2026高考数学复习培优练：抽象函数与嵌套函数（原卷版）

专题02抽象函数与嵌套函数

目录

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:即高频考情课波解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

i

：a；核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

■、

I

j，聚焦题型楷题解密（5大题型精讲+变式拔高训练）

:题型一抽象函数的定义域与值域问题（★★★★）

：题型二抽象函数的单调性与奇偶性综合（★★★★）

题型三嵌套函数的零点问题（★★★★）

;题型四抽象函数的解析式求解（★★）

I

:题型五嵌套函数的最值与参数范围问题（★★★）

i

:，・实战演练裔致提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

I

近几年送考主要以小题（选择题、填空题）为土，分值5-10分，部分地区可能在解答题中与导数（判

断单调性）、不等式（恒成立问题）、数列（累加法求解析式）跨模块融合。

基础知识必备：

一、抽象函数核心基础：

定义域：遵循“括号内整体范围一致“原则，即若/⑴定义域为［。切，则f（g（x））需满足QWg（x）工人，需

结合内层函数（如一次函数、二次函数、对数函数）的定义域约束（如对数真数大于0、偶次根式被开

方数非负）综合求解。

二、奇偶性与单调性：掌握定义法（/（-%）=±/（'）判断奇偶性，咏皿判断单调性）、赋值法（常

XJ-X2

用*=0、x=-y,%=1等特殊值推导性质），明确奇偶性对函数图象对称性的影响（奇函数关于原点

对称，偶函数关于y轴对称）、单调性对不等式转化的作用（单调函数可“去/'符号”）。

解析式：熟悉赋值法（构造方程求特殊值）、累加法（适用于fa+l）-/a）=g3）型）、构造法（假

设一次/指数/对数函数模型代入验证）。

嵌套函数核心基础：

三、拆解逻辑：通过换元法将y=/（g（x））拆分为外层函数y=f（t）与内层函数£=g（x）,解题需“分层处

理”（先分析外层函数性质，再结合内层函数值域）。

四、零点与最值：零点问题转化为“外层函数零点1内层函数解的个数”（如g（x）=/（/•（%））-。的零点,

需先求/（t）=Q的解3再求以对=。的解的总数）；最值问题需先求内层函数值域（作为外层函数定

义域）.再求外层函数最值c

2026高考预测：

一、抽象函数：侧重奇偶性与单调性的综合应用（如解不等式R2x-l）+f（x-3）＞0）、赋值法求特殊值或解析

式、定义域与值域的嵌套求解（如f（f（x））的定义域）。

二、嵌套函数：聚焦多层嵌套的零点个数判断（结合函数图象数形结合）、含参数的嵌套函数恒成立/有解

问题（如g（x）=f（f（x））・k20恒成立求k范围），可能出现与新定义结合的创新题型（如“取整函数+嵌套函

数”）。

三、趋势特点：隐性逻辑应用增强（不再直接给出奇偶性/单调性，需通过条件推导）、图象法依赖度提升

（嵌套函数零点、参数范围问题需直观分析图象交点）、跨模块融合加深（如与导数结合分析嵌套函数的

单调性）。

核心考点♦梳理

重难知识汇总:

函数类型重点知识难点突破

1.奇偶性与单调性的推导（赋值法）；1.复杂条件下的赋值技巧

抽象函数2.解析式求解（赋值法、累加法）；（如x=y、x=2y）；2.非单调抽

3.定义域与值域的嵌套象函数的值域分析

1.多解情况下的分类讨论（如

1.零点个数的分层计数（换元法）；/（t）=Q有2个解时，需分别分析每

嵌套函数2.最值的分层求解（内层值域一外层最值）；个解对应的内层解个数）；

3.参数范围的约束转化2.恒成立条件的等价转化（如

r（g。））＞J/（t）minNk）

1.抽象函数与嵌套函数结合（如/（g（x））的奇1.分段函数各区间的性质差异（如

综合应用偶性判断）；2.与分段函数融合（分段嵌套的%工0与%＞0的单调性不同）；2.跨

零点分析）区间的解的计数整合

常用技巧方法:

赋值法：抽象函数性质推导与解析式求解的核心，优先赋值％=0（求/XO））、x=-y（证奇偶性）、y=l

（推导递推关系），如由/（》+、）=/•（%）+/3）-2赋值x=y=0得/'（0）=2,赋值y=l得/（%+1）-

/W=1。

换元法：嵌套函数拆解的关键，令t=g(x)将y=f(g(x))转化为y=f(t),简化外层函数分析，如g(x)=

/•(/(%))-。的零点问题，先求/'(。=。的解5再求g(x)=£i的解。

数形结合法：嵌套函数零点、参数范围问题的直观JL具，通过绘制内层函数g(x)与外层函数的图象，分

析交点个数或最值，如判断八%)=2与/(%)=3对应的解的个数时，需结合/(%)的分段图象观察。

构造法：抽象函数解析式求解的辅助手段,针对常见模型(如“工+田二汽幻八妨假设指数函数、/(xy)=

/a)+/(y)假设对数函数)，代入条件验证并确定参数。

易错避坑提效：

易错点1：抽象函数定义域理解偏差：误将f(g(x))的定义域视为g(x)的定义域，忽略”括号内整体范围

一致“，如/'(%)定义域为口3],贝旷(2%-1)需满足1W2%-103,而非2%-1的定义域本身，

易错点2：嵌套函数零点计数遗漏：未分类讨论外层函数解的个数，或忽略内层函数在不同区间的解的

差异，如八外为分段函数时，=1在xSO与x>0可能有不同解的个数，需分别订数。

易错点3：抽象函数单调性误用：未先证明单调性直接“去f符号”，或忽略定义域约束，如解/'(2%-1)>

/(%-3)时，需先确认/(%)单调，再结合定义域列不等式。

提效技巧：二轮夏习中针对高频题型(如嵌套零点、抽象函数不等式)总结“解题模板”，如零点问题按“换

元->求外层解一内层解计数一总数汇总”步骤执行，减少思维漏洞。

I聚焦题型J,解密

题型一抽象函数的定义域与值域问题

方法点拨：定义域用“括号内整体范围一致”+内层约束列不等式；值域先求内层值域，结合外层单

调性，忌忽略内层定义域限制。

【典例01】1.(2025・湖北武汉•三模)已知函数/(x)的定义域为(0，+8),对任意的x/〉0,均有

/W~/W<-/(-+!),且/(1)=—1,则下列结论中一定正确的是()

xyy

A./(2)<0B.2/(3)</(2)

C.黑+%>ln2D.3/(4)<〃3)

J(J)J\^)

【典例02】(2025・浙江温州•二模)函数/(x)满足：©/(1)=|@^,yeR,

xx

2f(y)-2>f(x)>(4-4')f(X)f(y).则的最大值等于.

【变式01](25-26高三上山东高泽期中)已知函数1=/(%)的定义域和值域分别为12,2]和[4,9],则函

数二，=/(x-l)的定义域和值域分别为()

A.卜3,-1]和[3,8]B.[T-1]和[4,9]

C.卜1,3]和[3,8]D.和[4,9]

【变式02】(24-25高三下,重庆・月考)已知/⑺满足/(x-)/")=2/(x),/(x)w0,且/(1)=4,则

/(2-x)+/(x)的值域为

【变式03】(2025•黑龙江大庆•三模)已知/(外是定义在R上的奇函数，g*)是定义在R上的偶函数，若

函数/*)-g(x)的值域为[-3,2],则函数/(3x)+g(3x)的最大值为()

A.2B.3C.6D.9

题型二抽象函数的单调性与奇偶性综合

方法点拨：赋值法(0、-y等)推奇偶性与单调性，将不等式转化为/'(⑷与/(8)关系，借单调性

去/符号，勿忘定义域约束。

【典例01】(2025•辽宁,一模)对任意x/wR,都有/(x+y)/(x—y)=L(x)-r(y)，且/(力不恒为0,

函数g(x)=9噌詈竺+/"),则g(2)+g(—2)=()

A.0B.2C.4D.6

【典例02】(2025•河北沧州•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+1)为奇函数，当x<l时，

/(x)=er-e,则关于。的不等式/("-"1"。的解集为()

A.[-1,2]B.[-2,1]

C.(-OO,-1]VJ[2,+OO)D.

【变式01】(2025•福建漳州•模拟预测)定义在R上的奇函数/(x)满足：匕①«(),+8),且x产巧，

/(』)：/(4)>1,若/⑵=2,则不等式/(x)>x的解集为()

演一“2

A.(0,2)B.(2,+8)C.(-a),-2)U(0,2)D.(-2,0)U(2,+s)

【变式02](2025•黑龙江大庆•一模)已知函数〃幻的定义域为RJ(l+x)=/(3-函，且“X)在⑵+00)上

单调递减，则不等式/(2x-3)>/(3)的解集是()

A.(-oo,3)B.(一处2)C.(3收)D.(2,3)

【变式03X2025•江苏淮安•模拟预测）已知函数定义域为R,且满足：/（x）=/（2-x）,Vx„x2e[l^）,

/，/，"再）-/缶）<0,若/⑵则实数x的取值范围为（）

A.l<x<100B.—<x<100

10

C.10<x<100D.l<x<IO

题型三嵌套函数的零息回题

方法点拨：换元令t=f（X）,先求的解%再结合/（M图象数每个，，对应解的个数，总数汇

总得零点数，分类讨论防漏解。

【典例01】（2025•贵州毕节一模）已知函数/（X）=则函数y=[/（x）F-5/（x）+6的零

点个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【典例02]（2025•陕西西安•三模）设函数/3=5+如+瓦8（%）=f+6+乙若函数y=f（g（x））与

y=g（/（x））都没有零点，则函数y=/'（/（x））与y=g（g（M）（）

A.都没有零点B.都有零点

C.至少有一个没有零点D.至少有一个有零点

【变式01】（2025・山东临沂•三模）已知函数若函数y=/（/（x））有8个零点，则

实数。的取值范围为（）

A.a>1B.a<0C.-1<a<0D.a<-\

t2+2Y<0

【变式02】（2025•河北保定•二模）已知函数/（力=।一’记函数g（x）=/（/（x））-/（x）-2的〃个

零点为天。=1,2,…,〃），则斗J…。=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式03】（25-26高三上♦江苏镇江•期中）己知函数人,若函数y=/（/（x））有6个

—X+2〃X,XSU

零点，则实数〃的取值范围为.

