浙江丽水市2025-2026学年第一学期九年级数学期末试卷（试卷+解析）

2025学年第一学期初中教学质量监测九年级数学试题卷

考生须知:

1.全卷共三大题，24小题，满分为120分.考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形

式.

2.全卷分为卷I（选择题）和卷n（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答.卷I的答

案必须用2B铅笔填涂；卷n的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上.

3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号.

4.本次考试不得使用计算器.

卷I

说明：本卷共有1大题，10小题，共30分,请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对

应的小方框涂黑、涂满.

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.己知圆的半径为4,则圆中一条弦的长度不可能的是（）

A.2B.4C.8D.10

2.已知线段。=4,b=9,则力的比例中项线段等于（）

A-6B.6C.18D.36

3.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和180°B.打开电视机，正在播放体育节目

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上D.篮球运动员罚球一次，进框得分

4.在RtZ\A3C中，ZC=90°,AB=5,AC=3,则sinA=()

344

A.-B.-D.-

553

5.已知△ABCs/x。e？，相似比为2:3,若VA4C的周长为6,则小无尸的周长为（

A.6B.8C.9D.12

6.如图，A3是半圆的直径，点C在半圆上，若NB4C=40。，则AC的度数是（

A.40°B.80°C.100°D.140°

7.对于抛物线y=（x-l『+2,下列判断正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是直线x=—1

C.与V轴相交于点（0,3）D.顶点坐标是（2,1）

8.如图所示，小丽将含30。的直角三角板放置在。0中，斜边48恰好是。。一条弦，直角顶点。在圆

外，AC与。。相交于点Q,连接80,测得CQ=lcm,G4=9cm,则。。的半径是（)

A.2>/7cmB.373cmC.4A/7cmD.4\/3cm

9.如图，已知菱形A8CO,AD=4,点E是CD上一点，连接BE,△8CE沿8E翻折，点C的对称点

尸刚好落在边AD上，BF,8E与对角线AC分别交于点G,H,若AF=EF,则C”的长度为

()

A.75+1B.75-1C.25/5+2D.2x/5-2

10.已知二次函数y=o¥?+法+c（awO）的图象过A（—5,yJ,8（—2,%），C（l,y3）,。（4,”）四点,

以下推断：①若为＜%，则y＜乂；②若为〈y，则为＞以：③若y＜%，则为以上推断正

确的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

卷II

说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸

的相应位置上.

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11.正六边形的一个内角的度数为

12.二次函数），=。一1尸+3的最小值为.

13.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏

板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是

14.如图将矩形ABC力绕着点3顺时针旋转得到矩形8比8,点G落在C。中点上，若A6=4,则

AG的长度为

15.如图1,用边长为4个单位长度的正方形制作而成的七巧板，拼成如图2所示的“小马图”放置在平面

直角坐标系中，点A，点B（小马尾巴）在）'轴上，点C,点。，点E（小马脚蹄）在x轴上，则点M

（小马嘴巴）的坐标为.

16.某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1,剪•个直角三角形纸板，在它

的直角顶点A处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线4力.如图2所示，再次在直角三角形

纸板点E处系一根线，其中£为A8边上的一点，画延长线后尸，交AC于点尸，即可找到该直角三角形

纸板的重心。.若AE=3EB,VA3C的面积为800cm2,则族的面积为cm2.

三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22,23题每题10分，第24题12

分，共72分）

17.已知二次函数y=—（x+l）2+左的图象与x轴交于点4（-2,0）和点儿

（I）求A的值.

（2）将点A沿x轴平移到点8,求平移的距离.

18.如图，在VA3c中，AB=AC.

（1）请在8C边上作一点。，并连接40,使与VA3C相似（要求尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法）.

（2）若AB=3,BC=5,根据你画出的图形，求8。的长.

19.随着A/技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及.在某次消防演习中，消防员用无人机探测

到楼顶。点有被困人员，此时无人机离地面的高度。£=60米，测得A点俯角为30。，。点的俯角为

45°,地面43的距离为120米.

（1）求无人机。处到大楼8C的水平距离.

（2）若消防云梯的最大高度为54米，此时C点的被困人员能否成功获救？（行之1.73）

20.小明参加浙江省城市篮球联赛（浙BA）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有2

个红球和2个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放【可，再摸出一个

球.若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件.

（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果.

（2）求出小明同学获得篮球的概率.

