数列全章14大重点题型归纳（必考70题专项训练）原卷版-2025-2026学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

数列全章重点归纳（14大题型必考70题专项训练）

1.（2025而三•全国・专题练习）已知数列册满足％=3,即+]=即+：—焉，则斯=（）

A.4+-B.4--C.2+-D.2--

nnnn

2.（24-25高二下•陕西•期中）已知数列—心…，则该数列的第36项为（）

A.-36B.36C.-6D.6

3.（24-25高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知数列｛Q”｝的各项为正数，且的二2,九成-。八%―1—（n+1）

0^-1=0（n>2）,则即=（）

1

A.an=n+1B.an=2nC.an=3n—1D.an=—

4.（25-26高二上•甘肃平凉•阶段练习）已知数列｛斯｝满足的=1,nan=（n+2）an+i»则数列｛%｝的通项

公式是.

5.（2025高二•全国•专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

42-262-382-4

田9，27,81；

(2)-1,7,-13,19；

(3)0.7,0,77,0.777,0.7777；

O1524

(4)1，『~7f

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题型2\数列的最大（小）项

6.（25-26高二上・江苏苏州•期中）已知数列｛Q7J的通项公式为Qn=|^mWN•，则数列｛an｝的最小项是

)

A.第1项B.第6项C.第7项D.第13项

7.（25-26高二上•四川成都•阶段练习）已知数列｛即｝的通项公式为即=春，前n项和为右，则下列结论

错误的是（）

A.｛%｝的最小项是。7=-5,最大项是他=6

B.当n=7时，S”最小

C.VnEN",Q“<Qn+l

D.SneN*,an<an+1

x

8.（24-25高三上•重庆•阶段练习）数列｛斯｝、｛6J满足：Qi=8,an-an_i=8n（neN,n>2）,bn=y/an+1

得）,，则数列｛0｝的最大项是（）

A.第7项B.第9项

C.第11项D.第12项

2

9.（25-26高二上・甘肃兰州•阶段练习）数列｛小｝的前〃项和S〃=n+2n,数列也｝满足垢=n（an+1）

（居）“，则数列也｝的最大项为第项.

10.（24-25高二下•贵州黔东南•阶段练习）己知数列｛斯｝的前几项和为工，满足S“=n2-10n（neN）

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设b=《，求数列｛g｝中的最大项和最小项.

题型3等差数列的判定与证明

II.（2025高三•全国•专题练习）“存在p,qWR,使得斯+即+i=pn+q”是“｛斯｝为等差数列''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

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C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.（24-25高二下•广东茂名•阶段练习）已知数列｛Q“｝和数列｛“,｝满足即="+[一%,an-^=-2bn,则

下列数列为等差数列的是（）

A.｛斯+2｝B.｛斯―：｝C.[y[b^D.｛阑

13.（24-25高二上•广东深圳•期末）若数列｛a｝是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（）

A.（|cinI｝｛a）t+i—

C.｛pan+q）（P，q为常数）D.｛2an+n]

14.（24-25高二上•浙江杭州•期末）已知S〃是等差数列｛斯｝的前〃项和.

（1）证明｛知｝是等差数列；

（2）设〃为数歹。用的前〃项和，若54=为68=56,求7n.

15.（24-25高二下•四川南充•期末）已知数列｛即｝满足即=1,且册+i=墨

（1）求证：｛«｝是等差数列，并求｛/｝的通项公式；

（2）令%=2+2言，求数列｛及｝的前八项和打.

题型4卜等差数列的通项公式。|

16.（2025裔三•全国•专题练习）已知等差数列｛Q.｝的公差为1,2a4+的=。1，则斯=（）

A.n—3B.2n—3C.n—6D.2九一6

17.（24-25高二下•广东茂名•期中）已知｛即｝为等差数列，Sn为其前n项和，若a5=55=5,则通项公式为

)

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A.an=2n—5B.an=2n—l

C.an=-2n+5D.an=2n+5

18.(25-26高二上・北京西城•期中)设等差数列｛%｝的前ri项和为Sn，若。4=7,S5=25,则%=()

A.1B.2C.3D.5

19.（24-25高二下•山东潍坊•阶段练习）已知等差数列｛的｝的前流项和为S”，即=唔一个=一4,则即

20.（25-26高二上•福建宇德期中）已知等差数列｛斯｝的公差不为0，即=25,且%,即1，%3成等比数列.

