期末全册复习（8大考点33类题型）原卷版-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版）

期末全册复习专题（8大考点33类题型）

目录

一.基础篇...........................................................................2

【考点一】概念与定义辨析............................................................2

【★题型11实数的概念辨析...........................................................2

【★题型2］平方根、算术平方根、立方根..............................................3

【★题型3］勾股数与直角三角形构成条件..............................................3

【★题型4］平面直角坐标系相关概念..................................................4

【★题型5】数据的分析基础概念......................................................5

【考点二】图形识别（数形结合）......................................................5

【★题型6］实数与数轴的对应关系....................................................5

【★题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征............................................6

【★题型81一次函数图象识别.........................................................7

【考点三】夯实基本运算...............................................................8

【★题型9］实数的混合运算...........................................................8

【★题型1（）】二次根式的运算..........................................................8

【★题型11】二元一次方程组的解法...................................................9

【★题型12】待定系数法求一次函数解析式.............................................9

【★题型13】勾股定理的基础计算....................................................10

【★题型14】平行线的角度计算......................................................11

【★题型15】数据的分析基础计算....................................................12

【考点四】基本性质与判定辨析.......................................................14

【★题型16】算术平方根的非负性应用................................................14

【★题型17】一次函数的性质辨析....................................................14

【★题型18】二元一次方程组的解的意义..............................................15

【★题型19】勾股定理逆定理的判定应用..............................................16

【★题型20］数据的分析性质辨析....................................................17

二.培优篇..........................................................................18

1/39

【考点五】综合运算与实际应用.......................................................18

【★★题型21】二次根式的综合化简求值..............................................18

【★★题型22】二元一次方程组的实际应用............................................19

【★★题型23］一次函数的实际应用...................................................20

【★★题型24］勾股定理的实际应用...................................................21

【★★题型25］数据的分析综合应用...................................................22

【考点六】跨章节综合...............................................................25

【★★题型26】一次函数与二元一次方程组的综合......................................25

【★★题型27】坐标系与儿何综合.....................................................26

【★★题型28】一次函数与几何图形综合..............................................28

【★★题型29］二元一次方程组与一次函数的实际综合.................................29

三.压轴篇..........................................................................31

【考点七】规律问题探究..............................................................31

【★★★题型30］二次根式与勾股数的规律探究........................................31

【★★★题型311平面直角坐标系与一次函数规律探究..................................32

【考点八】方案设计与综合探究.......................................................33

【★★★题型32】一次函数与二元一次方程组的方案选择问题...........................33

【★★★题型33】坐标系中一次函数动点问题..........................................36

一.基础篇

【题型】带表示基础题，带表示综合题，带“★★★”表示压轴题

【考点一】概念与定义辨析

【★题型1］实数的概念辨析

1.（25・26八年级上•江苏无锡•期末）在-：,-3.14,0《,>/瓜32。23,6,-1」21121112...（每两个2

63

之间依次多一个1）中，无理数有（）个.

A.1B.2C.3D.4

2.（25-26八年级上•上海青消・期中）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无

理数是（）

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M

二;1j~r*2~3

A.-V2B.V2C.V5D.兀

3.（24-25七年级下•陕西商洛期末）下列各数中，最小的是（）

A.-2B.——C.-V36D.般

4.（25-26九年级上•河北保定•期木）从拳3.1415926,3.3,心-瓜田中随机抽取一个数，此数

是无理数的概率是（）

A.,B.-C.-D.-

7777

【解题思路】先明确无理数是无限不循环小数，常见类型有含乃的式子、开方开不尽的数、有规律

但无限不循环的小数：有理数是整数和分数的统称。解题时逐•判断每个数的类型，统计无理数个

数，或结合数轴估算无理数的范围，进而求解。

【★题型2］平方根、算术平方根、立方根

1.（24-25七年级上•辽宁盘铝・期末）2?的平方根是:J正的算术平方根是;-64的立方

根是.

2.（25-26八年级上•四川成都力考）下列计算正确的是（）

A.V9=±3B.局C.=

D.

3.（25-26八年级上•上海闵行・月考）一个正数的两个不相等的平方根是%+2和-7a+10,那么这

个数是（）

A.121B.100C.3D.9

4.（25-26八年级上•上海奉贤•期中）已知：11.12«3.3352,111.2»10.5452,那么用无/.

