分数阶Buck型DCDC变换器的建模与仿真分析

分数阶Buck型DC/DC变换器的建模与仿真分析摘要：就目前大部分对实际电路的研究都是基于整数阶的电容电感，但实际上，理想的整数阶的电容电感并不存在，实际电路中的电容电感都是以分数阶的特性存在的。因此，本文基于分数阶的电容电感结合分数阶理论知识，利用状态空间平均法和oustaloup滤波器法，在Matlab/Simulink中建立电感电流连续模式下的分数阶Buck变换器的数值仿真模型，结合仿真和理论分析验证模型的正确性。基于此建立的的分数阶数值仿真模型，通过分数阶微积分理论求解方程得到电感电流和输出电压的纹波量，结合仿真波形图所得到的结果，分析验证了分数阶电感电容的阶数对纹波电流和纹波电压的影响。关键词：分数阶；Buck变换器；matlab/Simulink；数值仿真模型ModelingandSimulationanalysisofFractionalBuckDC/DCConverterAbstract:At

present,

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of

the

research

on

the

actual

circuit

is

based

on

the

integer

order

capacitance

inductance,

but

in

fact,

the

ideal

integer

order

capacitance

inductance

does

not

exist,

the

actual

circuit

capacitance

inductance

are

all

fractional

order

characteristics.

Therefore,

based

on

fractional

order

capacitance

and

inductance

combined

with

fractional

order

theoretical

knowledge,

this

paper

USES

state

space

average

method

and

oustaloup

filter

method

to

build

a

numerical

simulation

model

of

fractional

Buck

converter

in

the

continuous

mode

of

inductive

current

in

Matlab/Simulink,

and

verifies

the

correctness

of

the

model

through

simulation

and

theoretical

analysis.

