第一章《直角三角形的边角关系》同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第一章直角三角形的边角关系

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.2cos60；（—1）°的值为（）

A.6+1

2.如图，拦水坝的横断面为梯形ABC。，AF=DE=6m,斜面坡度/=1:1.5是指坡面的铅

直高度".与水平宽度板的比，斜面坡度i=l:3是指力芯与CE的比.根据图中数据，求出

斜坡A3的长为（）

片1:1.5/=1:3

FE

B.3小C.3而

3.如图，东西方向上有4。两点，点8在点A的北偏东60。方向上，在点C的北偏西45。

方向上，则下列说法正确为是（）

J3

A.cosZ.BAC=—B.cosZBCA<—

22

C.lanN6AC=lD.UuiZ..BCA>1

4.如图所示，在坡度为I：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）•是6米,

则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（）

A.6米B.3石米C.3米D.12米

5.如图，将边长为4的菱形纸片人BCO折叠，使点人恰好落在对角线的交点。处，若折痕

EF=273,则ZA=()

A.120°B.100°C.60°D.30°

4

6.已知A,B是两个锐角，且满足sin2A+cos2B=—t,cos"+sin»=/'则实数,所有

4

可能值的和为（）

A.T5

B.C.1D

3-T

7.计算tan60。的值为（)

A.1B.C.2D-T

8.王明同学遇到了这样一道题，V3tan（a+10°）=l,贝!锐角〃的度数为（）

A.40°B.30°C.20°D.10°

9.已知sinA=0.98l6,运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）,按下的第一个键是

()

A.sinB.DMSC.D.2ndF

10.cos60。的值等于)

B.c.与D.

~2T

H.某飞机于空中4处探测到目标C,此时飞行高度AC=x米，从飞机上看地面控制点3的

俯角为则飞机A到控制点8的距离为（>米.

C.D.xcosa

cosa

3

12.在RtZ\A8C中，ZC=90°,sin3=g,A8=10,则8c的长是()

A.6B.8C.6x/3D.8x/3

二、填空题

13.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心。

的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OAOB,此时各叶片影子在点M右侧

成线段CQ,设太阳光线与地面的夹角为a,测得lana=1,MC=K5m,CD=I3m,风车

J

转动时，叶片外端离地面的最大高度等于—m.

14.在心△A8C中，ZC=90°,AC=\,BC=C，则cos/l=.

15.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值如果等腰

三角形的腰长为2,“内角正度值”为45。，那么该三角形的面积等于

16.如图，VABC中，48=47,乙4=45。)。的垂直平分线分别交相,"?于。,后两点，连

接。D,如果八£>=2,那么tanNBCZ)=.

17.如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高

度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4,现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D

与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过一米.

三、解答题

18.小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水

平地面8c和斜坡面CD匕测得旗杆在水平地面上的影长8C=16m,在斜坡坡面上的影长

CD=10m,太阳光线AO与水平线所成的角为30。.

⑴若斜坡CD的坡度是1：后,求点。到旗杆的距离；

(2)若太阳光线A。与斜坡坡面。。的夹角为70。，求旗杆A8的高度；(精确到1m).(参考数

据：sin4()°«0.64,cos40°«0.77,tan40°«0.84,收=1.4,0=1.7)

19.一船自西向东航行，在4得到消息，在其北偏东53。方向，距离30海里的点3处，测

得有一暗礁群在以点8为圆心，1()6海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行

有无触礁的危险?说明理曰.(参考数据：sin53cos53tan53右。1.73)

20.用如图的方法可以较简便地计算出tan22.5。的值，请你仿照这种方法，求：sin75。的值.

21.计算：4sin3()—&cos45°—Gian30+2sin60

22.如图，在RtAA6c中，ZAC2?=90°,。。_143于点。，BC=3,AC=4,设/8CO=Na,

求sina,cosa,tana.