21.图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的。。是其示意图.某学习小组用一根长为7m的笔

直竹竿CZ）去辅助测量，点。在圆弧上，点。在地面A8上，且CO_LA3,测得A8=8m,AD=lm.

（1）若于点E，求OE的长.

（2）求公路隧道轮廓的最大高度.

22.在中，点E是A3上的动点，点G是4c上的动点，连接。七交AG于点尸.

图1图2

（1）如图1,当点E和点8重合，若BF:FD=l:2,求证：点G是3c的中点.

（2）如图2,当点G为BC中点，若石尸二〃。/时，求AGFU的值（用含〃的代数式表示）.

23.已知二次函数），二办2+床一4（。，人是常数，a>0）.

（1）若a=l时.

①试判断点A（2,2〃）是否在此二次函数的图象上？

②已知点〃（1,攵），C'（l+"攵）在二次函数丁=依2+法一4图象上，求女的值.

（2）已知对称轴为直线x=«l<f<3）,若点M（-1,m）和N（2,〃）在该抛物线上，满足加一〃=6,求

〃的取值范围.

24.如图，VA8C内接于。。，A8=AC,点。是上的动点，点后在上.连接DB交

AC于点/，G,且EB=ED，延长AO，BC交于点、H,连接CO.

(1)求证：ZH=ZABD.

(2)若CG=1,GF=3,求A"的长.

,,BC2DG..

(3)若??=针求新最大值•

/\tiJDLJ

2025学年第一学期初中教学质量监测九年级数学试题卷

考生须知：

1.全卷共三大题，24小题，满分为120分.考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形

式.

2.全卷分为卷I（选择题）和卷n（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答.卷I的答

案必须用2B铅笔填涂；卷n的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上.

3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号.

4.本次考试不得使用计算器.

卷I

说明：本卷共有1大题，10小题，共30分,请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对

应的小方框涂黑、涂满.

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.己知圆的半径为4,则圆中一条弦的长度不可能的是（）

A2B.4C.8D.10

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否

合理，即可.

【详解】解：•・•圆的半径为4,

故圆的直径为2x4=8,

故圆中弦长的取值范围是0〈弦长48；

又

，弦长不可能是10.

故选：D.

2.已知线段。=4,b=9,则〃的比例中项线段等于（）

A.-6B.6C.18D.36

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关

键.直接根据比例中项的公式计算即可.

【详解】解：设。，人的比例中项线段为C，

•・"是〃，b的比例中项，

c1=ab-

**<7=4,b=9,

：,c1=4?936.

;线段长度为正数，即c>0,

c=6.

故选:B.

3.下列事件中，属于必然事件是()

A.任意画一个三角形，其内角和为180。B.打开电视机，正在播放体育节目

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上D.篮球运动员罚球一次，进框得分

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事

件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发

生也可能不发生的事件.根据事件发生的可能性大小判断即可.

【详解】解：A、根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和一定为180。，是必然事件，故A选项

符合题意；

B、打开电视机正在播放体育节目，是随机事件，故B选项不符合题意；

C、抛掷硬币正面朝上，是随机事件，故C选项不符合题意；

D、篮球运动员罚球进框得分，是随机事件，故D选项不符合题意.

故选:A.

4.在Rt4ABC中，ZC=90°,A8=5,AC=3,则sinA二()

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出3c的长，再根据正弦的定义求解即

可.

【详解】解：・・•在中，ZC=90°,AB=5,AC=3,

・•・BC=y]AB2-AC2=4^

・-A_BC_4

••SIFLA------——，

AB5

故选：B.

5.已知△ABCsaDEF,相似比为2:3,若VA8C的周长为6,则△/）砂的周长为（）

A.6B.8C.9D.12

【答案】C

【解析】

【分析1本题考查了相似三角形的性质.利用相似三角形周长的比等于相似比来计算即可求解.

【详解】解：••.△ABC历，相似比为2:3,

・•・7ABe的周长:ZXOEF的周长=2:3,

•・•VA8c的周长为6,

设ADE尸的周长为x,则6:克=2:3,

即2x=6x3,

解得x=9.

故选：C.

6.如图，A3是半圆直径，点C在半圆上，若N3AC=40。，则AC的度数是（）

A.40°B.80°C.100°D.140°

【答案】C

【解

【分析】本题考杳了圆周角定理（直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半），关键是

利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解.

【详解】解：如图，连接8C.