Based

on

the

fractional

order

numerical

simulation

model,

the

ripple

values

of

the

inductance

current

and

output

voltage

are

obtained

by

solving

the

equation

of

fractional

order

calculus

theory,

and

the

influence

of

the

order

of

fractional

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inductance

capacitance

on

the

ripple

current

and

ripple

voltage

is

analyzed

and

verified

by

combining

with

the

results

of

the

simulation

waveform.Keywords:Fractionalorder；BuckConvertor；MATLAB/Simulink；NumericalSimulinkmodel第一章引言研究背景随着信息技术产业、信息化产业、新能源产业等的高速发展，各个行业对电子电力的要求也越来越高，这也使得开关电源发展更加迅速，应用更加广泛。而开关电源的核心组成部分便是DC-DC（直流-直流）转换器，DC-DC转换器的作用是将一个固定输入电压转换后有效的输出另一个固定或可调的电压。而Buck（降压）电路作为DC-DC转换器的基础电路之一，它属于全控性器件的降压斩波电路，具有电流电压容量较大，容易驱动等优点，被广泛应用于电子电力技术领域中去。除此之外Buck（降压）型DC-DC转换器结构相对于较简单，但开关电源的大部分原理它都已包括，因此在DC-DC转换器应用领域中，Buck型DC-DC转化器占有大多数。但是由于Buck开关转换器是时变的、非线性的[1]，很容易产生许多不同的非线性现象从而影响到转换器的稳定性和可靠性，因此对其进行进一步准确可靠的研究分析是很有必要的。但现如今对于Buck转换器的研究工作都是基于整数阶数学模型，也就是电容电感都是整数阶的。然而相关文献以及现有的研究表明：实际的电路应用中，电容电感都不是整数阶而是分数阶的，因此建立分数阶模型比整数阶模型可以更有效的分析DC-DC转换器所具备的特性。由于设计完整的系统的分数阶模型可以更准确的描绘许多电路系统现象或者物理过程，因此建立分数阶电路系统的模型成为了现如今研究的一个热点方向。国内外研究现状对整数阶DC-DC变换器课题的研究分析一直以来都具有极其重要的地位与意义，但近年来通过研究发现，整数阶的电感电容并不存在[2、3]，实际上，电感电容都是以分数阶的特性存在的，主要原因是因为组成电容的电介质材料出现了分数阶的特性。由于分数阶理论对实际电路的分析研究具有重大意义，研究学者们开始利用分数阶理论特性研究出分数阶形式的电容[4]，因此如果再继续使用整数阶的电容电感进行实际电路的研究分析将会出现不够准确的结果，将会导致对DC-DC变换器的行为分析与分数阶出现相悖。Jesus等人通过相关的实验设计出了0.59阶、0.42阶等不同阶数的分数阶电容[5]。从开始发现电容电感是以分数阶特性存在到设计出分数阶特性的电容电感，国内外的研究学者也开始由最初的对DC-DC变换器的整数阶分析研究转变为基于分数阶的变换器研究[6、7]。开始建立分数阶变换器的数值仿真模型。MartinezR,YBolea,AGrau,等对buck-boost变换器的分数阶模型的建立进行了初步的研究[8]。国内研究学者通过在电感电流连续模式下建立分数阶Buck-Boost变换器的仿真模型，并给出了相关的动力学行为分析，在分岔图中直观表明分岔点与电容电感的阶数有关[9]；在同样的模式下建立电压控制性分数阶Buck变换器的Oustaloup滤波器模型，研究了0.8阶和0.9阶下参考电压对系统动力行为的影响，但是此模型对分数阶buck变换器的混沌状态并没有进行深层次的研究分析[10]。