八年级数学北师版下册教案 第6章 平行四边形 06 课题 多边形的内角和与外角和

PAGE1PAGE2八年级数学北师版下册教案第6章平行四边形06课题多边形的内角和与外角和课题八年级数学北师版下册教案第6章平行四边形06课题多边形的内角和与外角和设计意图一、设计意图本节课基于八年级学生已掌握的三角形内角和知识，通过“分割多边形为三角形”的转化思想，引导学生从具体四边形、五边形入手，自主探究多边形内角和公式，培养归纳推理能力。结合课本探究活动，让学生动手操作、合作交流，经历“猜想—验证—应用”过程，体会数学转化思想，提升解决实际问题的能力，符合学生从具体到抽象的认知规律。核心素养目标二、核心素养目标通过探究多边形内角和公式的推导过程，发展逻辑推理能力，体会转化思想；运用公式解决计算问题，提升数学运算水平；从具体多边形抽象出一般结论，培养数学抽象意识；结合图形分割与实际应用，增强直观想象与数学建模能力，体会数学的严谨性与实用性。教学难点与重点三、教学难点与重点1.教学重点：多边形内角和公式（n-2）×180°的推导与应用。例如，通过四边形分割成2个三角形（内角和360°）、五边形分割成3个三角形（内角和540°），引导学生归纳出n边形内角和与边数的关系，并运用公式解决如“求十边形内角和”等计算问题，这是本节课的核心知识，需重点强调分割法的逻辑过程。2.教学难点：理解“n-2”的由来及多边形外角和恒定360°的本质。例如，学生易混淆“从n边形一个顶点出发可画n-3条对角线，形成n-2个三角形”，需结合图形演示（如六边形分割成4个三角形）突破；外角和恒定360°，学生易受内角和影响，需通过“多边形每个顶点处取一个外角，绕点旋转一周”的直观操作，让学生体会外角和与边数无关的规律。教学方法与手段四、教学方法与手段教学方法：1.讲授法：结合三角形内角和知识，系统推导多边形内角和公式，明确“n-2”的数学逻辑。2.讨论法：分组探究四边形、五边形分割方法，归纳多边形内角和与边数的关系。3.实验法：用纸板制作多边形，动手测量内角和，验证公式结论。教学手段：1.多媒体动画：动态演示多边形分割过程，直观展示“从一顶点引对角线形成n-2个三角形”。2.几何画板：动态演示外角旋转一周，理解外角和恒定360°的本质。3.实物模型：展示五边形、六边形纸板，引导学生观察边数变化对内角和的影响，突破抽象难点。教学过程五、教学过程1.导入（约5分钟）激发兴趣：展示校园中五边形花坛、六边形地砖的图片，提问“如何计算这些多边形内角的总和？为什么不同边数的多边形内角和不同？”引发学生思考。回顾旧知：回顾三角形内角和180°，四边形（包括平行四边形）内角和360°，提问“四边形内角和360°是如何通过三角形推导的？”引导学生回忆“分割法”思想。2.新课呈现（约25分钟）讲解新知：（1）多边形内角和公式推导：以四边形为例，从一个顶点出发引对角线，分割成2个三角形，内角和2×180°=360°；五边形分割成3个三角形，内角和3×180°=540°；六边形分割成4个三角形，内角和4×180°=720°。引导学生观察边数n与分割三角形数的关系，得出n边形内角和=(n-2)×180°。（2）多边形外角和概念：定义多边形外角（每个顶点处的一个外角），通过三角形、四边形外角和的计算（三角形外角和360°，四边形外角和360°），猜想“任意多边形外角和都是360°”。举例说明：（1）例1：求七边形内角和；(7-2)×180°=900°。（2）例2：正六边形每个内角；(6-2)×180°÷6=120°。（3）例3：多边形内角和是1080°，求边数；(n-2)×180°=1080°，解得n=8。互动探究：（1）分组活动：每组领取一个五边形、六边形或七边形纸片，动手从一个顶点引对角线，分割成三角形，记录分割的三角形个数，计算内角和，填写表格（边数、分割三角形数、内角和），小组汇报，归纳规律。（2）外角和探究：用几何画板演示“多边形每个顶点取一个外角，绕点旋转一周，恰好组成一个周角”，直观理解外角和360°与边数无关。3.巩固练习（约15分钟）学生活动：（1）基础练习：计算五边形、八边形、十边形的内角和与外角和；已知多边形内角和是1440°，求边数；正十二边形每个内角的度数。（2）提升练习：一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数和每个内角的度数。（3）实际应用：一块五边形零件，已知其中三个内角分别是100°、120°、90°，求另外两个内角的和。教师指导：（1）巡视学生练习，重点关注“n-2”的代入是否正确，外角和是否误用公式；（2）对基础薄弱学生，提示“先画图分割，再找三角形个数”；（3）对提升练习，引导学生设边数为n，根据内角和与外角和的关系列方程：(n-2)×180°=2×360°，解得n=6，再计算每个内角；(4)实际应用题，提醒“五边形内角和540°，减去已知三个角，剩余就是另外两个角的和”。4.课堂小结（约5分钟）引导学生总结本节课知识点：多边形内角和公式(n-2)×180°，外角和恒为360°；推导方法（分割法、旋转法）；应用类型（求内角和、求边数、求内角度数）。5.作业布置（1）课本习题6.3第1、2题（计算多边形内角和与外角和）；（2）探究题：用不同方法分割六边形（从一个顶点分割、从内部一点分割），计算内角和，验证公式；（3）实践题：测量一个不规则多边形（如家里的桌面形状）的内角和，与公式计算结果对比。学生学习效果六、学生学习效果通过本节课的学习，学生在知识掌握、能力提升、思维发展和应用意识等方面取得显著效果，具体表现如下：

