辽宁省丹东市2025-2026学年高二年级上册期末数学试题

辽宁省丹东市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.椭圆£+f=i的长和长为（）

49

A.2B.4

C.3D.6

2.直线（2-。＞+3），+1=。与直线X一3=0垂直，则实数〃的值为（）

A.0B.1C.2D.3

3.圆。［：/+＞2=1与圆02心-3）2+（尸4）2=16的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.内含

4.已知向量。=（2,-1,幻,1=（4,y,3x-3）,若一〃知则%+）=（）

A.1B.-1C.5D.-5

5.已知直线/与抛物线V=4y交于A,B两点,弦AB的中点为"（1,2）,则直线/的方程为

（）

A.x-2y+3=OB.2x-y=0C.x-y+1=0D.x+2y-5=0

6.甲乙两位同学从6种谡外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相

同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

7.已知圆C:（x-4）2+（＞，-1）2=1关于直线y=x-l对称的圆记为/）,点Q在。上，Q（-2.0）,

则IPQI的最大值为（）

A.3S/2+1R.4C.2^5+1D.6

8.记O为坐标原点，已知椭圆。:=+£=1（〃＞。＞0）的左右焦点分别为小巴，过人的

a~b~

直线与C交于A，B两点,若AF；=4R乩且|。制二|。4,则C的离心率为（）

A.巫B.也C.正D.叵

55210

二、多选题

9.已知。，A,&C,。是空间中互不重合的点，空间向量亍，b,不共面，下列命题正

确的是（）

A.若0=d+B,q=a+c,尸=/；一小贝U向量P，军，产共面

B.m=2ci+b-cn=2a+b♦贝心力〃为

C.若加=己9+二反一一OD,贝IjA,B,C,D共面

488

D.若丽+而+无+亦=。，则A,B,C,。共面

10.已知0+工+//1一工）4=4）+4（1+幻+。2（1+X）2+…+%（1+幻"，贝I（）

A.〃=6B.«5=-9

C.4+6+火=121D.。（）+4+^a”=1

11.已知0为坐标原点，过点A（-1，O）的直线与抛物线C：r=x交于尸，。两点，3（l,l）,M"0）,

且APOM是等边三角形，则（）

A.C的准线为工=一；

B.直线A8与。相切

C.\AP\\AQ\>\ABf

三、填空题

12.双曲线二-t=1的渐近线方程是

94

13.有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有种.（结

果用数字作答）

14.若圆。:"-2）2+），2=16上到直线/:工-百），+m-1=0的距离为2的点有且仅有2个，

则实数m的取值范围为.

四、解答题

15.记。为坐标原点，直线y=G（x-l）过抛物线Uy?=2px（〃>0）的焦点，且与C交于A,

8两点.

（1）求C的方程；

试卷第2页，共4页

⑵求|A8|.

16.如图，在正三棱柱ABC-A5G中，AA}=AB,。是的中点

(1)求证：ACXL\D.

(2)求平面AC；。与平面ABC所成角的正弦值.

2

17.已知点尸是椭圆?+产=1上的动点，过点P作PQ_L/轴,垂足为Q,点“满足。豆=20户,

记点M的轨迹为C,0为坐标原点.

(I)求。的方程；

⑵已知直线/：)」百=々。-1)与。交于A,3两点,若△。48的面积为求攵的值.

=\(a>0,b>0)的离心率为手.右焦点为(石，。卜

18.已知双曲线C:

⑴求C的方程;

(2)记C的左右顶点分别为•过(40)的宜线与C交于M,N两点.M在第一象限.宜线

M4与NR交于点P.证明：点户在定直线上.

19.如图，已知菱形AQC4和菱形AOE/的边长均为2,M,N分别为A£、4。上的点，且

AMBN

~AE~~BD'

⑴用㈣量法证明：MV〃平面ABF；

(2)设NE4£>=N必£>=6(尸，BF当A/N的长度最小时，求人厂与平面MVZ)所成角的

正弦值.

试卷第4页，共4页

《辽宁省丹东市2025-2026学年高二上学期期末数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCBAACDAACABD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】利用椭圆的标准方程求得从而求得长轴长.

22

【详解】因为椭圆的标准方程上+上=1,所以该椭圆的焦点在〉轴上，且/=9,则〃=3,

49

所以椭圆E+二=1的长轴长为2a=6.