综上，基于电感电容的分数阶特性，大多数文献都是采用状态空间平均模型法、oustaloup滤波器法及其改进算法建立分数阶Buck变换器的数学仿真模型，通过数值仿真模型得到的分岔图和相图等，重点分析了分数阶变换器的传递函数、稳态工作点和不同的分数阶次对系统的影响。因此，建立分数阶变换器的数值仿真模型进行深入分析具有重要的理论意义及实用价值。本文的结构安排1、首先简单介绍一下本文的研究背景及意义，然后指出DCDC变换器实际上是以分数阶的特性存在，其次阐述一下分数阶变换器的国内外研究现状，最后总结了本文的论文结构安排。2、首先介绍一下分数阶微积分的相关基础理论知识，主要包括了分数阶的两大特殊函数：伽马函数和米塔格-莱弗勒函数，以及它的3种重要定义、一些基本性质和分数阶的拉普拉斯变换。。3、首先介绍一下状态空间平均法，然后开始阐述分析利用状态空间平均法的建模过程，得到了纹波电流和纹波电压等重要理论方式，便于与第四章的仿真结果相互验证。4、首先在simulink框图中实现Oustaloup滤波器的封装，之后开始在simulink中建立buck变换器分数阶数值模型，分析波形，同时对比仿真值和理论值，最后验证此分数阶数值模型的正确性。最后就是本文的总结展望，对论文内容做个总体的概括总结以及点出本论文的不足之处。第二章分数阶微积分理论2.1分数阶微积分简介在我们传统的微积分讨论中，都是基于整数阶进行的，但实际上，电容电感等电抗原件都是以分数阶的特性存在的，为了追求更加精准的建模分析，利用分数阶微积分可以更准确的分析系统的特性，因此分数阶微积分也随着社会发展被应用到科学的各个领域[11-13]。而在分数阶微积分理论中有两个重要的函数，分别是米塔格-莱弗勒函数（Mittag-leffler）和伽马函数（Gammafunction），这两个函数对分数阶微积分的定义和方程求解具有重要意义[14]。1、伽马函数伽马函数可以作为阶乘函数的一种延伸，可以分别在实数域和复数域给其定义：（1）在实数域的定义为： (2-1)（2）在复数域的定义为： (2-2)通过分部积分法，推到得出Gamma函数具有以下几种基本性质： (2-3) (2-4) (2-5)2、米塔格-莱弗勒函数[15]米塔格-莱弗勒函数作为指数函数的推广，其定义主要有两种：单参数定义与双参数定义，其定义分别如下单参数定义： (2-6)式中z为复变量，Γ（z）为伽马函数。双参数即扩展后的双变量定义如下：(2-7)若令β=1，则此时函数即为单参数形式。2.2分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶导数，分数阶微积分算子是通过整数阶微积分推广而得到的，定义如下： (2-8)其中，γ是分数阶次，n-1<γ<n，nϵN。Rγ是γ的实部，a和t分别是算子的下界与上界。目前对分数阶微积分的定义并没有唯一的定义，不同的定义在分数阶系统中也都有着不同的应用场景，现如今最常见且具有重要意义的主要有三种定义，分1、Grunwald-Letnikov(G-L)定义[17]G-L定义不仅可以通过推导高阶导数得出，还能通过整数阶微积分的差分形式拓展得出： (2-9)其中，h为步长，[(t-α)/h]是取整符号。2、Riemann-Liouville(R-L)定义[18]R-L定义是目前最常见的分数阶微积分定义，有两种定义表达式，分别是积分表达式和微分表达式。R-L积分表达式： (2-10)R-L微分定义表达式： (2-11)3、Caputo定义由于在R-L分数阶微积分定义中还包括了有关分数阶导数的初值问题，但是在实际应用中并没有对初值的有效解释，而Caputo定义是无需初值的，因此相对而言Caputo定义更加实用。Caputo也分为积分和微分定义表达式。Caputo积分表达式： (2-12)Caputo微分表达式： (2-13)式中n为正整数，且n-1<α<n。除开初值问题，G-L定义和R-L定义在分数阶微积分中对于某一些函数来说是等效的，G-L分数阶微积分定义一定要符合比较严苛的条件，主要应用在离散化情况的研究中，而R-L定义相对来说应用条件就比较简洁，主要应用在一些简单函数的理论计算上。除此之外，在进行拉普拉斯变换时利用Caputo定义可以变得更加简单。又因为Caputo定义的分数阶和整数阶微分方程具有一样的初始条件，并且可以直接把所要求解的函数的初始条件带入Caputo定义的计算中即可，综上所诉，在求解分数阶微分方程的初值问题时选用Caputo定义更加合适有效。