•・•A8是半圆的直径,

:.ZACB=90°.

•・•ZBAC=40°,

在中，ZABC=90°-ZBAC=50°.

:・：C的度数为2ZABC=2x50°=100°；

故选：C.

7.对于抛物线y=（x—l『+2,下列判断正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是直线x=T

C.与y轴相交于点（0,3）D.顶点坐标是（2』）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶

点坐标与y轴的交点.根据抛物线的解析式，由。的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和对称

轴，即可得出答案.

【详解】解：抛物线），=（工一1『+2中对称轴为直线犬=1,顶点坐标是（1,2）,

故选项B、D说法错误，

*.*«=1>0»

・•・抛物线的开口向上，

故选项A说法错误，

令.1=0,则y=（o—iy+2=3,

所以抛物线y=（%-1）2+2与），轴相交于点（0,3）,

故选项C说法正确.

故选：C.

8.如图所示，小丽将含30。的直角三角板放置在。。中，斜边恰好是。。一条弦，直角顶点C在圆

外，AC与。。相交于点。，连接测得CD=lcm,C4=9cm,则0。的半径是（）

A.2币cmB.35/3cmC.45cmD.46cm

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证明△8OD是等边三角形

是解答的关键.

连接。8、0D,根据圆周角定理和直角三角形的性质得到/3OD=2NA=60。，AB=2BC,证明

△BOD是等边三角形,利用等边三角形的性质得到03=30,再根据勾股定理求得8C=36,

BD=25，进而可得答案.

【详解】解：连接05、0D,则OB=OD,

,:BD=BD，4AC=30。，ZC=90%

AZBOD=2ZA=60°,AB=2BC,

△BOD是等边三角形,BC2+AC2=AB2=4BC2^

ABC=—AC=3y[3^OB=BD,

3

在中，BD=V^C2+CD2=^(3^)2+l2=2V7>

：・0B=BD=2近，即。。的半径是2j7cm，

故选：A.

9.如图，已知菱形ABC。，4)=4,点E是C。上一点，连接△次花沿既翻折，点C的对称点

厂刚好落在边4。上，BF,既与对角线AC分别交于点G,H,若AF=EF，则C”的长度为

()

A.75+1B.x/5-lC.275+2D.2石-2

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形、相似三角形、平行线的判定与性质，灵活运用相关判定

与性质是解题的关键.

先证△区4/乡△3CE(SAS),得到族=BE=4,再证ACBES^ECH,设C"=x,结合相似比建立方

程求解即可.

【详解】解—：由题可知Ab=M=CE,ABCE%BFE,

.,.BC=BF=4,ZBEC=ZBEF

在/\BAF和ABCE中,

AF=EF

<NBAF=NBCE,

AB=BC

△BA金ABCE(SAS),

..BF=BE=4,

:"BCE=/BEC,

在菱形ABC。中，AF=CE,C4为N8CQ的角平分线,

DFDF

ZDEF=ZDCA=-ZBCE,

2

/BEC+/BEF+ZDEF=ZBCE+ZBCE+-ZBCE=180°,

2

解得NBCE=72°,则NDC4=N8C4=36。,

:"EHC=180°-ACEH-ZECH=180°-72°-36°=72°,

即/CEH=/CHE=72。,则C〃=C£,

NCBE=180°-ZBCE-/BEC=180°-72°-72°=36°，

:"CBE=/BCH=3G,

:.CH=BH,

设CH=x,则BH=CE=x,EH=4-x,

4CBE=NECH=36°,/BCE=NCEH=72°,

:.ACBESAECH,

CBCE4x

——=——,即1,II一=

ECEHx4-x，

整理得x?+4x—16=0，解得工二一2+26或x=-2-2石（舍去）,

即C”=26-2.

故选：D.

10.已知二次函数丁=52+法+«。工0）的图象过A（—5,yJ,B（—2,%）,C（l,y3）,。（4,然）四点，

以下推断：①若必<以，则乂<乂；②若必<必，则）3>以；③若）1<,’3，则必<乂.以上推断正

确的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象性质，需结合开口方向、对称轴与点的距离关系，分析函数值大小的推

断是否成立.

【详解】解•：设二次函数的对称轴为才=力，

•・•对于二次函数丫=⑪2+反1+。（。。0）,当。>0时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当〃<0

时，点到对称轴的距离越远，函数值越小.