23.如图，在R/△人BC中，N84C=90。，点。在BC边上，且△/WO是等边三角形.若/W=2,

求△ABC的周长.（结果保留根号）

BDC

24.如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15。的坡面以5千米/时的速度行至D处，用

了12分钟，然后沿坡角为20。的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点处，用了10分钟，

求山高（即AC的长度）及（即BC的长）（精确到0.01千米）.

《第一章直角三角形的边角关系》参考答案

题号1234567891()

答案DBBBACBCDD

题号1112

答案BB

1.D

【详解】原式=2xg1=0.

故选D.

点睛：a°=\,"0.

2.B

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理.根据题意求出/〃；，利用勾股定

理即可求解.

【详解】解：根据题意得芸=白=5,

B卜1.53

VAF=6m,

3

BF=-AF=9m,

2

*：ZBFA=90°,

・，・AB=JBF2+AF?=3mm，

故选：B.

3.B

【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判

断即可

【详解】解：A、根据图象得/刚。=90°-60。=30°,

•••cos/84C=cos30o=立，选项错误，不符合题意；

2

B、根据图象得N8c4=90。-45。=45。，

•••cosZ.BCA=cos45°=—<—,选项正确，符合题意；

22

C.tanZBAC=(an30°=^,选项错误，不符合题意；

3

D、tanN4cA=tan45。=1,选项错误，不符合题意；

故选：B

4.B

【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离.

【详解】解：•・•相邻两树诃的水平距离是6m,坡度为1：2.

・•・垂直高度为3m.

根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是库行=3石(m)

故选B.

【点睛】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tana(坡度)=垂直高度：水平宽度.

5.A

【分析】依题意，连接AC,则两条对角线交于点0,可得△43。为直角三角形，进证得

/B4O=60°,又ABC。是菱形，所以可得4=120。；

【详解】如解图，连接AC，则两条对角线交于点0，

点A沿七产折叠与点。重合，・•・£/垂直平分AO,

,/AO1BD,AO1EF,：.EF//BD,

・•・E/是△A8O的中位线,JEF=^BD,

BD=4G，・，・BO-DO—gBD-2g,

..•、/即_80_2退

•AB=4，••cosN48O=----=------=—»

AB42

AZA80=30。，・•・/8AO=60。，

・：四边形A3CO是菱形，平分NBA。，••・4=120。；

故选A；

【点睛】本题主要考查菱形和直角三角形的性质，关键在利用特殊角的三角函数值进行求解;

6.C

【分析】本题考查了同角三角函数的关系，利用同角的正弦的平方加它的余弦的平方等于1,

即可求解.

5a

【详解】解：-A,8是两个锐角,且满足sin?A+cos?6=乙，cos2zl+sin2B=-r,

44

53

二.sin2/4+cos2A4-sin2fi+cos2B=—t+—t,

44

即(sin2A+cos2A)+(sin2B+cos28)=2f,

vsin2A+cos2A=l,sin25+cos28=1,

2r=2,

解得f=l，

故选：C.

7.B

【分析】本题可直接根据特殊角的三角函数值来求解tan60。的值.本题主要考查了特殊角的

三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关健.

【详解1解：*/tan60°=\j3

故选：B.

8.C

【分析】根据特殊角的三角函数值求解即司;

【详解】W：v73tan(a+10°)=1,

Atan(a+10°)=—,

3

la为锐角,

.*.a+10°=30°,a=20°.

故选C.

【点睛】熟记特殊角的三侑函数值是解答此题的关键.

9.D

【详解】根据计算器求锐角的方法即可得结论.

【解答】解：•・•已知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)的按键

顺序是：2ndF,sin,0,工按下的第一个键是2ndF.

故选：D.

【点评】本题考查了计算器-三角函数，解决本题的关健是熟练利用计算器.

10.D

【分析】根据特殊角的二角函数值可得答案.

【详解】解：COS60O=T，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解，准确计算是解题的关键.