2.3分数阶微积分的基本性质1、若函数f（t）是关于t的解析函数，那么它的分数阶导数0Dtα2、当α=0时，0Dtαf(t)=f(t)，α>0,03、满足交换律： (2-14)4、线性性质和叠加性质： (2-15)2.4分数阶微积分的拉普拉斯变换在众多科学研究领域和工程应用场景中，利用拉普拉斯变换对微积分进行的运算无处不在，拉普拉斯变换主要是利用S算子进行代数运算，把微积分从时域运算转换到S域，为了降低计算难度，还可以直接利用传递函数替代微积分方程来描述系统的特性[19]。根据不同的定义，拉普拉斯变换也有一定得不同，下面介绍三种常用定义的拉普拉斯变换。Caputo定义下的分数阶Laplace变换： (2-16)Grunwald-Letnikov定义下的分数阶laplace变换如下： (2-17)Riemann-Liouville(R-L)定义下的分数阶Laplace变换如下： (2-18)以上三种定义下的Laplace变换积分形式一致，如下： (2-19)第三章分数阶Buck变换器的状态平均模型3.1状态空间平均法DC/DC变换器作为一个非线性系统，其内包含着功率开关、二极管等非线性元件。在DC/DC变换器工作过程中，当其工作在某个稳态工作点左右时，电路状态量的小信号扰动量之间的关系呈现线性的特性，为了可以更好的分析DC/DC变换器的系统，可以利用状态空间平均法[20]，将DC/DC变换器从非线性系统分解成为分段式的线性的系统来进行研究。引入开关周期平均算子的定义，如下所示： (3-1)其中，x(t)是DC/DC变换器的状态变量；T为开关频率的倒数，T=1/f。对电压、电流等电量进行开关周期运算，以电感为例，描述其特性的方程如下： (3-2)对式（3-2）在一个T内进行积分，左右都除以L得到： (3-3)上式左边表示在一个开关周期内电感电流的变化，右边与输出电压的开关周期的期望值成正比。把式（3-1）带入到式（3-3）中进行运算，得到式（3-4）。 (3-4)式（3-4）说明了在一个T内电感电流的变化量和一个T内输出电压的期望值成正比。对式（3-1）左右进行微分运算得： (3-5)把式（3-4）和（3-5）联合运算得到： (3-6)在稳定电路中，根据电感电压的傅淼平衡原理：电感电压的期望值为零，即v(t)T=0,因此=0，表明了电感电流在一个开关周期内其期望值是一个常数，但即便如此也不能说明电感电流的瞬时值在一个开关周期内保持恒定。在实际电路中，电感电流在一个开关周期内的波形近似为三角波，这一结论除了电感元件还适用于电容元件。3.2分数阶buck变换器状态平均模型[21]基于电感电容是以分数阶的特性存在的，所以分数阶电感电容两端的电流和电压的微积分关系也是分数阶的，而这也是分数阶电感电容和整数阶电感电容最大的不同之处。分数阶电感和分数阶电容两端的电压和电流关系式[22]如下所示： (3-7) (3-8)式中的iL为电感电流，iC为电容电流，vL为电感电压，vC为电容电压。L为分数阶电感的值，C为分数阶电容的值，α为电感的分数阶阶数且0<α<1,β为电容的分数阶阶数且0<β<1。Buck变换器的电路原理图如图3-1所示，途中VIn为输入电压，iin为输入电流，S为开关，Pw为开关的信号脉冲，D为二极管，L为电感，C为电容，R为负载电阻，V0为输出电压，iL为电感电流，开关周期为T，占空比为d。分析电路图可得，buck变换器电路会有两种工作状态，主要由开关S和二极管D的状态决定，分别是：（1）当开关S闭合时，二极管D面临反向电压而断开，当断路处理，此时buck变换器为工作状态1，等效电路如图3-2(a)所示；（2）当开关S断开时，二极管D面临正向电压而导通，此时buck变换器为工作状态2，等效电路如图3-2(b)所示。开关S的状态由Pw脉冲的高低电平决定，高电平时S闭合，低电平时S断开。图3-1Buck变换器的电路原理图根据基尔霍夫电压和电流定律，结合式（3-7）和式（3-8）可得工作状态1时的状态方程如下所示： （3-9） (3-10)根据基尔霍夫电压和电流定律，结合式（3-7）和式（3-8）可得工作状态2时的状态方程如下所示： (3-11) (3-12)图3-2(a)S闭合，D断开图3-2(b)S断开，D导通图3-2Buck变换器两种工作状态电路图因此，根据式（3-9）至式（3-12）可知，在电感电流连续模式下建立的分数阶buck变换器的仿真模型主要与电感电容的分数阶阶数有关。