二次函数和方程、不等式综合

二次函数和方程、

不等式综合

模块一二次函数和方程综合

模块二二次函数和不等式综合

模块一：二次函数和方程综合

1.函数y=+々和二次函数y=+c的交点

y=ayx+bx

(1)交点求解，联立方程组「,并代入求解.

y-a-X+b2x+c

y=a,x+/?!

(2)交点个数，联立方程组(,消元得到一元二次方程，看判别式(△).

2

y=a2x+b2x+c

y=a}x+b1

(3)交点关系，联立方程组(,看判别式(△),再用韦达定理.

2

y=a2x+b2x+c

2

2.一元二次方程a1x+bi=a2x+b2x+c的解也可以看成函数y=a}x+b}和二次函数

2

y=a2x+b2x+c的交点的横丝标.

模块二：二次函数和不等式综合

1.数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式.

2.根的分布：

一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二

次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来

研究是非常有益的.

(1)0分布或k分布

m<X]<x,<nmv$<n<p<x2<q

已知二次函数y=r-x+c.

(I)若点92,2〃-1)在二次函数y=Y-x+c的图象上，求此二次函数的最小值：

(2)若。(2,y)、2)关于坐标原点成中心对称，试判断直线与抛物线)，=d—x+c+2的

8

交点个数，并说明理由.

n=2+c

【解析】(1)由题意得2〃…2+c，解得

.•.二次函数y=x2-x-1的最小值是一；.

(2)•・•点。、E关于原点成中心对称，

・•.。(2,-2)、E(-2,2),设直线。E为)，=依+0,

-2=2&+力

则有，解得JJ直线。石为了=一.

2=-2k+b8=0

y=-x

,3、3

则,3,得/+c+x=0.即/=_c_g.

y=X'-X+C+-88

.8

333

①当一c一三=()时，：・。=一三时，方程f=一°一三有相同的实数根，

OOO

即当c=一一时，直线y=r与抛物线y=/-X+C-—有1个交点.

88

333

②当一。一＞。时，时，方程』=_c-三有两个不同实数根,

888

33

即当。〈一士时，直线y=-x与抛物线y=V-x+c+—有两个不同的交点.

88

333

③当一C-jV。时，，C＞一£时，方程V=一。一2没有实数根，

OOO

即当C＞-X3时，直线y=-X与抛物线y=x2-x+c+：3没有交点.

【教师备课提示】这道题主要考查判断图像交点的情况.

(1)抛物线y=V+5x+a2与一次函数y=ar+2a-1有交点，则。的取值范围

(2)已知函数y=〃涓-3x+2(/〃是常数)，若一次函数)，=x+l的图象与该函数的图象恰好只有一

个交点，则交点坐标为.

【解析】(I)-3WaWg,且aw0,

(2)①当〃?=0时，函数y=nix2-3x+2为一次函数y=-3x+2,

15

令：-3x+2=x+l,解得x=—,，交点为>-4-

44

②当〃zWO时，函数y=-3x+2为二次函数.若一次函数y=x+l的图象与函数

y=〃i/—3x+2的图象只有一个交点，令〃氏2-3犬+2=犬+1,/nv2-4x+l=0,由△=(),

得m=4,此时交点为(g,|).

【教师备课提示】这道题主要讲解已知交点的情况，求参数的值或交点.

已知二次函数x一2X一3及一次函数y2=x+m.

(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与A-轴的交点坐标；

(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿工轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个

新图象，请你在图中而出这个新图象，并求出新图象与直线其=X+有三个不同公共点时打的值.

【解析】(1)二次函数图象的顶点坐标为(1,一4),与x轴的交点坐标为A(-1,0),830):

(2)①当直线位于乙时，此时4过点A(-LO),/.0=-l+m,即〃?=1.

②当直线位于6时，此时12与函数)'=—V+2A:+3(-14x43)的图象有一个公共点.

13

方程1+m=一月+2x+3有一根，，△=1一4(，〃-3)=0,Hpm=—

4

当"?=肥时，x=4满足-1WXW3,由①②知，“7=1或〃?=上.