49

故选：D.

2.C

【分析】根据互相垂直两直线方程系数的关系进行求解即可.

【详解】因为直线(2-+3y+1=。与直线-3=0垂直，

所以(2-a)l+3x()=O=a=2.

故选：C

3.B

【分析】根据圆心距离、两圆的半径之间的关系进行判断即可.

【详解】圆Q：/+y2=l的圆心为。(0,0),半径为「=],

圆。2:*—3-+()，-4/=16的圆心为。(3,4),半径为R=4,

22

|O,O2|=V3+4=5,

因为由勾=我+广，

所以两个圆相外切.

故选：B

4.A

【分析】根据空间向量共线的坐标表示公式进行求解即叽

【详解】因为向量及=(2,Tx),石=(4,y,3x-3),〃洋,

设囚="，则4=24y=-43x-3=Zr,

答案第1页，共16页

v=-2

所以｛,nx+y=l.

x=3

故选：A

5.A

【分析】根据给定条件•，设出点AB坐标，借助抛物线方程及弦中点坐标求出直线斜率，进

而求出直线方程.

【详解】由直线/与抛物线f=4)，交于A,8两点,设洋司,凶),8%，力)，

由弦A8的中点为M(1,2),得%+巧=2,则直线/的斜率七=X-乃_44_4+&=1,

西-x2x1-x242

所以直线/的方程为即x-2y+3=0.

故选：A

6.C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即

可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有(；小；=120科1，

故选：C.

7.D

【分析】设C关于直线y=、-i的对称点为。(。力)，利用对称关系求得圆。的方程，求得心⑼，

进而可求得的最大值.

【详解】由圆C：*—4)2+()，-1)2=1,可得圆心C(4,l),半径r=1,

设C关于直线.y=.r-l的对称点为。(©〃)，

b-\,,

--------]=_]C

//-44=2/、

所以::,，解得1°,所以。2,3,

b+\«+4,b=3

------=----------I

22

答案第2页，共16页

所以圆C关于直线产x-l对称的圆。的方程为。：。-2)2+()，-3)2=1,

又。(-2,0),所以|DQ|=J(-2-2)2+(0-3『=5,

又点尸在圆。上，则IPQI的最大值为5+1=6.

故选：D.

8.A

【分析】设出曰=/〃，则圾A|=4〃］，根据椭圆的定义得|不4|=2.-4肛忻口=2.-/〃，结合

直角三角形的判定定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.

【详解】设优用=〃?，则内幽=4m,

因为忸A|+|A闾=2,忻用+忸号|=2,

所以忻⑷=2〃-4〃?,归@=2〃-〃?，

因为I。制=|。臼=|。用=。，

所以△人£62人68是直角三角形，

在直角三角形中，

有=|AG『+|AB『=>1-m)2=(2«-4w)2+(4/?i+w)2

3

n10/?r=3amm=­a,

10

所以|A±|=2«-4x-^«=^67,|ATS|=4x-j?j«=^67,

在直角三角形中，

答案第3页，共16页

【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可.

【详解】A：因为“="+6,q=a+c,r=b-c^

所以万一1=(2+石)一伍+。,

^r=p-q,所以由共面向量定理可以判断向量万，号，产共面，

因此该选项命题正确；

B：假设比〃”，所以存在/(义工。)，使得庆=4万成立，

即2G+B-不=z[2a+b^=>2a+b-c=2Za+Ab,

因为空间向量口，B,d不共面，

-2=22

所以1=%,显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确；

1=0

C：因为。，A,B,C,Q是空间中互不重合的点，

而叼+Q疑尸,

所以由空间共面性质可知4,B,C,。共面，所以本选项命题正确；

D：OA+OB+OC+OD=i)=>OD=-OA-OB-OC

因为O,A,B,C,。是空间中互不重合的点，

而且一1+(-1)+(-1)=-3",

所以由空间共面性质可知4从C,。不共面，所以本选项命题不正确.

故选：AC

10.ABD

【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可.