对于buck电路中的电感电流iL和输出电压v0等参数而言，可以把它们都看作是直流分量和扰动量的和，如下所示： (3-13)其中把输入电压和占空比的扰动量当零处理。联合（3-9）至（3-13），可得buck变换器电路的状态方程如下所示： (3-14)把式（3-13）代入式（3-14），把直流分量分离出来得： (3-15)根据第二章的Caputo分数阶定义可知，常数的分数阶导数等于零，因此根据以上公式可算出电压和电流的直流分量如下：IL=I0=V0/R(3-16)V0=D·Vin（3-17）由上述两式可得，分数阶电感电容的阶数不会影响电压电流的直流分量。把式（3-14）中的小信号变量分离出来，可得： (4-18)根据分数阶微积分的定义，结合式（3-9）和（3-10）运算得出电感电流iL在（0，DT）内的增加量，即电感的纹波电流如下： (3-19)其中为伽马函数。由式（3-19）可知，电感的纹波电流除了与输入电压、输出电压、占空比、开关周期、电感有关之外，还和分数阶电感的阶数α有关。除此之外，式（3-19）还是α的单调递减函数，当α=1时，其值最小。根据电感的纹波电流和直流分量可直接算出其最值电流，分别如下： (3-20) (3-21)对于输出电压的纹波电压[23]，其电容电压的变换量主要受电容电流波形在Y轴正半轴部分的总电荷q影响。由q=CU，可得： (3-22)在电容电流波形图中，波形与时间轴相交的面积即为电荷q。总电荷如下： (3-23)将纹波电流的公式（3-19）带进式（3-23）中，求得纹波电压： (3-24)同理可得最值电压分别如下： (3-25) (3-26)由纹波电压的公式（3-24）可知，其和纹波电流一样，除了与电容、电感、输入电压、输出电压、开关周期、占空比有关外，还与分数阶电感的阶数α有关。因为buck电路的纹波输出电压不能利用状态方程求得，因此只能利用电荷q和V0的函数关系，联合纹波电流求得输出电压的纹波。除此之外，因为buck电路具有一定的特殊性，它的输出电压的状态方程在工作状态1和工作状态2时都是一样，所以即便是在整数阶的情形下，要求纹波电压，也只能利用纹波电流来计算求解。电压和单溜的直流分量分别如下：IL=I0=V0/R（3-27）V0=D·Vin（3-28）对比式（3-16）和（3-17）一模一样，因此可知buck变换器在分数阶情况下的电感电流和输出电压的直流分量和整数阶模型没有差别。根据（3-16）和（3-17）求出直流分量，若要让buck变换器电路运行于电感电流连续模式，则必须满足以下条件： (3-29)由式（3-29）可知，buck变换器若要运行在电感电流连续模式主要与占空比、负载电阻、开关周期、电感以及分数阶电感的阶数α有关。第四章分数阶Buck变换器的数值仿真在上一章中，我们通过分析buck变换器电路原理图，得出其两种状态方程，再结合了分数阶微积分的理论知识求解得到了电感电流和输出电压的纹波公式。为了验证上述理论分析的正确性，本章将利用MATLAB/Simulink软件及Oustaloup滤波器[24]算法，从Fractional分数阶模块的封装开始，再到建立分数阶Buck变换器的数值仿真模型，通过仿真得到的波形以及相关数据，最后用来和理论数据相比较，从而以此验证理论的正确性，并分析分数阶和整数阶等不同情况下，buck变换器的工作状态如何。4.1Fractional分数阶模块的封装本文利用Simulink框图法[25]实现对Fractional分数阶模块的封装。首先在Simulink中的LibraryBrowser添加四个模块，分别是两个TransferFcn模块，剩下两个是输入In模块，输出Out模块，如图4-1所示。其中，TransferFcn是微积分算子模块，num和den分别为oustaloup滤波器的分子项和分母项。TransferFcn1模块是一个带宽为wh的低通滤波器，主要是为了防止在仿真过程中出现代数环。图4-1分数阶滤波器全选四个模块，右键单击CreateSubsystem后出现一个封装模块，对封装模块按以下步骤进行参数调整，调整后得到分数阶Fractional模块，如图4-2所示：图4-2封装模块右键封装模块，点击Mask->CreateMask，弹出一个MaskEditor：Subsystem对话框，在该对话框的Icon&Portsd的Icondrawingcommands中输入关键代码：disp('Fractional\n£