II.B

【分析】本题考查了解直侑三角形，由图得到=利用//的正弦即可求解，掌握正

弦的定义是解题的关健.

【详解】解：由图可得，NB=a,

.AC

..---=sina,

AB

ACx

..AB=----=-----m,

sinasina

故选:B.

12.B

【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可.

【详解】解:在RIZXA8C中，sinB=—=-,

AB5

即与

105

解得：AC=6.

由勾股定理得，BC=>jAB2-AC2=y/\()2-62=8»

故选:B.

13.(10+V13)

【分析】作平行线OP,根据平行线分线段成比例定理可知由环与影子房的比

为2：3,可得OW的长，同法由等角的正弦可得03的长，从而得结论.

【详解】解：如图，过点。作交MG于P,过P作PNLBD于N,则OB=/W,

AC//BD,

：.AC//OP//BD,

r)Arp

,ZEGF=NOPM,

OBPD

-：OA=OB,

：,CP=PD=-CD=6.5

2t

••・M?=CM+4=8.5+6.5=15,

tanZ.EGF=tanZ.OPM,

.EFOM2

FGMP3

AOM=-xl5=l()

3

*：DB//EG,

：./EGF=/NDP,

・•・sinZEGF=sin乙NDP,即g二世，

V136.5

/.OB=PN=岳,

以点。为圆心，。4的长为半径作圆，当08与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大,

其最大高度等于(10+45)米.

故答案为：（10+旧）.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

14,乌坛

33

【分析】根据勾股定理求出斜边A8的值，在利用余弦的定义直接计算即可.

【详解】解：在•△AC8中，ZC=90°,AC=\,BC=O,

.\AB=yjAC2+BC2=心咳及了=&，

・・・1x/3

c。生生==

AB3T

故答案为：立.

3

【点睛】本题主要考查锐用三角函数的定义，解决此类题时.，要注意前提条件是在直角三角

形中，此外还有熟记三角函数的定义.

15.1或2

【分析［设最小角为x,则最大角为x+45。，再分情况讨论：当顶角为x+45。时，由三角形

内角和可求得x=45。，由此得到三角形为等腰直角三角形，从而求得三角形的面积；当顶角

为x时，由三角形内角和定理可求得x=30°,再求得CD的长度，再从而求得三角形的面积.

【详解】设最小角为”,则最大角为x+45。，

①当顶角为3+45。时，则％+%+%+45。=180。，

解得X=45。，

・••三角形为等腰直角三角形，则三角形的面积=gx2x2=2；

②当顶角为X时，则x+x+45o+x+45o=180°,

解得x=30。，

・••三角形为顶角为30度的等腰三角形，

如图所示：作C3_LAB于。，则A8=AC=2,ZA=30°,

二•三角形48c的面积=g3W=gxlx2=］；

综上所述，三角形的面积为：1或2.

故答案是：1或2.

【点睛】考查了解直角三角形的应用，解题关键是利用解直角三角形的方法求得三角形的边

长.

16.V2-I

【分析】先证明△BCD为直角三角形，再运用三角函数定义求解.

【详解】解：:。笈是AC的垂直平分线，

.AD=DC=2,ZAED=W,

;ZA=45°,

/.ZACD=45°,

・•・N8OC=NA+NACO=90°,

JZADC=90°,

•*-AC=>JAD2+DC2=2>j2,

:・AB=2垃,80=2夜-2，

tanZBCD=—=2^-2=>/2-1,

CD2

故答案为：6-1.

【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质、三角形的外角性质和正

切函数的定义是解题关犍.

17.BD的长为2.4米.

【详解】如图，点D与点C重合时，BC=BD,ZBZCB=ZCBD=ZA,

.tanA=—,

2.4

•••设BfB=x米，贝ljBfC=2.4x米,

在R(AB'CB中，•?NB'=90。，

ABB^B^BC2,

即：x2+(2.4x)2=26,

解得x=l(负值舍去)，

/.BD=B*C=2.4米.