①若%：

当〃>0时，

I、2<,’3，

・・・1+21Vg两边平方得（"2）2〈（/.If,展开化简得6〃<—3,

**•h<—，

2

V//<--,

2

：.\h+5\<\h-4\t结合a〉0的性质，

・•・％<”；

当〃<0时，

y2<%，

・・・|力+2|>|〃―1|,两边平方化简得6〃〉一3,

/.|/?+5|>|/?-4],结合a<0的性质，

・•・.K<%，

综上，①正确；

②若必<M:

当〃>0时，

y2<M，

・・・|力+5|诽+2],平方化简得6方>—21,

h>-3.5，

取力=0（满足。>一3.5）,

・.・|0-1|=1〈|0-4|=4且4>0,

・•.旷3<%，与为>乂矛盾，故②错误；

③若%:

当4<0时，

:%<为，

・・・|力+5|>|〃—",平方化简得12%>-24,

*,•h>—2，

取力=0（满足〃>一2）,

V|0+2|=2<|0-4|=4且。<0,

y2>y4»与％<>4矛盾，故③错误；

综上，正确的推断只有1个，

故选:B.

卷H

说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸

的相应位置上.

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11.正六边形的一个内角的度数为°.

【答案】120

【解析】

【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，

先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数.

【详解】解：正六边形的内角和为（6-2八180。=720。，

720°

所以每一个内角的度数为——=120°.

6

故答案为：120.

12.二次函数），=*-1）2+3的最小值为.

【答案】3

【解析】

【分析】根据求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种

是公式法.根据顶点式得到它的顶点坐标是（1,3）,再根据其即抛物线的开口向上，则它的最小值是

3.

【详解】解：二次函数的解析式为y=（x—1）2+3,

根据二次函数的性质可知，抛物线开口向上，对称轴为x=l,

...当x=l时，二次函数》=。-1）2+3有最小值，最小值为3；

故答案为3.

本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

13.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏

板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是_______.

【解析】

【分析】本题考查了几何概率的求法.掌握几何概率的求法是解题的关键.

根据•几何概率的求法：击中飞镖游戏板空白部分的概率就是空白部分的面积与总面积的比值，即可求解.

【详解】解：设小正方形的边长为1,则总面积为42=16，

其中空白部分的面积为1x1x8,

Q1

・•・击中飞镖游戏板空白部分的概率是一二一；

162

故答案为：

14.如图将矩形A8CO绕着点“顺时针旋转得到矩形4瓦6,点G落在CQ的中点上，若AB=4,则

AG的长度为

【分析】本题考查旋转性质、矩形的性质、锐角三角函数、弧长公式等知识,熟记弧长公式，得到NC8G=30。

是解答的关键.

先利用矩形的性质得到NC=NABC=90。，CD=AB=4,再由旋转性质和中点定义得4G=A4=4,

DG=CG=2,利用特殊角的锐角三角函数求得NC3G=30。，则NA3G=60。，然后利用弧长公式求

解即可.

【详解】解：•・•四边形ABC力是矩形，

AZC=ZABC=90°,CD=AB=4,

由旋转性质得3G=A8=4,

•・•点G落在CO的中点上，

:.DG=CG=2,

在RtABCG中，sin/C3G==—=一,

BG42

・・・/CBG=30。，则NA5G=60。，

60TTX44

AG==—71

1803

4

故答案为：§兀.

15.如图1,用边长为4个单位长度的正方形制作而成的七巧板，拼成如图2所示的“小马图”放置在平面

直角坐标系中，点A，点8（小马尾巴）在y轴上，点C,点。，点E（小马脚蹄）在X轴上，则点M

（小马嘴巴）的坐标为.

【答案】（3+3夜,1+夜）

【解析】

【分析】本题主要考查勾股定理和平面内点的坐标的确定.先根据正方形边长和七巧板分割规则，用勾股定

理算出各板块的边、高、斜边，横坐标从轴向右累加各板块的水平分量，纵坐标从工轴向上累加各板块的

垂直高度即可求解.

【详解】解：七巧板由边长为4的正方形分割而成，各板块边长可通过勾股定理和分割规则碓定：

①②大等腰直角三角形：直角边20，斜边4；

④中等等腰直角三角形：直角边2,斜边2行；

⑥⑦小等腰直角三角形：直角边拉，斜边2；

③正方形；边长也；

⑤平行四边形：短边及，长边2.