Int£

s^{q}');如图4-3所示。图4-3Icon&Ports构建步骤然后点击Parameters&Dialog，在Controls->Parameter里面连续点击Edit三次，添加三个参数，分别是gam、ww、Nloup。并分别将三个参数的Value值设置为-q、[wb,wh]、Nloup，如图4-4所示：图4-4Parameters&Dialog构建步骤最后，单击Initialization，在Initializationcommands里面输入关键代码：wb=ww(1);wh=ww(2);ifkF==1,G=ousta_fod(gam,n,wb,wh);else,G=new_fod(gam,n,wb,wh);endnum=G.num{1};den=G.den{1};T=1/wh;str='Fractional\n';ifisnumeric(gam)ifgam>0,str=[str,'Ders^'num2str(gam)];else,str=[str,'Ints^{'num2str(gam)'}'];endelse,str=[str,'Ders^gam'];endifkF1==1,G=G*tf(1,[T1]);end如图4-5所示：图4-5Initialization构建步骤以上就是oustaloup滤波器算法封装的全过程，此封装模块便可以直接用作分数阶Fractional模块进行分数阶buck变换器的数值仿真建模了。4.2simulink数值仿真与结果分析在上一节完成了oustaloup滤波器的封装，接下来就可以直接利用封装好的模块，即分数阶Fractional模块建立buck变换器的数值仿真模型，如图4-6所示：图4-6分数阶buck变换器仿真模型图图中参数设置为：输入电压Vin=5V，开关周期T=0.00004即开关频率f=25KHz，电感L=1mH，电容C=100µF，分数阶电感的阶数α=0.7，分数阶电容的阶数β=0.6，占空比D=0.4。把相关参数代入电感电流连续模式判别式（3-29）中，计算可得，当R<1.18Ω，buck变换器的运行模式为电感电流连续模式，这里仿真取R=0.5Ω。首先，根据上一章推导得出的纹波电流、纹波电压、最值电流和最值电压等公式，把已知参数的数值带进公式中进行计算，得到理论值分别为：直流分量V0=2V，IL=4A，纹波电流ΔiL=1.695A，输出电压纹波电压Δv0=0.849V。运行仿真模型，得到的电感电流iL和输出电压v0的波形如图4-7和图4-8所示。此时的α=0.7，β=0.6，即电感电容均为分数阶。R=0.5Ω。根据图4-7和图4-8，利用Matlab/Simulink的最值计算功能可得：电感电流最小值iLmin=3.16A，电感电流最大值iLmax=4.92A，输出电压最小值vomin=1.611v，输出电压最大值vomax=2.451V。则ΔiL=iLmax-iLmin=1.76A，Δv0=vomax-vomin=0.84V。把数值仿真得出的结果和上述通过理论计算出来的理论值相比较，两者几乎相差无几，证明了在α=0.7，β=0.6，R=0.5Ω的情况下，符合了电感电流连续模式的条件，并且建立出来的分数阶buck变换器数值模型是无误的。除此之外，通过分析电感电流和输出电压的波形图还可以证明了，当电感电容的分数阶阶数小于1时，电感电流和电容电压的纹波量极速增大。图4-7电感电流iL数值仿真波形图（α=0.7，β=0.6）图4-8输出电压v0数值仿真波形图（α=0.7，β=0.6）上述得到的结果是分数阶阶数α和β均小于1时的情况，为了和上述的结果作比较，接下来分析此仿真模型是否适用于整数阶的情形。把电感电容的分数阶阶数α和β全部设置为1，使其变成整数阶情形，其他参数保持不变。然后根据上一章推导得出的纹波电流、纹波电压、最值电流和最值电压等公式，把已知参数的数值带进公式中进行计算，得到理论值分别为：直流分量V0=2V，IL=4A，纹波电流ΔiL=0.06A，输出电压纹波电压Δv0=0.0038V。