424

【教师备课提示】这道题是二次函数翻折后，和直线交点的情况.

(I)抛物线)，=/+而1+与X轴两交点间距离•的最大值为

(2)设二次函数y=aP+6+c经过点A(O,2)、8(1,-1),且其图象在上•轴上所截得的线段长为

2a.求这个二次函数的解析式.

【解析】(1)工；

4

c2,c2

(2)由题意得，,即(，一：、、因此)，=加-(〃+3*+2.

a+0+c=-1,h——(a+3),

设图象与X轴的交点坐标为(内,0),(x2,0),则

不和上是方程or2-(a+3)x+2=0的两根，

由韦达定理，$+%=生3，不工=2,

aa

4x

・•.2V2=|A--X2|="(.+w)2~a，

9

整理得7a2+2a-9=0,则a=1或以=一亍.

.2,r:9o12

y=x-4x+2,y=——x~------x+2.

【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和无轴交点关系，转化为方程的韦达定理，当然也可以

给孩子们总结I芭-占|=叵.

\a\

在平面直角坐标系xO)，中，抛物线y=(lx2+云+c过点(2,2),且当x=0时，y取得最小值1.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点C(l,3),试探索是否存在满足下列条件的直线/；①直线/过点。(1,3)；②直线，交抛物

线于E、尸两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在，请求出直线/的函数解析式：若不存在，请说

明理由.

【解析】(I)y=-x2+1;

4

(2)设该直线为y=k(x-1)+3,E&，x),F(x2iy2),

所以王，k,是方程一f+1=左(］一］)+3的根，/.+x=4kxx=4k-S,

42tt2

.,z.4k、4K—2A+61

37+必=&(玉+彳2)-2&+6=4A-2&+6,—=1,---------------=3,k=Q

所以直线解析式为)：='x+3.

,22

【教师备课提示】这道题主要考查二次函数和直线交点关系，转化为方程的韦达定理.

(1)二次函数y=o^+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程方2+/回+。+3=0的根的情况是()

A.有两个相等的实数根

B.无实数根

C.有两个同号不相等实数根

D.有两个异号实数根

(2)若方程IV-4x+3l=加有两个相异的实数解，则，〃的取值范围是.

【解析】(1)D:

(2)〃?=()或

【教师备课提示】例1一例5主要是函数的交点问题，转化方程的根的情况或根系关系去进行计算，

这道题主要讲解方程的解也可以想象成函数的交点.

已知二次函数y=V+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为,与轴的交点

坐标为(0,-3).

(I)求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另一个交点的坐标；

(2)根据图象回答：当x取何值时，

2

【解析】(1)y=x-2x-3t(3,0);

(2)-1<x<0或2Vx<3.

【教师备课提示】这道题主要讲解通过函数图象解不等式，数形结合.

(I)已知关于x的方程f+。〃-5口+〃?-2=。有实根，且方程的两根都大于0,则实数用的取值范

围是•

(2)已知方程ad+(a+2)x+9a=0的两个实根弓和七，且8<1<七，求实数〃取值范围.

【解析】(1)设y=Y+(〃?一5)x+〃?一2,

因为方程丁+(川一5口+小一2=()的两根都大于0,所以

△=(m-5)2-4(〃?一2)20

m<3或〃？>11

・一丝B>0解得，

m<5,2Vm《3.

2

m>2

m-2>0

(2)设yuor2+(“+2)x+9a,由题意得，。工0

方程以2+(a+2)x+9。=。的两个实根内和々，且N<1<x2,

・•・(1)当a>0时，由题意得，a+(a+2)+9〃vO

解得〃<一二，J此时，无解；

II

(2)当〃<0时，由题意得，。+(4+2)+9”>(),

22

解得。>---,:.------<«<0.

1111

【教师备课提示】这道题主要讲解根的分布，主要控制函数的开口，对称轴，判别式和函数端点值.

(I)已知关于x的方程/一(2-。比+5-。-0的•个根大于0而小于2,另•个根大于4而小于6,

则实数。的取值范围是.