点M横坐标=&+2&+1+2=3+3应，

点M纵坐标=&+2+1-2=1+&，

・••点M的坐标为（3+3&,1+0）.

故答案为：（3+372,1+72）.

16.某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1,剪一个直角三角形纸板，在它

的直角顶点A处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线AO.如图2所示，再次在直角三角形

纸板点七处系一根线，其中E为A3边上的一点，画延长线石厂，交AC于点尸，即可找到该直角三角形

纸板的重心0.若AE=3EB,V43C的面积为800cm2,则的面积为cm2.

【答案】360

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1

（需证明），结合相似三角形求出4方与AC的比例，再通过面积公式计算面积.根据直角三角形面积公式得

到的值；利用重心性质得到重心到人8的距离与AC的关系；过重心作A3的垂线，通过相似三角

形的判定得到通过线段比例求出A/与AC的比例；最后代入直角三角形面积公式计算

△4所的面积.

【详解】解：•••△ABC的面积为800cm2,

1

•'­—AB-AC=800,即A8AC=1600.

如图，延长C。交A3于G,连接。G

•・•点。为直角三角形纸板的重心,

，。是BC中点，G是A5中点，

・•・0G是△ABC的中位线，

ADG\\AC,且OG」AC.

!

*,•△Z)OGOOAAOC，

OGDG1

•*«==一,

COAC2

OG1

••--=—・

CG3

作0M_LA8于M,则OM||AC,

**•&GOMsAGCA.

：.OG:CG=OMiAC=GM:AG=\:3,OM=-AC,GM=-AG,

33

：.AM=-AG=-AB.

33

•・・AE=3EB,

31Ab

AE=-AB设AB=4&,则AE=3A,AM=-AB=—

4t331

4k\k

:.EM=AE-AM=3k——=—.

33

\OM||AC,

.•.△EMO^EAF,

5k

.OM_EMm_5,

,~AF~^A~7k~9

3

AF=-AC.

5

I|339Q

.N4£F的面积为一•人产=一二4。,八右=34A•AC=3X1600=360。/

22454040

故答案为：360.

三、解答题(本题有8小题，第17〜21题每题8分，第22,23题每题1()分，第24题12

分，共72分)

17.已知二次函数y=-(/+1):4Z的图象与x轴交于点A(—2,0)和点B.

(1)求攵的值.

(2)将点A沿x轴平移到点B，求平移的距离.

【答案】(1)k=\

(2)2

【解^1?】

【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的性质：熟练掌握二次

函数的性质是解题的关键.

(1)利用待定系数法求抛物线解析式，即可；

(2)令y=。，求出抛物线与工轴的交点坐标，即可求解.

【小问1详解】

解：将4(-2,0)代入y=-*+1)2+&,得y=_"2+l)2+Z,

解得％=1.

【小问2详解】

解：由（1）得卜=一（工+1）2+1二一/一2x,

令y=。，得0=-工2一2工，

解得X=-2,%=。，

所以点8的坐标为（0,0）,

故点A沿x轴平移了2个单位到点B.

18.如图，在VA片C中，AB=AC.

（1）请在8c边上作一点。，并连接AO,使△DA8与VA8C相似（要求尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法）.

⑵若A8=3,BC=5,根据你画出的图形，求的长.

【答案】（1）作图见详解

9

（2）BD=-

5

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及尺规作图，核心是“两角对应相等的两个三角形相似”和相

似三角形的对应边成比例性质.

（1）已知△他（?是等腰三角形AB=AC,NB=NC,△D4Z?与△ABC有公共角28,根据相似三角形

的判定定理，只需作此时4）=80,因此作A8的垂直平分线交边3C于点。，据此用

尺规完成作图；

（2）ADABS^ABC,结合公共角23,可得到对应边的比例关系4—=—,即可计算出3。的长度.

BCAB

【小问1详解】

解：与VABC相似，/DBA=/ABC,

・•・需要=AD=BD,

・••作AB的垂直平分线交边BC于点、D即为所求，如图所示：

解：A。。，26为公共向，AB-3,BC-5,

ABBD3BD

,即一二——

BCAB53

：.BD=-32=-9

55

19.随着A/技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及.在某次消防演习中，消防员用无人机探测

到楼顶C点有被困人员，此时无人机离地面的高度=60米，测得4点俯角为30。，C点的俯角为

45°,地面A5的距离为120米.

(1)求无人机。处到大楼4c的水平距离.