在Fractional模块里面修改α和β的值，把分数阶改成1/s即为整数阶，运行仿真模型，得到的电感电流iL和输出电压v0的波形如图4-9和图4-10所示。此时的α=1，β=1，即电感电容均为整数阶。根据图4-9和图4-10，利用Matlab/Simulink的最值计算功能可得：电感电流最小值iLmin=3.976A，电感电流最大值iLmax=4.023A，输出电压最小值vomin=1.9981v，输出电压最大值vomax=2.0018V。则ΔiL=iLmax-iLmin=0.047A，Δv0=vomax-vomin=0.0037V。把数值仿真得出的结果和上述通过理论计算出来的理论值相比较，仿真值和理论值相差无几，证明了在α=1，β=1，即在整数阶的情形下，此分数阶buck变换器数值模型同样适用。除此之外，结合电感电流、输出电压的纹波量和他们的波形图可以分析得出，在整数阶时电感电流和输出电压的纹波很小，特别是输出电压，其波形图在稳定状态下就是一条直线。分析对比分数阶和整数阶所得到的结果，显然，当分数阶电感电容的阶数α和β小于1时，就相当于降低了Buck变换器输出端由电感和电容组成的低通滤波器的阶数，从而导致了其电感电流和输出电压的纹波增大。图4-9电感电流iL数值仿真波形图（α=1，β=1）图4-10输出电压v0数值仿真波形图（α=1，β=1）通过上述分析已知此buck变换器数值仿真模型在分数阶和整数阶情形下均适用，接下来分析分数阶和整数阶同时存在时会得到怎样的结果。这里令电感的阶数α=0.7，电容阶数β=1，即电感为分数阶电容为整数阶。在Fractional模块里面修改α和β的值，保持其他参数不变，运行仿真模型，得到的电感电流和输出电压的波形图如图4-11和图4-12所示。对比图4-11和图4-7可知，两者的波形图基本相同，说明了在电感阶数保持不变的情况下，电感电流的纹波电流并不会随着电容阶数的改变而改变，而纹波电流公式（3-19）也恰好证明了这一点。反观图4-12和4-10，在图4-12中波形虽然仍就是三角波，但它的峰值处和谷值处较为平滑，但并没有像图4-10那般，在稳定状态下波形图趋于一条直线。因此说明了对于纹波电压而言，其主要受分数阶电容的阶数影响，分数阶电感对其影响较小。图4-11电感电流iL数值仿真波形图（α=0.7，β=1）图4-12输出电压v0数值仿真波形图（α=0.7，β=1）最后分析一下当电感电容的分数阶阶数大于1时的情况，令电感阶数α=1.5，电容阶数β=1.5，电容值C=1µF，电感值L=1µH。在仿真模型中把相对应的模块参数改过来，之后运行模型，得到的电感电流，输出电压的仿真波形图如图4-13和图4-14所示。图4-13电感电流iL数值仿真波形图（α=1.5，β=1.5）图4-14输出电压v0数值仿真波形图（α=1.5，β=1.5）综合分析以上四种情况可得，当电感电容的阶数小于1时其电感电流和电容电压的纹波比整数阶时要大，再通过比较电感电容都是分数阶、电感电容都是整数阶以及电感电容一个为分数阶一个为整数阶时得到的波形图和理论值，可以证明电感的阶数对电感电流的纹波电流起着决定性作用，而电容的阶数对输出电压的纹波电压起决定性作用。二者之间也有影响。除此之外，当电感电容的分数阶阶数大于1时，这等同于增加了LC滤波器的阶数，使其滤波性能比整数阶时还高。总结与展望研究总结随着信息技术产业、信息化产业、新能源行业等的高速发展，其对电子电力的要求也越来越高，从而使得分数阶DCDC变换器的发展也得到快速发展。BUCK变换器作为DCDC变换器的基础电路之一，也被广泛应用于各个相关行业中。由于在buck变换器电路中的电感电容实际上是以分数阶的特性存在的，如果再继续在整数阶的情形下去建模分析buck变换器，所得到的结果必定是不准确的，因此建立buck变换器的分数阶数值模型进行相关分析研究是非常有必要的。