【解题思路】牢记定义一一一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是其中的非负根;

立方根的符号与原数一致。解题时先化简原式,再根据定义计算；若已知正数的两个平方根，利用“平

方根互为相反数”列方程求参数，再反求原数。

题型3勾股数与直角三角形构成条件

【★题型3］勾股数与直角三角形构成条件

1.（24-25八年级下•内蒙古通辽・期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代

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著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数〃的是（）

A.1,1,2B.1,73,2

C.（）.5,1.2,1.3D.6,8,1（）

2.（25-26八年级上•山东淄博•月考）以下列各组数为三角形的三条边长:①1.5,2,3；

@3\42,52；③L&,石：©9,40,41.其中能构成直角三角形的有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

3.（24-25八年级下•陕西商洛・期末）已知△"C的三边长分别为百，丛,瓜,则△力5c的面积

为.

4.（25-26八年级上•江苏苏州•期中）勾股定理/+/>2=°2本身就是一个关于明储。的方程，满

足这个方程的正整数解（。，Ac）通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了•个构造勾股数组的公式,

观察下列几组勾股数：（3,45）,（5,12,13）,（7,24,25）,（9,40,叫…根据上面的规律，第6个勾股数组为一.

【解题思路】勾股数是正整数组，满足“两小边平方和等于最大边平方J判断三角形是否为直角三

角形，直接用勾股定理逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。若已知三边长度，

可先判断形状，再结合面积公式或勾股数规律求解。

【★题型4］平面直角坐标系相关概念

1.（25-26八年级上•山东济南•期中）点M在第二象限，距寓x轴5个单位长度，距离N轴3个单位

长度，则M点的坐标为（）

A.（-5,3）B.（5,-3）C.（-3,5）D.（3,-5）

2.（24-25八年级上•四川成都•期末）在平面直角坐标系中，点力（-2,〃）位于第二象限，。的值可能

是（）

A.-75B.-2C.0D.73

3.（24-25七年级下•内蒙古乌兰察布•期末）若点P（xj）在第二象限内，且卜|=2,/=9,则点尸

的坐标是.

4.（25-26八年级上•陕西西安•月考）已知点P（2a-3,〃+6）,若点。的坐标为（4,4）,且直线尸。〃，

轴，则点尸的坐标为.

【解题思路】掌握象限内点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离（到x轴距离•为纵坐标绝对值，到

y轴距离为横坐标绝对值）。解题时根据点所在象限确定坐标符号，结合距离公式列方程求坐标；

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若直线平行于坐标轴，利用“平行于X轴纵坐标相同，平行「y轴横坐标相同”的性质求解。

【★题型5］数据的分析基础概念

1.（25-26八年级上•全国•期末）一组数据：1（）（）,96,86,96,93,108,96,95的下四分位数

是（）

A.96B.98C.94D.94.5

（”-26八年级上.全国.期末）在某次数学测试中，随机抽取了1。份试卷，其成绩（单位：分）

如下：85,81,89,81,72,82,77,81,79,83,则这组数据的众数与中位数分别为（）

A.81分，76.5分B.81分，81分C.81分，82分D.83分，77分

3.（24-25八年级卜.•云南临沧・期末）小智在计算一组数据的方差时，列式如下：

S2=：［a-4『+（吃-4）2+…+（/-4）］,下列说法正确的是（）

A.样本容量为5,平均数为4B.样本容量为4,平均数为5

C.样本容量为5,平均数为5D.样本容量为4,平均数为4

4.（24-25八年级下•云南临沧期末）某校规定学生的学期美术成绩满分为100分,其中平时绘画训

练占20%,期中考试成绩占3C%,期末考试成绩占50%.小华这学期的三项成绩（百分制）依次是

90,85,95,他这学期的美术成绩是分.