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）求Qi+。3+­1---1-

题型5熟等差数列的前〃项和及其最值

21.（25-26高二上•甘肃兰州期中）设｛斯｝为等差数列，公差d=-2,为其前几项和，若S13=S&,则二

等于（）

A.n2+21nB.n2+19nC.—n24-19nD.—n2+21n

22.（24-25高二下•四川成都・期末）已知等差数列｛%｝的前〃项和为Sgi>04<0,S8=S10,则S“取最大

值时〃的值为（）

A.8B.9C.10D.18

23.（25-26高二上•甘肃酒泉•期中）记又是等差数列｛a/的前几项和，若2册+i-a”=2n-2,则使工<即

成立的n的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

24.（2025高三・全国•专题练习）已知等差数列｛%｝的前〃项和为％,若国=13,3a2=lla6,则S”的最

大值为.

25.（25-26高二上•甘肃陇南•月考）记S“为等差数列｛斯｝的前几项和，已知。1=-7,S3=-9.

⑴求5｝的通项公式;

（2）求工，并求S”的最小值.

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迦型6

26.（24-25高二下•新疆喀什,期中）下列数列是等比数列的是（）

A.3,9,15,21,27B.1,1.1,1.21,1.331,1.464

C.13,16,19,112,115D.4,-8,16,-32,64

27.（24-25高二下•湖南•阶段练习）在正项数列｛斯｝中，设甲：外什八二。加即，乙：｛%｝是等比数列,则甲

是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

28.（24-25高二上•湖北省直辖县级单位•期末）设数列｛%｝,｛心｝都是等比数列,则在4个数列｛%+匕4,

（an-bn）,｛即勾｝，｛?｝中，一定是等比数列的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

29.（25・26高二上•江苏•阶段练习）已知数列满足%=3,且对任意的neN*,都有0a+i=3an-2n+l（7i€N*）

（1）令b“=a”-77,证明：数列｛brJ为等比数列：

（2）求数列｛斯｝的通项公式，及数列｛斯｝的前几项和国.

30.（25-26高一上・江苏苏州•阶段练习）已知数列｛册｝满足：a（=1,an+1+3an=4n,neN*.

（1）求证：｛a“一7l+g成等比数列：

（2）求数列｛斯｝的前n项和5〃.

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题型7等比数列的通项公式

31.（24・25高二下♦山西太原期中）已知等比数列｛即｝中，的=1，且％，3a2,9a3成等差数列，则即=

（）

A.3nB.卷C.3—1D.白

32.（24-25高二上•江苏宿迁•期末）设&为数列的前〃项和，若3S”+2=2anf则数列｛总的通项公式

为（）

—nn

A.«n=（1）B.an=—Q）C.an=­2D.an=（—2）

33.（24-25高二上•广东•期末）等比数列｛斯｝中。4—的=14,25-a2=28,贝/2。24=（）

2026

A.22023B,22024C.2202sD.2

34.（24-25高二上•山东枣庄•阶段练习）已如数列9〃｝的前n项和为S“，且％=2,an+i=2Sn+2（nE

数列｛册｝的通项公式为.

35.（25-26高三上•四川成都•月考）等比数列｛QJ中，3=1653=56,且数列｛斯｝单调递增.

（I）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设b=1窕2即，求数歹IJ｛熹二｝的前〃项和兀.