题型四抽象函数的解析式求解

方法点拨：赋值特殊值(0、1等)构造方程，或假设一次/指数等模型代入，累加法适用于

/'(x+l)—/(x)=g(x)型，解后需验证。

【典例01】(2025•河北秦皇岛•一模)"｝表示不小于X的最小整数，如｛2」｝=3,｛-1.2｝=-1,已知定义在R

上的函数/(X)满足Dxj€RJ(x+/(y))=/(/(x))+y,且/(0)=；,则｛/(2024)｝=()

A.2025B.2024C.2023D.2022

【典例02](2025•山东•一模)设函数/⑴的导函数为/'(x),当"0时满足矿(幻+/(幻=1,且/⑴=2,

则/(-1I12),/sin；)的大小关系为()

A./(-In2)<《bf(sinB./(-In2)</卜n扑/(g)

C.D.</(g)</(—In2)

【变式01】(24-25高三上•江西•月考)已知函数〃x)满足/a+l)=/a)+2*+3,且/⑴=1,则/。000)=

()

A.2^+2995B.29994-2996C.2,0<x>+2995D.2,000+2996

【变式02](23-24高三上•广东湛江•月考)已知函数/(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8),且

")=3+1)/(丁+1),则()

A./(A)>0B./(1)=1C./(戈)是偶函数D./(》)没有极值点

【变式03](25-26高三上•河南•期中)己知定义在R上的函数/(x)满足对任意

/%〃6艮2/(加+2〃+100)=/(/(阳))+8〃+3()0恒成立，且"0)=100,则/(55)=()

A.200B.210C.11()D.220

题型五嵌套函数的最值与参数范围问题

~~方法点拨：先求内层/=以幻的值域，再求外层/⑺最值；恒成立转/⑺最值与参数关系，有解转参

数属/")值域，数形结合助分析。

x<0

【典例01](2025呐蒙古呼和浩特二模)已知函数/(幻=2a("0)在R上单调，且/(logM)«8

在[2,4]上恒成立，则a的取值范围是()

A.0<a<\B.0<a<^C.0<a<—D.—<la<\

222

―――2x+2(<()

【典例02](25-26高三上•山东•期中)已知函数/(x)=r1bM]；0一，若函数g(x)=/2(<)-4W+6

有8个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(25/6,5]B.(276,5)C.(4,5]D.(4,5)

【变式01】(2025・河北•模拟预测)已知函数/(工)=是R上的增函数，且关于X的不等式

ln(x+l),x>0

+恒成立，则实数a的取值范围是()

A.04B.~,1C.・，AD.[11]

L4J_4_44_[4J

2

x+2x4-2,x<0J.

【变式02](25-26高三上•重庆•开学考试)己知函数f(x)=|’若关于"的方程

a[/(x)]2-(%+l)/(x)+3=0有7个不相等的实数根，则实数。的取值范围是().

I

A.B.(0,1]C.-JD.[1»+oo)

-X5+x2,x<0

【变式03](25-26高三上•重庆南岸•月考)已知f(x)=e',gU)=3elnx八，若函数

-----,x>0

、X

V=/(g(x))-ag(x)-恰有4个零点，则实数。的取值范围为()

AJ用B-(4)C.(6)D.(品，

A)一

(限时训练：15分钟)

1.(25-26高三上•重庆渝北・月考)已知函数/(2力的定义域为(0,£|,则g(x)=/(x-l)+x/7N的定义域

为()

A.2,；)B.[2,6)C.[2,5)D.2；)

2.（25-26高三上•陕西商洛•月考）已知函数/（口的定义域和值域均为[0,2],则函数歹=2/（21）+1的定义

域和值域分别为（）

A.。4]和[1,5]B.[0,4]和[1,3]

C.[0刀和口⑸D.[0J和[1,3]

3.（2025・四川绵阳•模拟预测）己知/（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（F,0）上单调递减，若实数。

满足/（2"川）>/（-^反），则〃的取值范围是（）

4.（2025・陕西榆林•模拟预测）（多选）定义在R上的奇函数/⑴满足/⑴=3,〃l+x）=/（l7）,则下

列结论正确的是（）

A./（0）=0B./(x)关于x=l对称

C./'（X）的周期为2D.7（2025）=3

5.（25・26高三上•湖南衡阳•月考）已知函数/（"二1若有另一函数

e+2,x<0

g（x）=q〃（x）-2/（x）+l-为有且仅有3个不同零点，则常数a的取值范围为（）

（（、（

A•匕\司5\B.匕2力3C,231