【解题思路】众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数需先将数据排序，再根据数据个数奇偶

性确定（奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平均值）：方差反映数据波动程度（方差越小越稳

定）；加权平均数需用“各数据x权重”求和再除以权重和。解题时先整理数据，再根据概念计算

对应统计量。

【考点二】图形识别（数形结合）

【★题型6］实数与数轴的对应关系

1.（25-26八年级上•辽宁丹东•期中）如图，正方形48co的边长为1,CA=CE,则数轴上点E所

表示的数是（）

BA

-72~-oir

A.y/2B.2C.V2+1D.5/2-1

2.（25-26八年级上•江苏南京•期末）加图，在数轴上表示实数血的点可能是（）

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_A______■___B_____.CD_______a_________

01234

A.点、AB.点8C.点CD.点。

3.(24-25八年级下•陕西宝鸡•期末)如图,数轴上的点M表示的数为〃?，则〃?=

4.(24-25七年级下•湖南株洲•期末)如图,数轴上有4B,C三点，表示1和0的点分别为48,

点B到点A的距离与点C到原点0的距离相等.设4丛。三点表示的三个数之和p=—.

CAB

1।1tA

?o1a

【解题思路】：解决实数与数轴对应关系的题目，核心是把握“数轴上的点与实数一一对应”这

一关键性质，结合勾股定理、无理数的估算、数轴上两点间的距离公式来分析。对于由几何图形确

定数轴上点表示的数的题型，先利用勾股定理计算出相关线段的长度，以此得到对应的无理数的值,

再根据点在数轴上的位置确定该点表示的实数；对于估算无理数对应数轴上点的位置的题型，先通

过平方数确定无理数的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断；对于涉及数轴上多点距离与

数值求和的题型，先依据两点间距离公式求出未知点表示的数，再将各点表示的数相加得出结果。

【★题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征

1.(25-26八年级上•陕西西安•期中)在平面直角坐标系中，点力(5,2。)和点6(6+1,6)关于y轴对

称，则。+b=()

A.-3B.1C.7D.3

2.(24-25七年级下•河南安阳•期末)若点尸(2,-1),P〃平行x轴，且尸"=3,则点〃的坐标为

()

A.(5,1)B.(2,2)或(2,4)C.(-1,1)D.(一心1)或(5,-1)

3.(24-25七年级下•四川广安•期末)在平面直角坐标系中，已知点加(。+5,2-〃)，N(b3),若直

线MN与x轴平行，且MN=2,则〃的值为.

4.(24-25七年级下•黑龙江哈尔滨•期末)已知平面直角坐标系内不同的两点4(4,3a+2)和

8(2〃+2,3)至ljV轴的距离相等，则a的值为一.

【解题思路】关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数；平行于坐标轴的直线上的点，横、

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纵坐标具有共性。解题时根据对称或平行的性质，确定点的坐标关系，列方程求参数值，再计算相

关代数式的值。

【★题型8]一次函数图象识别

1.（25-26八年级上•全国•期末）关于一次函数y=-gx+6a>0）的图象，正确的是（）

2.（24-25八年级下•河北唐山•期末）在如图所示的计算程序中，片与x之间的函数关系所对应的图

象为（）

/输Ax/

3.（24-25八年级下•湖南郴卅期末）如图,函数y=履与），=-履+联女工0）在同一直角坐标系中的

4.（25-26八年级上•广东佛山•期末）函数歹=h+8与函数y=（A*（），bwO）在同一直角

坐标系中的大致图象可能是（）

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【解题思路】一次函数丫=1«<+1）的图象由k和b决定一一k>0图象从左到右上升，k<0下降；b决定

与y轴交点位置。解题时结合函数解析式的限制条件（如定义域），或正比例函数与一次函数的k

符号关联，判断图象的形状和位置。

【考点三】夯实基本运算

【★题型9］实数的混合运算

1.（25-26八年级上•广东佛山•期中）已知一个正数的平方根分别是〃+2和2a-5,b-3的立方根为

-2.

⑴求出a,b的值；

（2）求4a-b的平方根和9a+b的立方根.

2.（24-25七年级下•吉林白山・期末）计算：

（1）（-1）"+>/4-8—1—（—3）|（2）^（-4）'—A/64+|1—>/2|

3.（25・26八年级上•陕西西安・月考）。、b、c均为实数，且3）2=0,。是而的整数部

分.

⑴则Q的值为;8的值为;c的值为：

⑵求2人+3c的平方根.