题型8等比数列的前〃项和a

36.（24-25高二下・浙江杭州・期末）已知外是等比数列｛册｝的前〃项和，若。2=2,。9=8%，则Sio=

()

A.1022B.1023C.1024D.1025

37.（24-25高二下•四川乐山•期末）记Sn为等比数列｛册｝的前71项和，若52=8,S4=80,则S6=（）

A.一216B.216C.-728D.728

38.（24-25高二下•安徽合肥・期末）已知等比数列｛斯｝的前〃项和为Sn，若S8+$24=140,且S24=13s8,

则Si6=（）

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A.—30B.40

C.30或一40D.-30或40

7

39.（25-26高三上•福建•开学考试）记S〃为公比大于1的等比数列｛斯｝的前九项和，若由++的=:，

2a3=",则S6=.

40.（25-26高二上・甘肃兰州•阶段练习）已知等比数列｛即｝的各项均为正数，%=2,S〃为其前几项和，且

Si+2S2=S3.

（I）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若S”=254,求n的值.

题型9等差、等比数列的综合应用

41.（2025高三•全国•专题练习）已知正项数列｛即｝为等比数列，且5a2是与3a3的等差中项，若4=2,

则该数列的前5项和为（）

A.意B.31C.4D.以上都不正确

42.（25-26高三上•广东•阶段练习）在等差数列｛Qn｝中，公差dHO,念是的与。4的等比中项.已知数列

%,。3，。心，队2，…，。公，…成等比数列，则数列伙n｝的通项公式为（）

Hn+1nZ,

A.kn=3B.kn=3C.kn=2-3D./cn=1-3

43.（24・25高二下•四川眉山•期末）设｛1｝是以2为首项,1为公差的等差数列,｛%｝是1为首项,2为公

比的等比数列，记Mn=+ag+,•,+%.，贝中不超过2025的项的个数为（）

A.8B.9C.10D.II

44.（25-26高二上・江苏苏州•阶段练习）己知数列｛斯｝是等差数列，数列出八｝是公比大于0的等比数列.且

=仇=2,a2=b2,b3=a2+4.

（I）求｛%｝和｛b｝的通项公式;

（2）记数列｛|即一11|｝的前n项和为土，求S16.

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45.(25-26高三上•宁夏银川•期中)已知等差数列｛斯｝满足由=5,a2+a5=2Qf等比数列｛匕｝是首项为1

的递增数列，且岳+必=。2—1.

⑴求数列｛%｝与｛bn｝的通项公式:

(2)设。=anbn,求数列｛c1J的前九项和丁小

46.(25-26高二上・甘肃庆阳•期内)已知数列｛斯｝的前〃项和为外,且S〃=*i〃-15WN*).设以=21og3登

+1,则TT---F.1.—:)

Sblb2+Sb2b3"!%_1加

A---R-1—cnlnn_1.

八.2n-3d2n-l2n-lU，2n-3

47.(24-25高二上•江苏淮安・期末)数列｛即｝满足ri即+i=3(九+1)即，即=3,数列｛册｝的前n项和又为

()

.15n2+9〃

A.「一B.n-3n

C.1+(14"8)3—2D.^+(^-l)3n+1

48.(24-25高二下•河南南阳・期中)已知数列｛的｝满足即=1,an+1=俨八谶^数’则数列｛斯｝

的前20项和S20=.

49.(2025•上海•模拟预测)已知/•(幻二*2+),数列｛斯｝的前n项和为右,点(n,Sn)(riEN")均在函数

y=f(x)的图象上.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若g(x)二昼，令bn=。(蠹)5eN"),求数列｛砥｝的前2024项和％024.

