人教版八年级数学下册《数据的分组》教案

24.4数据的分组

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解组内离差平方和的含义与计算.

2.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则

对数据进行分类的方法.

【过程与方法】

经历数据分组优化的实践过程，体会统计决策的科学性。通过小

组合作探究，感受“优化分组”对数据规津的提炼作用。

【情感态度与价值观】

培养用数学方法解决实际问题的意识。体会合理分组对数据分析

的重要性，形成严谨的数据观念。

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共1课时

四、教学重难点

【教学重点】

组内离差平方和的计算方法；理解找最优分组的逻辑.

【教学难点】

离差平方和统计意义的理解；从数学最优解到实际意义的转化.

五、课前准备

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教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔、练习本.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2-3）

超市商品从“牛奶、面包、牙膏、洗发水'’变成"食品区、tl用品

区、生鲜区”，能快速找到你要的东西.

校医需分析七年级某班20名学生的身高分布：

155,155,156,157,158,159,160,161,162,162,163,

165,165,166,167,167,168,169,172,178.

若想分为3组制作频数分布表，等距分组法（如150-160,160-170,

170-180）可能存在什么问题？

学生答：有的组人数过多（如160-170集中12人），有的组过少

（170-180仅2人），无法清晰反映分布特征。

教师问：是否存在更科学的分组方法，使得每组内部数据尽可能

相似？如何衡量”组内差异度”？

（二）探索新知

1.出示课件5T2,数据的合理分组原则一一组内离差平方和最

小

教师出示问题：

一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然

后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面求.将10名应聘者的笔试

成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：

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58646875768385899092

你认为哪一部分应聘者应当进入面试？

选择笔试成绩好的进入面试，那么怎样才算好呢？标准是什么

呢？

帅生一起解答：

例如，前三名或85分及以上为好成绩，其余为不太好的成绩.

但是83分和85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩

的标准，则85分属于好成绩，而83分属于不太好的成绩.

这么看，有些标准没有考虑数据自身的特点.从公司确定面试应

聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的

做法.

因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.

教师引导学生进行数据分组：

要使分组后的组内差异最小，将笔试成绩按从小到大的顺序排列,

使相互最接近的笔试成绩挨在一起，然后进行分组，可以发现，10

个笔试成绩按顺序排列形成了9个间隔，如下.每个间隔都可以把笔

试成绩分成好和差两组，共有9种分法.

58|64|68|75|76|83|85|89|90|92

教师问：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔

试成绩好和差两组的组内差异最小？

学生答：利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据

进行分组。

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教师引导学生计算离差平方和：

一般地，设有一般地，设有〃个数据X2,…，为，假设这些

数据都不相等，其平均数记为3则离差平方和为小=（制・X）2+（X2-X）

2+...+（X/J-X）2.

如果把这组数据分为两组，前机（〃?<〃）个数据为一组（称

为第一组），后（〃如）个数据为一组（称为第二组），那么这〃个

数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和：一类反映两个组内数

据的离散程度，另一类反映两组数据之间的差异程度.

它们的平均数分别记为3和X2,离差平方和分别为

2

*=（X1-X]）+（X2-X1）2+...+（xw-X\）2,

（（2=（Xw+1-X2）2+（X〃1+2・X2）2+...+（X„-X2）2.

222

d=（X1-X）+（X2-X）2+...+（x/rX）

2222

=（xi-X）+（X2・x）+...+X）+（x/w+l-X）+

（X/〃+2・X）2+...+（x〃-x）2

=（X）-X|+Xl-X）2+（X2-X）+Xl-X）2+...+

2

（X?n-X]+Xl-X）2+（%w+1-X2+X2-X）+（X,w-2~%2+

X2-X）2+...+（X/j-X2+X2-X）2

=（Xi-Xi）2+（X2-Xi）2+...+（x〃「X\）2+（x„,ii-X2）2+

22

（X〃?+2-%2）+...+（XZJ-X2）

=d；+d外加（xi-X）2+（〃-/%）（X2-x）2.

教师归纳总结：

其中瑞+君称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度;

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d：2=m(xi-x)2+(n-m)(X2-x)2,称为组间离差平方和，表示两

个组间的差异.

一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平

方和达到最大.由于总体离差平方和cP不变，只需考虑使组内离差平

方和达到最小即可.

学生根据组内离差平方和最小原则解答问题：

58|64|68|75|76|83|85|89|90|92

教师问：根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较

小的应聘者分在同一组，计算这9种分法的组内离差平方和(结果保

留小数点后一位).

师生共同分析：第一组1个、第二组9个数据，计算组内离差平

方和；第一组2个、第二组8个数据，计算组内离差平方和；

如下表所示.

分组第一组离差平方和第二组离差平方和组内离差平方和

第1个间隔0799.6799.6

第2个间隔18503.5521.5

第3个间隔50.7271.4322.1

第4个间隔152.8170.8323.6

第5个间隔228.854.8283.6

第6个间隔411.326437.3

第7个间隔587.44.7592.1

第8个间隔819.52821.5

第9个间隔1026.201026.2

可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小.

因此,分法为｛58,64,68,75,76｝和｛83,85,89,90,92).

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考点利用组内离差平方和最小原则对数据分组

例10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）

师生共同分析解答：

解：

将表中的数据按从小到大排列，可得

-11-33391012172122

将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和（结果

保留小数点后一位），如下表所示.

分组第一组离差平方和第二组离差平方和组内离差平方和

第1个间隔0584.2584.2

第2个间隔32380.9412.9

第3个间隔98.7285.7384.4

第4个间隔132158.8290.8

第5个间隔228.8113.2C342)

第6个间隔308.862370.8

笫7个间隔397.414411.4

第8个间隔5620.5562.5

第9个间隔789.60789.6

观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时,

组内离差平方和最小.

因此，按组内离差平方和最小的分法为｛北京，石家庄，呼和浩

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特，哈尔滨｝和｛上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明｝.

出示课件16,学生自主