【详解】A：二项式(l-行*展开式中最高次项的指数为4,

所以(1+工+丁)(1一幻4展开式中最高次项的指数为6,

所以〃=6,因此本选项说法正确；

B：(l+x+Y)]一外4展开式中最高次项的指数为6,系数为1,

所以4=1,

答案第4页，共16页

含V项的系数为1XC：X(-1)4+1XC：(—1)'=-3,

%+4(1+幻+。2(1+。)2+…+4(1+x)6中，含V项的系数a5C；+/C：=4+6,

所以6+6=-3=>%=-9,因此本选项说法正确；

C：在（1+x+r）（1-A-）4=4）+4（I+x）+生（1+x）~+…+a”（l+x）”中，

令x=（）,得1x1=4+4+/+43+44+45+4=1，

令x=—2,得（1—2+4）x?=4—4+/—G+%-“S+4=3’，

两式相减,得1一35=2q十24+2%=4+%+%=――=721,

所以本选项说法不正确；

D：由上可知4+4+/+…+4=1，所以本选项说法正确.

故选：ABD

II.BCD

【分析】根据抛物线的准线方程、•元二次方程根的判别式，结合两点间距离公式、等边三

角形的性质、一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可.

【详解】A：由抛物线Uy2=x的方程可知〃=g,所以抛物线的准线方程为x=-；,所以

本选项说法不正确；

B：直线"方程为任^=1=2'-1,代入），2=x中，

I-U［一（一I）

得了2=2），-1=>，2-2），+1=0,因为△二（一21一4二0,

所以直线AB与C相切，因此本选项说法正确；

C：因为过点4-1，0）的直线与抛物线C:y2=x交于P,。两点，

所以过点A（T，O）的直线的斜率存在且不为零，

因此设该直线方程为1=冲-1,与抛物线方程联立，得产：冲-1=>），2-吁1=0,

所以有△=ni2-4>0=>nr>4,

设夕（才，乂），。（代，月），则有X+%=小，％）'2=1，

答案第5页，共16页

M叩A。=J(y"『+(y)2-J(W+1f+()J=x/y：+3y；+l.Jy；+3£+l

=J(y%),+3y：货+y：+3)，：£+9(y3)+3)，；+£+3£+1

=Jl+6y；+)，：+6£+9+y；+1=J)；+£+6)，；+6y；+11

z

=J(K+£y-2+6〃?2-12+11=，[(y+y2)-2yj2-2+6〃/-12+11

=J(>-2)~+6〃P-3=，/〃4+2〃P+1=in2+1>5♦因此本选项说法正确;

<22、

D：设夕。的中点为。，坐标为五皆，空必，

因为y：+£=(y+)J-2)，［)，2="「-2,所以点。坐标为

\

因为&PQM是等边三角形，所以P。1=*IP0,

由x=m)，-lny=+L所以直线PQ的斜率为工，

mrnm

,1

因为PQJ.MO,所以4。一_!_一，

tn

于是有=-mnin2

3

因为苏>4,所以2q+l>4=>a>5,

点M(«0)到直线x=〃少-1的距离为|MD|=

拦7=痣如日g

闸=j(城-£『+()'|一),2)2=-4兴丁+%)：—%)?

=J();一必)1(乂+%)2+1]=J[(y+%：—4必必][(y+%)2+L

=^(//r-4)(w2+l)=J(2q+l—4)(2a+l+l)=J(2a-3)(2a+2),

因为|MD|=¥|PQ=

所以•Ja+1=.yj(2a-3)(2a+2)=>&=瓜-J2a-3=>«=—>

223

答案第6页，共16页

所以本选项正确.

故选：BCD

12.2x±3y=0

【分析】根据双曲线方程直接得到渐近线方程.

【详解】双曲线=l的渐近线方程为y=±gx,即2x±3)，=0.

故答案为：2x±3y=0

13.72

【分析】根据特殊位置法，结合两人相邻，第3人的不同位置进行分类讨论进行求解即可.

【详解】设6个座位编号为123,4,5,6,

第一步，从3个人中选两人相邻，共有C；种方法;

第二步，这相邻两人先选择位置，然后第3人按照要求进行选择,

若相邻两人选择座位1,2,显然座位3不能有人，因此第3人有3种方式；

若相邻两人选择座位2,3,显然座位1,4不能有人，因此第3人有2种方式;

若相邻两人选择座位3,4,显然座位2,5不能有人，因此第3人有2种方式:

若相邻两人选择座位4,5,显然座位3,6不能有人，因此第3人有2种方式;

若相邻两人选择座位5,6,显然座位4不能有人，因此第3人有3种方式，

所以不同坐法共有C；(3A；+2A；+2A；+2A；+3A；)=3x(6+4+4+4+6)=72种.