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2

50.（25-26高二上•福建龙岩•期中）设数列｛册｝的前〃项和为Sn，Sn=n+n,出力是等比数列，d=1,

,a2a3

b2=—

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）求数歹4机+以｝的前〃项和7V

题型11数列与不等式综合

51.（24-25高二上•黑龙江•期末）在等比数列｛&｝中，>=2,4a4,2a5,。6成等差数列.若也=斯+2x

（一1）“，且劝升1对任意九E*恒成立，则实数2的取值范售是（）

A.（0,1）B.（1,+co）C.Q,l）D.[1,+oo）

52.（24-25高二下•安徽•阶段练习）已知数列fa”）满足2斯即+1+。e=3即，且Q=白，则使不等式熹+

：+…/V100成立的九的最大值为（）

«2«n

A.98B.99C.100D.101

53.（24-25高二下•河北•期末）已知又为数列｛册｝的前ri项和，且S〃=2an-2,若2斯>21峥即+3对任意

正整数n恒成立，则实数入的取值范围为.

54.（25-26高二上•江苏南通•期中）设等差数列｛a”｝的公差为d,且d>l,令b=啜，且3a2=3%+

的，+。2+。3+力1+历+83=21.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设不等式（一1）"：<对任意正整数〃均成立，求实数a的取值范围.

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55.（25-26高二上・甘肃兰州•阶段练习）已知正项数列｛斯｝的前几项和为Sn，且2疯=即+1.

（1）求数列｛册｝的通项公式：

（2）设"=盘:？数列｛%｝的前n项和为人求证：Tn<

（3）若不等式白+£1一+［一+…+:£log2（7n-1）一:对任意的nWN*都成立，求实数m的取值范围.

UJI+1371+2^2nD

题型12数列的实际应用

56.（24-25高二下•四川眉山・期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰山的数学著作，书中有如下问题:

“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：

“有大夫、不更、簪袅、上造、公上（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数

成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（）

A.31钱B.32钱C.33钱D.34钱

57.（24-25高二下•四川广安•期中）像法统宗少是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远

看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为

上一层的两倍，共有511盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.

A.12B.14C.16D.18

58.（24-25高二•全国•随堂练习）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加

10%.从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元.

A.1.1%B.l.l5aC.10x（l.l10-l）aD.11x_l）a

59.（24-25高二下•辽宁沈阳•期中）小李在2025年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家

电，在购买第一个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025

年12月1口最后一次还款），月利率为r.按更利计算，则小李每个月应还元.（用a,r表示）

60.（24-25高二上•全国•课后作业）“绿水青山就是金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地

区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进吁绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为

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绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第九年绿洲面积为册万平方千米.

(1)求每与的关系;

(2)判断｛。〃一孑是不是等比数列，并说明理由；

(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%?(Ig2x0.301)

题型13数学归纳法

61.(24-25高二下•四川绵阳•阶段练习)用数学归纳法证明“I?+22+...+九2=3(九+1)(2九+1)”时，由

?1=k(％6")的假设证明?1=自十1(46")时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为()

A.永(k+l)(2k+l)B.兴(k+l)(2k+3)

C.轴+l)(k+2)(2k+3)D.&(k+l)(2k+l)(2k+3)

62.(24-25高二下•全国•课后作业)用数学归纳法证明：I2+22+-.•+n2+•-.+22+I2=1n(2n2+1),

第二步从k到k+1,等式左边应添加的项是()

A.(好+1)2B.k2+l

C.(k+l)2+k2D.(k+l)k2+2F

63.(24・25高二上•上海嘉定・期中)利用数学归纳法证明”(n+l)(n+2)...(n+n)=2"

xlx3x...x(2n-l),〃EN・”时，从“九二k"变到F=k+「耐，左边应增乘的因式是.

64.(2025高三・全国・专题练习)用数学归纳法证明不等式：1+专+专+…+专＞2(赤，1-1)(九£").

65.(25-26高二上•全国•单元测试)(24-25高二上•全国•课后昨业)用数学归纳法证明：11"1+设?〃一】

(n€N*)能被133整除.

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数列新定义问题a

66.（24-25高二下•河南南阳•阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出

了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或

高次差数成等差数列.如数列1，3,6,10,前后两项之差组成新的数列2,3,4为等差数列，这样的数列

称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1,5,12,22,35,则该数列的第45项为（）

A.3015B.3025C.3022D.3122