4.（24-25七年级下•陕西西安•期末）计算：

（1）（-1）2025+（：）-向;⑵（正了—后+（兀7）。

【解题思路】先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减：有括号先算括号内。涉及平方根、立方根

时，先化简；若已知平方根或立方根的条件，先列方程求参数，再代入计算。

【★题型10】二次根式的运算

1.（25-26八年级上•河北保定•期中）计算：

⑴（3拒+可一（逐+而）（而-司；（2）727-JIxV6+V45-rV5.

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2.（25-26八年级上陕西西安期中）计算;

(2)(V5-2)(V5+2)-(V3-V2)2

3.（25-26八年级上•福建三明•期中）计算:

⑴加+人-后；(2)"+司(巾-司+&+&

4.（25-26八年级上•上海•月考）计算：

（1）736-^27+7（-2）2

【解题思路】先将二次根式化为最简二次根式，再根据运算法则计算一一加减运算需合并同类二

次根式，乘除运算利用公式；遇到平方差、完全平方公式的形式，可利用公式简化计算。

【★题型11】二元一次方程组的解法

1.（25-26八年级上•全国•期末）解方程组:

n)

y=]-xm—=2

(2)2

5x+2j，=8

+3〃=12

2.（24-25七年级下•黑龙江七台河•期末）解方程组:

x-2y=32ni-5/?=-11

(1)

2x+y=\9/〃+7〃=39

3.（24-25七年级F•河北廊坊・期末）解方程组:

y=x+34x-3y=\\

(2)-

7x+5y=92x+y=13

4.（24-25八年级上•重庆・期中）解方程组：

z—x+4y=27

3x-y=67

（1）二o：（2）.

x-3y=21,

【解题思路】常用代入消元法和加减消元法。代入消元法适用于有一个方程能直接表示出未知数的

情况，将其代入另一个方程消元；加减消元法适用于同一未知数系数相同或互为相反数的情况，通

过方程加减消去一个未知数，进而求解。

【★题型12】待定系数法求一次函数解析式

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1.（2025八年级上•全国•专题练习）已知一次函数y=6+b的图象经过点（1,3）和点则攵,

。的值分别为（）

A.2,1B.2,-1C.-2,1D.-2,-1

2.（25-26八年级上•陕西西安•期中）与歹=2x7平行，且过点（3,-2）的直线的解析式是.

3.（25-26八年级上•安徽六安•月考）一次函数的图象经过点（2,6）和点（-1,3）.

⑴求这个函数的表达式；

⑵直接写出将这条直线向上平移4个单位长度的函数表达式.

4.（25-26八年级上•安徽宿州•月考）如图，直线y=Ax+b1工（））经过点力（-3,0）和8（0,-3）,线

段。两个端点的坐标分别为。（1,3）.

⑴求直线的表达式；

⑵若将直线向上平移加个单位长度，旦平移后的直线经过线段CO的中点，求〃?的值.

【解题思路】设一次函数解析式为y=kx+b（心0）,将己知点的坐标代入，得到关于k、b的二元一

次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定解析式。若两直线平行，则k值相等，可•先设解析式

再代入点求解。

【★题型13】勾股定理的基础计算

1.（25-26八年级上•河南周口•月考）直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边上的高为（）

A.4.8B.5C.3D.4

2.（25-26八年级上•江苏泰州•月考）如图，在RtA48C中，4c8=90。，AC=6,48=10,以

点8为圆心，4C长为半径画瓠，交于点。，则力。=.

3.（25-26八年级上•江西吉安•月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯力4CQ,因使用时间而

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变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为一m,已知/上+4/•'=17m,«C=10m,

兀

一只蚂蚁从力点爬到。点，且必须翻过半圆柱凸起，求它至少要走的路程.

4.（25-26八年级上•陕西西安•月考）如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由

水平、竖直方向的48,8。两段构成（即4818C）,若8。段长度为8”?,力、。两点之间的距离

比力4段长2c加，求力4段的长度.

【解题思路】直角三角形中，利用勾股定理（c为斜边）求边长；求斜边上的高时，利

用”等面积法〃。遇到折叠、最短路径等问题，先转化为直角三角形，再用勾股定理列方程求解。

【★题型14】平行线的角度计算

1.（2025・四川雅安•二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若N2=32。，则NI

的度数为（）

2.（2025八年级上•全国•专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平

台平行.若Nl=35。，Z3=160°,则N2的度数为.