故答案为：72

14.(-13,-5)U(311)

【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】设圆。(2,0)到直线/』-6,，+〃1=0的距离为",

因为圆。：(1-2)2+)，2=]6的半径为4,

圆C:-2尸+)，2=16上到直线/:x-V3y+m-l=0的距离为2的点有且仅有2个,

答案第7页，共16页

所以4-2<4<4+2=2<"<6,

I2+7Z2-1I|l+w|

2<J1<6=>2<J——^<6=>4<|/n+i|<12

则有2

由|/?z+1|<12=>-12</?2+1<12=>-13</72<11,

由+1|=m+1)4,或"?+1<T,解得ni>3,或m<-5,

所以4<|〃7+1]<12=3</〃<11,或一13v<一5,

所以实数机的取值范围为(-13,-5)1](311).

故答案为:(-13,-5)U(3,11)

【分析】(1)由焦点算出〃=2代入抛物线方程即可;

(2)：过焦点的弦长|48上内+石+〃，联立后用韦达定理计算即可.

【详解】(I)因为直线y=75(x-l)过C的焦点，C：V=2px(p>0)的焦点在x轴上,

故令)，=6*-1)=()，则x=l,即抛物线焦点为(1,0),所以曰=1,即P=2

所以。的方程为丁=4-

(2)由,丁严”7)联立得3f-10x+3=0,A=64>0

y~=4x

设A(N，y),8(孙必)，所以办+七=与

则|A81=芭+w+P=X+%+2=g.

16.(1)证明见解析

答案第8页，共16页

(2)y

【分析】（1）取人C的中点0,以。为坐标原点，丽的方向为X轴正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系。-冷2.取A8=2,利用空间向量的坐标运算计算可证明结论;

（2）由（1）可求得平面AG。的一个法向量与平面A8C的一个法向量，进而利用向量法可

求得平面AC。与平面ABC所成角的正弦值.

【详解】Q）取AC的中点0,以。为坐标原点，丽的方向为x轴正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系。-3）2.取AB=2,

则8(6,0,0),D(73,0,1),40,7,0),A,(0,-1,2),C1(0,1,2),

IIUU-----------L

AG=(022),AO=(g,l,T),

"〉45=0,所以AC|_LA。.

（2）由（1）知而=（6』/），耨=（0,2,2）,

设平面ACQ的法向量为m=（x,乂z）,

m-AD=045x+y+z=0.

由，_，可得■,令z=l,得x=0,y=-l,

汾AC|=02y+2z=0

所以平面ACQ的一个法向量为肩=（0,-l,l）.

又方=（0,0』）是平面ABC的法向量,

|0+0+1|二夜

2s何⑻卜翁2222所以sinm,n=.

^04(-l)+lxl2

平面AR。与平面A8c所成角的正弦值日.

答案第9页，共16页

17.(l)x2+y2=4

(2)-6或。或日

【分析】(I)根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合代入法进行求解即可；

(2)根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式、三隹形面积公式进行求解即可.

【详解】(1)设点M(x,y),?(七,为)，则。(卬()).

由QA/=(O,)，)，0P=(O,yo),QM'=2QP,得与=工，%=5.

则d=।,所以［人例=2^4-.

J1+公

△OA8的面积S=gx|八司x"=d「4一"，=有.解得4=1或"=0.

当d=l时，用3=1,解得女=走.

y/\+k23

当d=5/3时，।~=6,解得A=0或A=—>/3.

yj\+k2

综上所述，k的取值为-6或0或立.

3

18.(!)--/=!

