²。”通过这三个例子，学生逐渐抓住了“唯一性”这个核心——函数的本质是“一对一”或“多对一”的对应，不能“一对多”。

函数的三要素：定义域、值域、对应关系“现在请大家思考：如果两个函数的定义域和对应关系相同，值域一定相同吗？”沉默几秒后，数学课代表小晴举手：“应该相同，因为对应关系确定了，定义域确定了，值域就是所有f(x)的集合，所以肯定一样。”“反过来，如果值域相同，定义域和对应关系可以不同吗？”我继续追问。小哲举例：“f(x)=x²（x∈{1,2}），值域{1,4}；g(x)=|x|（x∈{-1,-2}），值域也是{1,4}，但定义域和对应关系都不一样。”这说明，定义域和对应关系是函数的“身份证”——只要这两个要素相同，就是同一个函数；值域是“结果”，由前两者决定。

函数的表示方法：解析式、图像、列表“接下来，我们用三种方法表示同一个函数。”我投影出问题：某城市出租车计费规则为起步价10元（3公里内），超过3公里后每公里2元（不足1公里按1公里计）。解析式法：需要分段表示。设路程为x公里，费用为y元，则y={10,0<x≤3；10+2⌈x-3⌉,x>3}（⌈⌉表示向上取整）“这里为什么用向上取整？”小宇问。“因为不足1公里按1公里计，比如3.2公里算4公里，所以x-3=0.2，向上取整是1，费用10+2×1=12元。”列表法：列出x=2,3,3.1,4,5时的y值。学生很快算出：2→10，3→10，3.1→12，4→12，5→14。

函数的表示方法：解析式、图像、列表图像法：在黑板上画出分段函数图像——0到3公里是水平线y=10，3公里后每1公里跳2元，形成阶梯状图像。“三种方法各有什么优缺点？”小组讨论后，第一组总结：“解析式最严谨，能精确计算任意x对应的y，但复杂情况需要分段；列表法直观，适合有限个x值，但无法表示所有情况；图像法一目了然，能看出增减趋势，但读数可能有误差。”04ONE练习

练习为了巩固新知，我设计了分层练习：基础题（全体完成）：判断下列对应是否为函数：A={1,2,3},B={4,5},f(1)=4,f(2)=5,f(3)=4（是）A=R,B=R,f(x)=±x（否）已知f(x)=√(x-1)，求定义域（x≥1）提升题（选做）：某奶茶店第二杯半价活动：第一杯18元，第二杯9元，第三杯及以后每杯15元。用三种方法表示购买数量x与总价y的函数关系。

练习巡视时，我看到小周在提升题里用列表法列出了x=1→18，x=2→27，x=3→42，x=4→57，还尝试用解析式写分段函数：y={18x,x=1；18+9(x-1),x≥2}。我提醒他：“第三杯及以后是15元，所以x≥3时，第二杯是9元，第三杯开始每杯15元，应该分段为x=1，x=2，x≥3。”小周挠头笑：“原来活动规则要仔细看，分段点不能错！”05ONE互动

互动“刚才练习中，很多同学对分段函数的分段点有疑问，我们来玩个‘找错游戏’。”我展示了学生常犯的两个错误：错误1：出租车计费函数写成y=10+2(x-3)（x>3）。“错在哪里？”小晴立刻举手：“没考虑不足1公里按1公里计，x=3.1时，x-3=0.1，直接乘2会算成10.2元，但实际要按1公里算，应该用向上取整。”错误2：奶茶总价函数写成y=18+9(x-1)（x≥2）。小哲补充：“x=3时，按这个式子是18+9×2=36元，但实际第三杯是15元，总价应该是18+9+15=42元，所以x≥3时，第二杯是9元，第三杯开始每杯15元，应该分段为x=1，x=2，x≥3。”

互动通过纠错，学生更深刻理解了：分段函数的分段点由实际问题的规则决定，必须严格对应“条件变化”的临界点。接着，我请学生自己举生活中的函数例子。小敏说：“手机流量套餐，30元包10GB，超出后每GB5元，这是分段函数。”小涛说：“电梯楼层显示，按下楼层按钮（x），电梯到达该楼层（y），是函数，因为每个x对应唯一y。”课堂气氛活跃起来，连平时沉默的小佳都小声说：“我家水电费也是分段计费，应该能用函数表示。”06ONE小结

小结“现在，我们一起梳理今天的重点。”我在黑板上画了个思维导图：核心概念：函数是“非空实数集A到B的对应关系f，满足A中任意x对应B中唯一f(x)”。关键要素：定义域（A）、对应关系（f）、值域（{f(x)|x∈A}），其中定义域和对应关系决定函数。表示方法：解析式（严谨）、列表（直观）、图像（趋势），分段函数需注意分段点的实际意义。“最后，我想和大家分享一个观点：函数不是数学里的‘特殊符号’，而是我们给‘变化规律’起的名字。以后你们会用函数描述股票涨跌、人口增长、行星运动——所有‘一个量随另一个量变化’的现象，都能装进函数的框架里。今天的入门，就是在为未来的‘数学建模’打地基。”07ONE作业

作业为了兼顾巩固与拓展，作业分两部分：必做题：课本P15习题1.2第1、3、5题（巩固函数定义与三要素）；用三种方法表示“某停车场收费规则：前2小时10元，超过2小时后每小时5元（不足1小时按1小时计）”的函数关系（强化分段函数应用）。选做题：调查家庭一个月的用电量（x，单位：度）与电费（y，单位：元），根据当地阶梯电价政策，建立y关于x的函数模型，并绘制图像（联系实际，提升建模能力）。08ONE致谢

致谢下课时，小周跑过来递纸条：“老师，今天终于明白函数不是‘突然冒出来的怪物’，而是帮我整理