故BD的长为2.4米.

18.(1)点。到旗杆A8的距离约为25m

⑵旗杆A8的高度约为20m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用；含30。直角三角形的性质；

(1)过点。作。交48于点E,过点交OE于点尸，利用CD=IOm,

笠=专，可求出。尸的长度，即可确定点。到旗杆48的距离；

(2)利用NA/)E=30。，〃DC=7伊，可得NC£>E=40°,在产中利用三角函数即可

求出。尸、DF、OE的长度，在R^AOE中求出AE的长度，即可确定旗杆AB的高度：

【详解】(1)解：如图，

A

、

、、

、、、

E1--------------f-yD

BDO______LC;

过点。作力E/AR交AR于点E,过点、C作CF人DE交DE干点、F,

则四边形4£7・'C是矩形，

:.BE=CF,BC=EF=\6(m).

丁斜坡CD的坡度是1：G，CD=10m

„„CF1

即:而=耳，

设CF=x»DF=>/3x,

在RtZXCO尸中，根据勾股定理得V+(Gx)2=102,解得x=5,

，DF=x/3x=5>/3®8.5(m),

DE=DF+EF=}6+S.5=24.5«25(m)

，点D到旗杆AB的距离约为25m.

(2)

A

根据平行线的性质得：NAO£=3()。,

ZAZX7=70°,

，ZCD£：=70°-30°=40°,

在RtZXCDF中,

CF

Vsin40°=—,

CD

/.CF=BE=CDsin40°«10x0.64=6.4m，

DF

Vcos40°=—

CD

・•・DF=CZ)cos40°二10x0.77=7.7m，

/.DE=DF+EF=\6+7.7=23.7m.

在中,

—噎

*,AE=DE-tan30°=23.7xu13.9m.

・••AB=AE+BE=\3.9+6.4=20.3«20m.

工旗杆A8的高度约为20m.

19.无触礁的危险，理由见解析

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，关键是如何构造直角三角形并知道

求哪一条线段的长.作于点C,在RIZXA8C中，由cosNABC=黑，变形得

AB

4C=A"cosNA3C,再求解即可.

【详解】无危险.

作比」/W于点C,

在RlAABC中，/A8C=53",

Qcos/ABC=吃,

AB

BC=ABcos/A3。=30xcos530=18>1o6h17.3,

••轮船继续沿正东方向航行无触礁的危险.

4

【分析】此题考查的知识点是解直角三角形，解答本题的关键是根据阅读材料构造含30。的

直角三角形，再作辅助线得75。角的直角三角形.构造其中/。=90。.443。=30。,

延长CB到。，使4O=A从连接4。，根据构造的直角三角形，设AC=a,用。表示出C。，

即可求出sin75。的值.

【详解】解：构造汝△A6C,其中NC=90。，NA6c=3()0,延长C6到。，使6D=A6,

连接AD»

..ZDAC=75°,

设AC=«则3Q=A3=2AC=2。，BC=dAB2-AC?=瓜，

QCD=BD+BC=（2+收a,

/.AD=\IDC2+AC2=J8+4百。=（&+㈣a,

（2+6）。&+6

.'.sin750=---=

AD（五+巫）a4

21.73

【分析】根据特殊三角函数值即可解题.

【详解】解：3言＞第也赤()°/°°

2—必叵—'@+2也

2232

=73

【点睛】本题考查了特殊的三角函数值得化简求值，属于简单题，熟悉三角函数值是解题关键.

343

22.sin(7=-,cosa=—,tan«=—

554

【分析】根据等角的余角相等，可得NA=Na,再根据勾股定理求出AB的长，即可求解

【详解】解：•「NACB=90,

,Za+ZACD=90\

yCDIAB,

，ZA+/ACO=90.

・・・ZA=Na.

在RtAABC中，乙4cB=9