4

(2)证明见解析

【分析】(1)由离心率和焦点坐标得到。=2,。=行丁'=1，求出双曲线方程；

(2)解法一：设M(x.)，J,力(〃.必),直线M4：y=〃?(x-2),直线NA,：y=n(x+2)t

分别与双曲线方程联立得到“，N的坐标，山西〃的得到方程，求出加=3拉，联立直线

答案第10页，共16页

M4与直线NA，求出工=1,得到答案:

解法二：设MQ.yJ,N（&.），2）,MN：x=my+4（m^±2）,与双曲线方程联立得到两根

a

之和，两根之积，故冲戊=-泉.》+%），表达出直线M4,N%,求出

三二半二2=-!，从而求出x=l，得到答案；

x+2,（.+2）3

解法三：设M（百.y）,"（9.）3）,当斜率存在时，设MN：y=〃?（x-41"土;，与双曲

线方程联立得到两根之和，两根之积，表达出直线M4,NA，联立求出

x="），计算出2（y%+y2A）+4（工一%）一（YW-％玉+2y+2%）=。,

y\x2~以内+2>1+

从而得到K-1,考虑直线MV的斜率不存在时，求出。1,得到结论.

【详解】（I）依题意得6=逐，£=堂，

a2

所以。=2,b=\Jc2-a2=1»

所以。的方程为三-丁=］；

4

（2）解法一:设N（为.必），

直线M&：y=m(x-2),

直线以：），=〃（x+2）,

y=m(x-2)

由，

22

x-4y-4=0

得(1一4m2)x2+l6〃/x-1-4=0,

,_-16/?r-4

由2内:--------,

I-4m2

汨8〃『+2,,4/n

得玉=K-T，故

4"-14m-1

y=〃(x+2)

由,

x2-4y2-4=0

得0-4〃2)/一16/x-16l一4一0,

答案第11页，共16页

,।,r—16〃~—4用8//'+2弘4〃

由一2x,=--------—,得x,=-----Z——，故％=-7

1-V*4«2-1"An2-1

令e(4.0),则函=a—4.y).丽=(v-4%)，

由题设知两//丽，

贝I」伍一4))1一(％-4)%=0,

故(4/77/7-1)(3/?+/??)=0,

由题意知〃7〃<0,故"7=-3〃，

乂点尸(xy)满足y=〃心-2)且y=〃(x+2),

[y,=二〃(x〃+2()'),解之得I'

则

所以点P在定育线x=l匕

可设MN：x=〃<y+4(〃7H±2),

代入:—y2=i中，可得(,〃2—4)9++]2=0,

因为△=166'+192;>0,

-8/7/12

y+>2=^-7->V?=-^—r，

tn-42in-4

3

则用力)'2=_/(*+乃)，

(工一2),NAy=-^-(x+2),可得

由MA2：y=.i

答案第12页，共16页

3

x-2=%(百一2)=〃小%+2%=-#+』2)+24=)，「3y=」

x+2X仇+2)"明必+6y__|国+y,)+6凹一一3乃+9州一3；

从而x=l,故点尸在定直线x=l上;

解法三：设M（x.y）,N（9.），2）,

当直线MN的斜率存在时:

设MMy=/n(x-4)，"士

y=m(x-4)

由，

x2-4y2=4

得(1-4〃/卜2+-64/?r-4=0,

32m264"+4

所以％+一-----,x..工=-------7

w=1一4〃/71~l-4/rr

因为M4：y=^-(x-2),NA、：y=f(x+2),

X]-ZA?+Z

联立方程解得户2（网+）'科）；4（）;工）

阴2一%西+2y+2%

因为2(%9+%%)+4()i-%)一(y七一)’2内+2y+2%)

=>1々+3必5+2)，1-6%

=4〃药士-10/w(x,+9)+16m

'/64/n2+4，八32〃

=m4x---；-----10x—；—+16=0

W-lW-1

所以x=l,

当直线MN的斜率不存在时，MN：x=4,所以M卜.#）,N（4.—G）

M&：）,=2^.（x-2）,NA［：）,=_2^（x+2）

联立方程解得尸，一等，故点尸在定直线x=l上.

【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;

（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

19.（1）证明见解析

答案第13页，共16页

⑵独I

13

【分析】(1)根据空间向量线性运算法则，结合共面向量的判定定理进行证明即可；

(2)法一：建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式、结合二次函数的最值性质进行

求解即可；

法二：运用基底法，结合空间向量线性运算法则，运用等积法进行求解即可.

【详解】⑴设空■="="则有丽7=%亚，丽=大丽,

AEBD

所以5=病一人麻=血+加一％通+万一”R+而)

=AB+A(AD-AB)-A(AD+AF)=(\-A)AB