安徽滁州市定远县某中学2025-2026学年高二年级上册12月月考数学试题（含答案）

定远育才学校2025.2026学年高二上学期12月月考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点做1,4),F(3,-l),若直线心mx+y+2m-1=0与线段48相交，则m的取值范围是()

22

A.i；-oo,-1]U匕+8)B.[-1,-]

C.(-00,-23U[1,4-00)D.[-^2,1]

2.如图，在四棱锥P—48CD中，底面力8CD为平行四边形，点E,F分别为PB,PD的中点，若前二g前,

且蔗=%近+、而，则x+y=()

A.1B.2C.-?D.-4

3.已知点P是直线I：3%+4y-7=0上的动点，过点P引圆C：(%++y?=〃&>°)的两条切线

PM,PN.M,N为切点，当乙MPN的最大值为却寸，则丁的值为()

A.4B.3C.2D.1

4.已知正方体力8G)的棱长为1，卜列结论中错误的是()

A.直线&C与直线4Di所成的角为90。

B.直线4C与平面AC。1所成角的余弦值为《

C.B]D1平面4coi

D.点丛到平面AC。1的距离为

5.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点"的直线交抛物线于点4B,交其准线I于点C.若18cl=2|8尸|,

A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x

6.已知椭圆圣+，=13>/)>0)的左、右顶点分别为必，A2,上、下顶点分别为当，％,右焦点为产，直

线与直线%尸相交于点「若&F垂直于不轴，则椭圆的离心率e=()

A1B?D号

从3

7.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣

小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点4,Q在直线1.匕△48】Ci是边长为1的等边三角形，c/z是

以点4为圆心，4G为半径的圆弧，力22是以点丛为圆心，8]&为半径的圆弧，是以点6为圆心，G%

为半径的圆弧，心二43是以点4为圆心，4c2为半径的圆弧，…，依次类推(其中点4,G，。2,。3,…共线，

,点、B1，A2,共线，点G，B],4,/，…共线).由上述圆弧组成的曲线H与直线胎有9个交点时，

曲线H长度的最小值为

A.307rB.447rC.527rD.707r

8.若双曲线。：。一4=1,吊，尸2分别为左、右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点/为

q0

的内心，4(0,4),则下列说法正确的是()

A.双曲线C的渐近线方程为］士看=0

B.点/的运动轨迹为双曲线的一部分

C.若IPFJ=2仍01，可二工所+y讯，则y-x=,

D.不存在点P,使得|P4|+|PFJ取得最小值

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在递增的等比数列｛册｝中，S”是数列｛册｝的前n项和，若=32,出+。3=12,则下列说法正确的是()

A.q=1B.数列｛S〃+2｝是等比数列

C.§8=510D.数列｛也M｝是公差为2的等差数列

10.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,-1),N(-2,1),动点P满足一|PN/二Q(Q£R),记点

P的轨迹为曲线C,则()

A.存在实数a,使得曲线C上所有的点到点(I,)的距离大于2

4

B.存在实数a,使得曲线C上有两点到点(-门，0)与(A,0)的坦离之和为6

C.存在实数Q,使得曲线C上有两点到点(-衣，0)与(门，0)的距离之差为2

D.存在实数a,使得曲线C上有两点到点(a,0)的距离与到直线x=-。的距离相等

11.已知△力8c的顶点4(5,1),边4B上的中线CM所在直线方程为2%-y-5=0,边AC上的高BH所在直线

方程为％-2丫-5=0,则下列说法正确的有()

A.过点4且平行于CM的直线的方程为2%-y-9=0

B.直线4c的方程为2无+y-11=0

C点C的坐标为(4,3)

D.边4c的垂直平分线的方程为x-2y-1=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知等差数列｛斯｝首项为a,公差为b,等比数列｛%｝首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数，

且G1V坊,匕2V%，对于任意的九EN*,总存在THWN",使得+3=%成立，则对1=—.

13.已知圆M:x2+y2-lay=0(a>0)截直线%+y=0所得线段的长度是2口，则圆M的方程为.

14.已知双曲线C：3-y2=i的左、右焦点分别为F]、「2，点力为双曲线C的右顶点，直线Z过点A且与％轴垂

直，点B为直线[上异于点力的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点&、尸2分别作圆B的切

线战和九(根、n与不轴不重合)，切线m和n相交于点P,则点P到直线y=x的最小距离为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知数列3J满足为=4cza+a=3a,Sn为数列｛；｝的前几项和.