(2)若消防云梯的最大高度为54米，此时C点的被困人员能否成功获救？(右右1.73)

【答案】(1)(120-60V3)m

(2)能够成功获救，理由见解析

【解析】

【分析1本题考查解直角三角形的实际应用一一俯角问题，涉及锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性

质及矩形的判定与性质.关键是通过作辅助线构造直角三角形，将俯角转化为直角三角形的内角，再利用三

角函数求解.

(1)构造垂直辅助线将“无人机到大楼的水平距离”转化为直角三角形的边，通过俯角30。和无人机高度

计算出AE的长度，再用地面总距离A8减去AE得到水平距离；

(2)利用俯角45。计算出。尸的长度，再通过无人机高度OE减去。尸得到大楼被困点。的高度，最后与

云梯最大高度比较判断能否获救.

【小问1详解】

解：如图，过点C作Cb于点方.

•・・DE_L地面，8。_1_地面，CF1DE,

・•・四边形C"方是矩形，

：・CF=BE.

由题意可知：OE=60米，AB=120米，/D4E=30。.

r）F

在Rt^ADE中，tan/DAE=--,

AE

：,AE=-^—.

tan30°

ACA

AE=—f=r=60x—==6OG.

・•・A/3G（米）.

~T

又：BE=AB—AE，

・・.BE=b=（120-60@米.

答：无人机。处到大楼8c的水平距离为（120-6（）6）米.

【小问2详解】

解：由题意可知：ZOC尸=45"

・•・是等腰直角三角形，

：.DF=CF.

由（I）得=120—60百米，

・•・。产=120—606米.

•・•四边形CFE3是矩形，

・・・BC=DE-DF=60-（120-60G）=（6073-60）«60x1.73-60=43.8（米）.

•・•消防云梯最大高度54米,且43.8<54,

・•・C点的被困人员能够成功获救：

答：。点的被困人员能够成功获救.

20.小明参加浙江省城市篮球联赛（浙BA）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有2

个红球和2个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个

球.若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件.

（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果.

（2）求出小明同学获得篮球的概率.

【答案】（1）12种，列表见解析：

【解析】

【分析】本题考杳了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

（1）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可；

（2）由（1）得，两次摸出的球颜色相同的结果有4种，然后通过概率公式即可求解.

【小问1详解】

解：（1）列表如下：

红1红2黄1黄2

X

红1红1红2红1黄1红1黄2

红2红2红1红2黄1红2黄2

黄1黄1红1黄1红2黄1黄2

黄2黄2红1黄2红2黄2黄1

所以摸球所有可能的结果共有12种；

【小问2详解】

解：由（1）得，两次摸出的球颜色相同的结果有4种，

41

所以小明同学获得篮球的概率P=.

123

21.图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的OO是其示意图.某学习小组用一根长为7m的笔

直竹竿CO去辅助测量，点。在圆弧上，点。在地面上,且CO_LA8,测得A3=8m,AZ)=lm.

（）

1ALDELB

图1图2

（I）若OELAB于息七,求。后的长.

（2）求公路隧道轮廓的最大高度.

【答案】（1）3m

（2）8m

【解析】

【分析1本题考查垂径定理与勾股定理的实际应用，关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用“同

圆半径相等”的性质设未知数列方程，将实际问题转化为几何线段计算.

（1）利用垂径定理确定A8的中点E，结合已知AO的长度，通过线段的差计算OE的长；

（2）先作OF_L8构造矩形转化线段，再用勾股定理分别表示两个直角三角形中的半径，根据半径相等

列方程求OE,最后结合半径求出隧道最大高度.

【小问1详解】

解：・.・OE_LAB,AB=8m,

.0.AE=-AB=4m，

2

又「AD=lm，

:,DE=AE-AD=4-\=3m；

【小问2详解】

解：如图，过点。作OF_LCO于点”，连接04、0C,延长E0交弧AC3于点G,.

G

•：CDLAB,OE1AB.OFLCD,

・•・四边形OEOF是矩形，

：,OF=DE,DF=OE.

由(1)知£>E=3m,故0F=3m；

设0E=xm,则DF=.nn.

・・・CF=CD-DF=(J-x)m.

在Rtz/ZE4中，根据勾股定理，0A1=OE2+AE2=%2+42：

在Rt^OFC中，同理得OC?=o尸+。尸2=32+Q一%『.

-OA=OC,

2222

.•.X+4=3+(7-A:),

解得x=3,即0E=3m.