本文从介绍分数阶微积分的理论基础开始，主要介绍了其两种特殊函数和三个重要定义以及几条基本性质。然后开始引入状态空间平均法，通过分析buck变换器的电路原理图，得到其两种状态方程，并根据状态方程，利用simulink框图对其进行数值仿真建模。同时利用分数阶微积分的理论基础，求解方程得到了纹波电流、纹波电压、直流分量等重要理论公式。由公式可知，分数阶和整数阶的直流分量一样，即直流分量并不会受分数阶的阶数影响。最后分析波形图结合仿真结果和理论值，得出结论:电感的阶数对纹波电流起决定性作用，电容的阶数对纹波电压起决定性作用，并且电感电容的分数阶阶数越大，纹波电流和纹波电压就越小，即纹波发小与分数阶的阶数大小存在反比关系。研究展望本文利用状态空间平均法结合MATLAB/Simulink完成对分数阶buck变换器的建模分析，但仍有一些不足之处：（1）本文只研究分析了电感电流连续导通模式下的情形，并没有研究断续模式形成对比。（2）本文只研究了分数阶低阶数（0.6阶、0.7阶、1.5阶）和整数低阶（1阶）时的情形，对于高阶数的情形还有待摸索研究。湘潭大学通信工程专业“毕业设计”达成毕业要求指标点情况自评表达成情况自评标准5-完美达成；4-较好达成；3-基本达成；2-欠达成；1-完全未达成毕业设计支撑的毕业要求指标点本毕业设计支撑该项毕业要求指标点的具体体现达成情况自评1能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂通信工程问题本设计运用信号与系统、模电等相关专业理论知识推导分数阶微积分理论基础以及buck变换器电路中电流和电压的纹波量。42-2能够对复杂工程问题所涉及的内容进行文献检索、整理和研究本设计过程查阅了20多篇相关文献，分析了国内外对分数阶DC/DC变换器的研究现状，发现了在实际电路中电感电容是以分数阶的特性存在的。43-1能根据需求确定设计目标，提出合理的解决方案本设计基于电感电容是以分数阶特性存在的，分析Buck变换器电路得出其两种状态方程，通过分数阶微积分理论知识结合状态空间平均法求解方程得到了电感电流和输出电压的纹波量，然后在MATLAB/Simulink中建立分数阶buck变换器的数值模型，对比仿真波形图得到的结果和理论值，验证模型的正确性。43-3能够进行系统结构组成设计和参数计算通过分析Buck变换器电路得到的两种状态方程在Simulink框图中建立其分数阶数值模型；确定电感电容等参数的值后，代入纹波量，电压电流最值，直流分量等公式中，计算得出理论值。43-4能够集成单元过程进行流程设计，对流程设计方案进行优选，体现创新意识本次设计把状态空间平均法运用到分数阶buck变换器的建模过程中，分析比较之后决定利用simulink框图进行建模。33-5能够用图纸、报告等形式呈现设计成果经过前期的设计研究分析，仿真得出波形图，把波形图插入到设计说明书中，最后结合理论基础进行分析。57-2能针对实际的工程项目，分析并判断产品周期中可能对人类和环境造成损害的隐患，并对污染源处置方案和安全防范措施做出评价在实际的电子电力工程中，DC/DC变换器得到了广泛的应用，特别是Buck变换器，其作为分数阶DC/DC变换器的基础电路之一，由于有电流电压容量较大，容易驱动等优点，被广泛应用于电子电力技术领域中去。虽然电能或者电力都是清洁动力，但其仍旧存在着污染，例如核电站带来的核辐射污染，大型水电站带来的生态平衡问题等。这些问题都会对人类生存的环境带来严重影响。因此，对于这些污染问题，需尽快的找到解决方案，保护人类的生存环境这一任务不容有失。39-3能够在多学科背景下的团队中承担团队负责人角色，能组织成员开展工作并发挥管理能力本次设计以自身为主，助教和导师为辅。在设计过程遇见不懂的问题经过自身思考无法解决的就会助教和导师讨论，寻求解决方法。由于自己设计的是buck变换器，与同组同学所做的boost变换器有所关联，并且我们都是在电感电流连续模式下进行的建模仿真。因此可以一起讨论其中的共同点，分享设计心得。410-1具有英语听说能力；具备英语专业文献的阅读理解能力，具备一定的国际视野，能在跨文化背景下进行沟通与交流通过查阅外国文献，对相关英文文献进行翻译工作（文献翻译），分析比较国内外对分数阶DC/DC变换器的研究现状，了解国内外对课题研究的不同侧重点，并得出了电感电容是分数阶的这一结论。310-2了解通信工程专业相关领域的科学技术及发展动态，能与业界同行及社会进行有效沟通与交流DC/DC变换器广泛应用于数据通讯，航天通信，新能源等行业中。为了让DC/DC变换器更好的应用于远程数字通讯，其功率将会有所变化，除此之外利用buck变换器还可以达到节能的作用。由于在本次设计过程中要用到分数阶模块，因此还在CSDN博客网站下载了分数阶工具箱。310-3具备撰写报告和设计文稿、陈述发言、清晰表达或回应指令的能力在word软件中编写毕业设计说明书，言语通顺，层次分明，逻辑清晰，准确分析设计结果，并按论文要求修改格式。411-2能在工程项目方案设计中考虑时间及成本管理、质量及风险管理、人力资源管理在做本次设计之前，明确设计要求，做好设计计划，在导师规定的时间内完成相应的任务。同时在进行设计过程中，规范参数设计，把结果误差降到最小。最后在设计过程中还时常与助教或者同学一起讨论，分享设计心得。312-1能认识不断探索和学习的必要性，具有自主学习和终身学习的意识通过本次设计，深刻的认识到了理论基础的重要性，只有把理论基础学好，后期的实践操作才能更顺利的进行。只有通过不断的学习充实自己强大自己才能站稳脚跟，顺应社会的发展。因此，要把终身学习当成一种习惯。412-2掌握自主学习的方法，了解拓展知识和能力的途径，适应发展在本次设计中有自己的学习思路，养成了善于思考的习惯，培养自主学习的自觉性，遇到不懂的就找助教讨论，同时利用网络进行学习，扩大自己的视野，学习更多的新事物。4参考文献[1]夏震承铨.非线性电路[M].人民邮电出版社，1986.[2]WesterlundS,EkstamL.Capacitortheory[J].IEEETransactionsonDielectrics&ElectricalInsulation,1994,1(5):826-839[3]JonscherAK.DielectricRelaxationinSolids:ChelseaDielectricPress[J].JournalofPhysicsDAppliedPhysics,1983,volume32:R57-R70(14)[4]HabaTC,AblartG,CampsT,etal.Influenceoftheelectricalparametersontheinputimpedanceofafractalstructurerealizedonsilicon[J].ChaosSolitonsandFractals,2005,24(2):479-490[5]JesusIS,TenreiroMJA.Developmentoffractionalordercapacitorsbasedonlectrolyteprocesses[J].NonlinearDynamis,2009,56(1):45-55[6]王发强，马西奎.电感电流连续模式下Boost变换器的分数阶建模与仿真分析[J].物理学报，2011,60（7）：89-96[7]马龙，梁贵书，董华英.含分数阶电抗元件网络的灵敏度分析[J].华北电力大学学报（自然科学版），2013,40（3）：6-10[8]MartinezR,BoleaY,GrauA,etal.FractionalDC/DCconverterinsolar-poweredelectricalgenerationsystem[J].2009:1-6[9]（YangN,LiuC,WuC.Modelinganddynamicsanalysisofthefractional-orderbuck-boostconverterincontinuousconductionmode[J].Chines