1nn+1n+1nan

(1)求证：数列｛2一2｝是等比数列；

an

(2)求数列｛即｝的通项公式；

(3)求数列｛与的前n项和％.

an

16.(本小题15分)

zzzz

已知所IG：x+y-4x-2y-3=0,lw|C2:x4-y—2x+m=0,其中一5Vme1.

(1)若m=-l,判断圆G与Q的位置关系，并求两圆公切线方程；

(2)设圆G与圆Q的公共弦所在直线为，，且圆。2的圆心到直线，的距离为苧，求直线，的方程以及公共弦长.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥。一4BCD中，底面为8CD是边长为1的菱形，44BC=J,OA1底面A8CD,OA=2,M为。4

4

的中点，N为的中点.

(【)证明：直线MN〃平面OCO；

(II)求异面直线48与所成角的大小.

18.(本小题17分)

如图，在平面直角坐标系无。y中，椭圆E：[+[=l(a>b>0)的左、右焦点分别为&,尸2,离心率为:，

Qb，

两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点片作直线P&的垂线过点尸2代直线的

垂线L

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线L，%的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

19.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点/与双曲线竺一4尸2=1的一个焦点里合，过焦点厂的直线!交抛物线

于4,B两点。

(1)求抛物线。的方程；

(2)记抛物线C的准线与％轴的交点为N,试问是否存在常数/IGR,使得标=2两且|M1|2+|NB|2=学都成

立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由。

答案

\.B2.03.D4.D5.C6.Al.C8.C

9.BC10.BDW.ABC

12.5n-3

13.x2+y2-4y=0

14手

15.(1)证明：对40non+1+0n+1=3%,

等式两边同时除以册+lQn可得4+L=—,

anan+l

等式两边再同时减6得(一2=3(念一2),

即上_2=e_2),

%+13\cinJ

又由可得上-2=-：工0,故工一2。0,

x

5%3an

则数歹”｛2一2｝是首项为一号公比为柒勺等比数歹U.

(2)由(1)得《一2｝的通项公式为2一2=-最，

11

得也=2-所以即=8•

(3)由(2)知;=2-

anJ

111

2+

=/I铲

-一-

-2n32

\3

16.解:(1)当m=-l时,

圆G的圆心G(2,l)，半径G=2/2,

圆。2的圆心。2(1,0)，半径七=<2,

圆心距GG==&-=2，所以两圆内切；

因为两圆内切，所以公切线只有一条，

且两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到，即为：x+y+l=0,

故两圆公切线方程为：x+y+1=0：

(2)两国公共弦所在直线，的方程为：2x+2y+m+3=0,

圆C2的圆心QU，。）到直线।的距离宝萨1=字，

于是|m+5\=2,m=一3或一7（舍），所以直线［的方程为x+y=0；

因为圆C2半径殳=2,弦心距d=苧，

由勾股定理可得半弦长为J以-d?=乎,所以公共弦长为E.

17.解：作力PLCD于点P,如图，分别以AB,AP,4。所在直线为％轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,伏1,0,0）,

J~2>J~2\T2

P（0，¥，0），。（一隹隹0），

。（。,0,2）,M（0,0,l）,N（1—苧，学,0）.

44

⑴丽=（1-洋？,-1）,

丽=（0,苧，-2），前=（一苧，卓-2），

设平面0co的法向量为汽=Q,y,z）,

则储而=0，元•丽=0，

俘y-2z=0

卜丁+力-22=0

取z=解得元=（0,4,V~^）.

vWV.n=（1-苧，苧,T）•（0,4,/2）=0,

又MN&平面OCD,

:.MN〃平面OCD.

（2）设48与MD所成的角为。，

•••AB=（1,0,0）,MD=（一苧，苧,一1），

_须•而I_1

一画|两一21

：-8叽4B与M。所成角的大小为茶

JJ

18.解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=（二/Ma=2c,①

椭圆的准线方程x=±且，由2x^=8,②

-CC

由①②解得：a=2,c=1,

则川=a2—c2=3>

•••椭圆的标准方程：[+[=1；

43

（2）设P（xo，y°）,

当々=1时，直线PF?斜率不存在，此时直线，I，%的交点为a，不满足题意;

故先丰1，

则直线PF2的斜率kpF?=熟，

人01

则直线。的斜率七=一宇，直线。的方程y=一宇（％-1）,

直线PFi的斜率%•】=依，

人0Tl.

则直线。的斜率七=一空，直线A的方程y=-宇。+1）,

y=—（x—1）（X=-x0z_

y二-起a+1）'解得：卜器则QS。，*），

（y0

由P,Q在椭圆上，P