在Rt/iOEA中，OA=>JOE2+AE2=5m，

即。0的半径OG=OA=5m.

EG=OE+OG=3+5=8m；

答：公路隧道轮廓的最大高度为8m.

22.在口ABC。中，点石是AB上的动点，点G是BC上的动点，连接OE交AG于点

图1图2

(1)如图I,当点E和点台重合，若6尸：尸。=1：2,求证：点G是SC的中点.

(2)如图2,当点G为的中点，若EF=〃DF时,求A尸：/G的值(用含〃的代数式表示).

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平

行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化.

⑴根据平行四边形对边平行的性质，得到△F8G与△曲相似，利用已知的线段比例8£旌>=1:2,

结合4)=8。，推出8G从而证明G是8C中点；

2

(2)延长4G交。C的延长线于M,利用平行四边形的性质证明1区GmMCG,得到4G=MG且

DM=2AB,再由得到/，结合斯=九DF的比例关系，设=通过

线段代换建立方程求解％,进而得到A尸：尸G的比值.

【小问1详解】

证明：•・•四边形A3C。是平行四边形，

：.AD\\BC,AD=BC,

△FBGs&FDA,

BGBF

・・--=----，

ADFD

•・,BF:FD=1:2,

BG1

:.----=—,

AD2

又・,,A£)=8C,

orii

即BG二一BC,

BC22

・••点G是8C的中点；

【小问2详解】

解：如图，延长AG交。C延长线于点M，

•・•四边形4BCO是平行四边形,

：.AB\\CD,AB=CD,

:./BAG=NCMG,/ABG=NMCG，

•・・G是BC中点,

：・BG=CG,

•••△44G岂△MCG(AAS),

:.AB=CM,AG=MG,

,:AB=CD,

・•・DM=CD+CM=AB+AB=2AB,

VAB11DM,

:,4AEFSW1DF,

,AFEF

•.——n,

FMDF

即4尸二Z只7,则AG=AF+FG=(Z+l)FG,

•:AG=MG,

・・.MG=(〃+/G,

：.FM=MG+FG=(k+1)FG+FG=(k+今FG,

AFkFGk2n

：f~FM=（k+2）FG=I+2=nt解得〃=

即旦2.

FG\-n

23.已知二次函数），=公2+法-4（。，〃是常数，6/>0）.

（1）若a=l时.

①试判断点A（2,2〃）是否在此二次函数的图象上？

②已知点8（1,火），C（1+〃M）在二次函数y=or?+版一4图象上，求攵的值.

（2）已知对称轴为直线工=«1々<3）,若点和N（2,〃）在该抛物线上，满足/〃-〃=6,求

。一〃的取值范围.

【答案】（1）①在；②k=Y

14

（2）—<a-h<6

5

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性

质是解题的关键.

（1）①将4=1代入，得出二次函数表达式为），=/+法-4,令x=2,求出y=2"即可判断：

②根据抛物线的对称性得出j辿二-g，即可求出〃=-1,再将点C的坐标代入解析式计算，即可求

22

解；

（2）将点M,N的坐标代入函数解析式，结合〃L〃=6,可得。+〃=一2,进而求得。一〃=2。+2,

14

根据抛物线的对称轴和/的取值范围，推得一<2。+2<6,即可求解.

5

【小问1详解】

解：①当々=1时，二次函数表达式为），=/+版一4,

令工=2,则），=22+2〃­4=2〃，

・••点A（2,3）在二次函数），=/+法一4的图象上.

②・・,点8（1,%）,C（l+Ak）的纵坐标相同，且a=l,

1+1+/?b

故抛物线的对称轴为-----------------

22

解得方=一1,

故点C的坐标为仅㈤，代入），二/一工一4,得4=7.

【小问2详解】

解：将M(-1,m)，N(2,〃)代入函数)，=〃小+法一4,得"2=4-8一4,n=4ci+2b-4»

故m-n=-3a-3b=6，

:・b=-a—2,

则a-b=2a+2.

h-a-211

抛物线的对称轴1=一一=-------=-+

2alala

V1</<3,

,,11

..1<—i—<3o,

2a

•・•4>0,

20

..一<a<2,

5

14

故一<2a+2<6,

5

14

即一<a-b<6.

5

24.如图，VA8C内接于O。，=点。是AC上的动点，点E在A4上.连接力E,DB交

AC于