3.（25-26七年级，•北京•期中）如图，木条。与人被木条c所截，N】=90。、N2=60。,若使木条。与

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b平行，木条b过点。逆时针旋转的度数是.（旋转度数在0。与180。之间）

4.（25-26八年级上•安徽宿州•月考）如图，在单位长度为1的2x4的网格中，每个小正方形的顶

点叫格点，线段48，的顶点都在格点上.

（1）线段16,C。的长度分别为,;

（2）设力8,8所夹的锐角为N1,则N1的度数为°.

【解题思路】利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合直角三角形的

内角和为180度。当图形中无直接平行线时，可作辅助线，构造平行线间的角度关系，进而计算角

度。

【★题型15］数据的分析基础计算

1.（25-26八年级上•陕西西安・期中）我校八年级举行英语演讲比赛.小高和小新积极参与，两人比

赛后各项得分如表：

演讲内容语言表达演讲技巧

小高958585

小新859093

⑴如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？（结果精确到

0.1）

⑵若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达〃“演讲技巧”三个项目在

总分中的占比为3:2:1,那么两位同学的排名顺序又怎样？

2.（25-26八年级上•全国•课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作

了如下统计图：

12/39

时间

0:10

23:40

23:10

22:40

22:10

21:40

21:10

20:40

20:10

⑴这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？

⑵如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组?

3.（2025•河南信阳•一模）河南中牟县的姚家镇草莓种植面积达16000亩，被称为“全国十大草莓生

产基地”之一.草莓种植的重要环节就是浇灌，传统的浇灌方式有两种：力.滴灌，漫灌.为对

比产量，某种植户对两种浇灌方式下的10垄草莓产量（单位：千克）做出了如下统计：

A：12,14,14,14,14,16,16,18,18,20.

B：12,14,14,16,16,16,16,18,18,20.

并得到了如下不完整的统计表：

平均中位众

方差

数数数

A15.6a14=5.44

B1616bSg=4.8

⑴表格中的。=,b=:

（2）若4种滴灌方式共种植60垄，4种漫灌方式共种植40垄，那这100垄的总产量大约是多少？

⑶从上述统计数据来看，选择哪种方式更利于高产？井说明理由.

4.（25-26九年级上•吉林长春•期中）为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位:

次）的情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直

方图.已知这个年级的学生人数为200人.

13/39

次数X分组频数

2<x<42

4<x<66

6<x<810

8<x<102

⑴补全频数分布直方图.

⑵抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是.

⑶请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数.

【解题思路】计算平均数时，直接求和再除以数据个数；加权平均数需乘以对应权重；中位数需先

排序再确定；方差计算步骤为“先求平均数，再算每个数据与平均数的差的平方和，最后除以数据

个数解题时结合统计图（条形图、箱线图）提取数据，再根据概念计算。

【考点四】基本性质与判定辨析

【★题型16］算术平方根的非负性应用

1.（25-26七年级上•黑龙江绥化•期中）若石二？+/+25|=0,则个的立方根为（）

A.5B.15C.25D.-5

2.（25-26八年级上•福建南平•期中）己知△48。的三功长分别为满足

V^3+|Z）-4|+（c-3）；=0,则/AC为________三角形.

3.（25-26八年级上•江苏宿迁•期中）已知实数〃也c满足"4=1-.-2）1、的平方根等于它本身，

则a-\lb-c的值为.

4.（25-26八年级上•陕西西安•期中）a,b,c均为实数，且d+（6+3『=0,c是内的整数

部分.

⑴",b=,c=.

⑵求q-26+3c的算术平方根.

【解题思路】算术平方根、绝对值、平方数均为非负数，若几个非负数的和为0,则每个非负数都

为0。解题时根据此性质列方程，求出未知数的值，再代入代数式计算，或判断三角形的形状。

【★题型17】一次函数的性质辨析

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1.（25-26八年级上四川成都期中）一次函数尸=取+力的图象如图所示，下列说法正确的是（）

B.»的值随X值的增大而增大

C.a<0D.当x=0时，y=2

2.（25-26八年级上•安徽合肥・期中）点4（-5,乂）,8（-2/2）都在直线2=-31+小上，则N与巴的

大小关系为（）

A.必=必B.乂>%c.y,<y2D.不能确定

3.（24-25八年级下•吉林白山期末）已知直线歹=去-1是由直线y=-2x平移得到的，则直线尸去-1

与工轴的交点坐标是.