(2)若关于x的方程4工2-2"a+〃=0的解都位于Ovxvl的范围中，求正整数,〃，〃的值.

【解析】⑴设「=工2_(2-〃)x+5=a,

由题，抛物线与％轴的两交点分别落在(仇2)和(％6)内,

a<5,

5-«>0,a<-5,

a+5<0,

z।1J329

即，a<-----,解得一一vav-5.

3«+13<0,3，5

5a+29>0,29

a>-------

5

・•・满足条件的a的取值范围^--<a<-5.

(2)设y=4x2-2ntx+n,

因为方程/(x)=O的两个解都位于Ovxvl中，所以〃?，〃满足条件

4〃?2-16〃20①

0<-<1②

4

〃>0③

4—2机+〃>0④

由②得0v〃?<4,符合条件的小值为I,2,3.由③得〃>0.

把，〃各值代入④，得〃2一2,/?>0,n>2.

1Q

把"？各值代入①，得〃K-,

44

符合条件的机，〃的值是6=2,n=\.

(1)二次函数)，=9+质+%-1的图像与X轴的交点个数.

(2)给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平

行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题：

①直线)，=0是抛物线y=^x2的切线；

②直线x=-2与抛物线产L?相切于点(-2,1)；

4

③直线尸x+A与抛物线y=-x2相切，则相切于点(2』)；

4

④直线y=h-2与抛物线y=—x2相切，则々=±42.

4

其中正确的命题是.

(3)若方程|/一5文|=。有四个不相等实根，则。的取值范围是.

【解析】(1)I个或2个；(2)①③④；

25

(3)0<«<—.

4

2

构造Ji=1X-5x|和y2=Cl.

方程|丁-5X|=〃的解也即函数X与)，2图象的交点.

如图：当Ovav—时，原方程有4个不同实根：

已知：抛物线与x轴交于4-2,0)、8(4,0),与y轴交于C(0,4)・

(1)求抛物线顶点。的坐标；

(2)设直线CQ交x轴于点E,过点8作x轴的垂线，交直线CQ于点巴将抛物线沿其对称轴上

下平移，使抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向

下最多可以平移多少个单位长度？

【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4),

・；C点坐标为Q4),,

・••解析式为y=+x+4=-g(x-l『+|,顶点。坐标为(I9

(2)直线C。解析式为)，="+〃.

h=4〃=4

»'!­:.•・直线C。解析式为y=；x+4,E(-8,0),F(4,6),

k+b=--

222

若抛物线向下移tn人单位，其解析式y=--+x+4-m(m>0),

12,

y=-^x+x+4-〃？ii

由，12,消去兑得一彳k+-x-/,n=0,

y=-x+422

'2

—.•.向下最多可平移:个单位.

488

若抛物线向上移m个单位，其解析式y=-^x2+x+4-m(m>0).

方法一：当人=-8时，y=-36+m,当工=4时，)'=〃?，

要使抛物线与E产有公共点，则—36+〃?W()或〃?W6,.•.()</〃W36,

方法二：当平移后的抛物线过点七(-8,0)时，解得阳=36,

当平移后的抛物线过点尸(4,6)时，6=6,

由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，

综上，要使抛物线与E尸有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移:个单位.

O

已知：丁关于X的函数y=(A-l)f-2履+2+2的图象与X轴有交点.

(I)求人的取值范围；

(2)若西、々是函数图象与x轴两个交点的横坐标(为工立)，且满伏―l)x：+2米2+4+2=4斗

①求k的值；

②当AWA+2时，求y的最大值与最小值.

【解析】(1)当太=1时，符合题意；当Awl时，由&0得&W2.故&的取值范围是

Y2.

(2)©Vx,,.•・*<2且2=1,又(2-l)x：+A+2=2女土，

代入伏-l)x；+2kxl+A+2=4X(X2,得2Z(X］+出)=4玉/.

2k&+2,2k.k+2,.,人」、

.X)+x)=------»不心=-----,2k•-------=4x-------.斛Arl付zo勺=-1,£=2(舍右).