在知识掌握层面，学生能准确理解并记忆多边形内角和公式（n-2）×180°及外角和恒为360°的核心结论。通过课堂探究活动，学生能清晰阐述公式的推导过程，例如“从n边形一个顶点出发引对角线，可分割成n-2个三角形，每个三角形内角和180°，因此n边形内角和为（n-2）×180°”，并能区分内角和与外角和的计算逻辑。在基础练习中，学生能独立完成五边形内角和（540°）、八边形每个内角度数（135°）等计算，已知内角和求边数时（如内角和1440°，解得n=10）正确率达90%以上，体现了对公式的灵活运用。

在能力提升层面，学生的逻辑推理能力得到强化。通过分组探究多边形分割方法，学生能从四边形、五边形的具体案例中归纳出“边数n与分割三角形数n-2”的规律，并推广到一般多边形，实现了从特殊到抽象的思维跨越。数学运算能力显著提升，解决“正十二边形每个内角”问题时，能正确列出（12-2）×180°÷12=150°的算式；在解决“多边形内角和是外角和的2倍，求边数”的综合题时，能通过列方程（n-2）×180°=2×360°解得n=6，运算步骤规范且准确。空间想象能力通过几何画板演示得到发展，学生能结合“外角旋转一周形成周角”的动态过程，理解外角和与边数无关的本质，突破了“外角和随边数变化”的认知误区。

在思维发展层面，学生的转化思想和归纳推理能力得到深化。探究活动中，学生通过动手分割多边形纸片，将“求多边形内角和”转化为“求多个三角形内角和的和”，体会了化归思想的应用；在对比不同分割方法（从一个顶点分割与从内部一点分割）时，学生能发现“无论分割方式如何，内角和均为（n-2）×180°”，进一步巩固了对数学结论严谨性的认识。课堂小结中，学生能自主梳理“公式推导—计算应用—实际联系”的知识脉络，体现了结构化思维的构建。

在应用意识层面，学生能将数学知识联系实际生活，解决简单实际问题。例如，在“五边形零件角度计算”问题中，学生能利用内角和540°，已知三个角（100°、120°、90°）求出另外两角和为230°；在实践作业中，学生测量家中不规则多边形（如桌面、地砖）的内角和，与公式计算结果对比，分析误差原因（如测量工具精度、图形不规则性），体会到数学在生活中的实用价值。部分学有余力的学生还探究了“凹多边形内角和”的规律，尝试用分割法推导，展现了主动拓展知识的意识。课后作业七、课后作业1.计算十边形的内角和。答案：(10-2)×180°=1440°。2.一个多边形的内角和是900°，求它的边数。答案：(n-2)×180°=900°，解得n=7。3.求正五边形每个内角的度数。答案：(5-2)×180°÷5=108°。4.一个多边形的每个外角都是60°，求它的边数。答案：360°÷60°=6。5.一个六边形中，三个内角都是120°，另外三个内角的和是多少？答案：(6-2)×180°-3×120°=360°。课堂八、课堂评价1.课堂评价：通过提问“多边形内角和公式推导的关键步骤是什么？”观察学生是否能准确表述“从一顶点引对角线分割成n-2个三角形”；观察分组探究活动中学生分割五边形、六边形纸片的操作规范性，记录分割三角形个数与内角和的计算准确性；设计3分钟小测，完成“求八边形内角和”“已知内角和1080°求边数”两题，统计正确率，对“n-2”代入错误的学生及时引导回顾推导过程。2.作业评价：批改课后作业时，重点检查公式应用是否正确，如“十边形内角和”计算中是否误用(n-2)×360°；“正五边形每个内角”是否忘记除以边数；对“多边形外角都是60°求边数”题，标注“360°÷60°=6”的解题思路；点评时圈出典型错误，如“内角和900°求边数时，方程列错为n×180°-2=900”，并在课堂统一纠正；对作业全对的学生写“公式掌握扎实，继续保持”，对薄弱学生标注“多练习分割法，加深对n-2的理解”，鼓励学生针对错误订正并重做类似题型。教学反思九、教学反思

这节课下来，学生对多边形内角和公式的推导掌握得不错，特别是通过动手分割纸片，多数同学能自己发现“n边形内角和等于（n-2）×180°”的规律。不过外角和恒等于360°这个点，部分学生还是容易混淆，总以为和内角和一样会变。下次得用几何画板再演示一下外角旋转的过程，让他们亲眼看到“无论几边形，外角和都拼成一个圆”。

课堂探究时，小组合作挺活跃的，但有个别小组在分割六边形时数错了三角形个数，导致内角和算错。看来“从同一顶点引对角线”这个关键点还得再强调，最好让每个学生自己画一个五边形和六边形，亲手连一次对角线。

作业里求边数的题，比如“内角和1440°求n”，有学生直接用1440÷180=8，漏掉了减2。这说明公式推导过程还得慢一点，多举几个例子让学生看到“n-2”的由来。另外，实际应用题比如“五边形零件求角度”，学生能套公式，但遇到“已知三个角求另外两角和”时，忘了先算总内角和，下次得专门练这种逆向思维题。

整体来看，转化思想学生体会到了，但公式的灵活运用还得加强。下次可以增加一些“已知部分角求边数”的综合题，让他们多练方程列式。对了，课后作业里“测量不规则多边形”的实践题，学生反馈挺有意思的，有量出家里地砖是五边形的，下次可以多收集这类生活案例，让数学更接地气。板书设计:十、板书设计

①核心公式

-内角和公式：(n-2)×180°

-外角和公式：360°（恒定不变）

-关键词：n边形、边数、顶点、对角线

②推导方法

-分割法：从一顶点引对角线→分割成n-2个三角形→内角和=(n-2