4.（24-25八年级卜.•安徽芜湖・期末）己知一次函数，二（「36）》+m+1.

⑴当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？

⑵是否存在这样的整数〃，，值函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出机的值；如果不存在,

请说明理由.

【解题思路】一次函数y=kx+b的增减性由k决定，k>0时y随x增大而增大，k<0时相反：图象经过

的象限由k和b共同决定。解题时根据函数的增减性或图象位置，确定k、b的取值范围，或比较函

数值的大小。

【★题型18】二元一次方程组的解的意义

X+V=■（X=5

1.（25-26八年级上•全国•期末）小明求得方程组《.，的解为《人由于不小心滴下了两

滴墨水，刚好把两个数“■"和"★〃遮住了，则、"和"★"表示的数分别为（）

A.8,3B.8,5C.5,3D.3,8

2.甲、乙二人分别从相距20km的44两地出发，相向而行.如图，是小华绘制的甲、乙二人运

动两次的情形，设甲的速度是,vkm/h,乙的速度是ykm/h,根据题意所列的方程组是.

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甲走O.Sh

的路程甲走2h的路程相遇乙走2h的路程

第•次-I已T二]二

甲走lh乙走lh

的路程.WRUlkm一的路程

通一次/（fy―。一

vV,

/、8两地相距20km

3.（22-23七年级下•陕西渭南•期末）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师

让学生把7m长的彩绳截成2m和1m两种规格的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同

规格彩绳都要截出来的前提下，共有哪几种不同的截法？

4.（24-25七年级下•广东中山期末）已知关于x,y的方程组/,八的解是《「求＞/^二7

41-ny-m=0[y=-3

的值.

【解题思路】解决二元一次方程组的解的意义相关问题，核心是紧扣”方程组的解满足其中每一个

方程”这一本质。对于已知解求方程中未知参数的题型，直接将解代入对应的方程，通过解方程求

出参数的值；对于由实际问题抽象二元一次方程组的题型，先分析题意找出两个等量关系，再设出

未知数，根据等量关系列出方程组；对于二元一次方程的整数解应用题型，先根据题意列出二元一

次方程，再结合未知数的实际取值要求，通过枚举法确定方程的所有符合条件的整数解，进而解决

实际问题。

【★题型191勾股定理逆定理的判定应用

1.（24-25八年级下•云南•期末）若三角形三边长之比为1:3:2,则这个三角形中的最大角的度数

是（）.

A.60°B.90cC.120°D.150°

2.（24-25八年级下•湖北黄石•期末）若三角形三边长之比为2：5:&则这个三角形中的最大

角的度数是

3.如图，在四边形中，AB=\,AD=y/3,BD=2,ZA+ZC=\S0iCD=y/2.

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⑴判断△/巴。的形状，并说明理由；

（2）求8C的长.

4.（22-23八年级上•北京平谷•期末）如图，在△力8c中，‘44=5,4C=4,8C=3,是14的垂

直平分线，。后分别交/C、AB于点、E、D.

C

（2）求力石的长.

【解题思路】若三角形三边长满足/+/=/（c为最长边），则该三角形为直角三角形。解题时

先计算三边的平方，验证是否满足勾股定理逆定理，再结合垂直平分线、折叠等性质，求解边长或

角度。

【★题型20］数据的分析性质辨析

1.（25-26九年级上•江苏泰州•月考）甲、乙两个患者在10天中测量每天体温的统计结果是：即=36.1℃,

S甲2=0.50；£=36.1℃,S/=L00.那么10天中甲、乙的体温稳定情况是（）

A.甲较为稳定B.乙较为稳定C,两个人一样稳定D.不能确定

2.（25-26八年级上•四川成都•月考）如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表:

时间/h2.533.54567

频数16812951

则该班学生平均周阅读时间的众数和中位数是（）

A.4；4B.5；4C.4；3.5D.5；3.5

3.（25-26八年级上•全国•期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图

如图所示，则下列说法正确的是（）

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A.一班成绩比二班成绩集中

R.一班成绩的下四分位数是分

C.一班有同学的成绩超过140分

D.一班的平均分高于二班的平均分

4.（24-25八年级上•全国•期末）某校八年级（2）班为选拔18名同学参加学校团委组织的党史知识

竞赛，有35名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前18名同学参加学校的决赛.其中一

名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（填“众

数”或“中位数"或“平均数"）

【解题思路】方差越小，数据越稳定；众数是出现次数最多的数据；中位数反映数据的中间水平；

平均数反映数据的平均水平。解题时根据统计量的意义，结合表格或统计图中的数据，分析数据的

特征，或选择合适的统计量进行决策。

二.培优篇

【考点五】综合运算与实际应用

【★★题型21］二次根式的综合化简求值

1.（23・24八年级上•四川广安•期末）计算:

⑴（2—可+加+舄）-4x^1；(2)<7(2t?-l)"-3fl(a2+a-l).

2.（25-26八年级上•上海•月考）计算:

.7^卜［3A卜>0力>0)

⑵

3.（24-25八年级下•云南昆明•期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式,

变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.”

小明在解决问题：已知。二5焉，求2/_鼬+1的值.他是这样分析与解的：

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i_2-756

Vd==

W3（2+VJ）（2-^）

:.a-2=->/3,（fz-2）*=3,d-44+4=3

a2-4a=-\,:.2«2-8a+l=2（a2-4t/）+l=2x（-1）+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题:

⑴化尚羡;

⑵若什看

求/一3/+。+1的值.

4.（24-25八年级下•云南普洱•期末）已知〃?=2+百，〃=2-6,求下列各式的值.

（l）m2n+mn2.（2）-----.

mn

【解题思路】先将二次根式化为最简形式，再利用平方差、完全平方公式简化计算；遇到分母含二

次根式的情况，进行分母有理化。解题时注意运算顺序，合并同类二次根式，最后代入数值求值（需

注意取值范围）。

【★★题型221二元一次方程组的实际应用

1.（24-25六年级下•上海金山•期末）某快递公司为应对〃618”购物节，根据网站预售情况，提前安

排了分拣员，如果1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹；2名熟练分拣员和3名新

手分拣员一天能分拣140件包裹.

⑴每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？

（2）如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在5小时内送完所有包裹；若

将速度提高15千米/小时，行驶3小时后，还剩85千米的路程未完成配送.求快递车的总配送路程

是多少千米？

2.（24-25七年级下•广西崇左•期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路.若

让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还

需20天才能完成，这样只需费用110万元问：

⑴甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？

（2）甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？

3.（22-23八年级上•河南平顶山♦期末）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈

妈.已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.

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⑴求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？

⑵小美准备买康乃馨和百合共11支，旦康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费

用为卬元.

①求•与x之间的函数关系式：

②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用.

4.（24-25七年级下•四川绵阳•期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我

问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是:

如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.

⑴该店客房有多少间？房客有多少人？

⑵假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费200钱，且每间客房最

多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠.若诗中众客再次一起入住，他

们如何订房比较合算？

【解题思路】解决二元一次方程组实际应用问题，核心是先找准题目中的两个等量关系，设出对应

的未知数，列出二元一次方程组并求解；对于涉及费用、方案设计的拓展问题，可结合求出的单价、

效率等，进一步构建函数关系式或计算不同方案的成本，利用函数性质或数值对比确定最优方案，

全程需注意未知数的实际取值范围，确保解符合题意。

【★★题型23]一次函数的实际应用

1.甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店.甲骑自行车，乙步行.甲到书店购书后按原

路返回到学校时，乙恰好到达书店.图中折线。-4-B-C和线段O。分别表示甲乙两人离学校的距

⑴求甲离学校的距离与时间x的函数关系式，并写出x的双值范围；

⑵在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距2km?

2.（24-25八年级上•四川成都・期末）4、8两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（min）

的函数关系如图所示，其中力品牌收费方式为“，8品牌的收费方式为功.

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⑴分别求出必，为与X的函数关系式；

⑵已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20kin/h.小明可骑力品牌或8品牌电动车去上班,

若小明家到单位的距离为8km,那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？

3.（25-26九年级上•广东深圳•期中）第十五届全运会将于2025年在粤港澳三地联合举办，口号为“激

情全运会，活力大湾