分数阶热传导方程的有限差分求解

目录分数阶热传导方程的有限差分求解 9摘要 9Finitedifferencesolutionoffractionalheat 9conductionequations 9Abstract 9第一章前言 101.1分数阶微积分的背景及其研究意义 101.2分数阶微积分的研究现状 101.3热传导方程的简介 111.4本文的主要结构与内容 11第二章分数阶微积分的定义、性质与模型 122.1分数阶的基本定义 122.1.1分数阶导数 122.1.2分数阶微积分 132.1.3分数阶导数 132.1.4分数阶导数 142.2分数阶微积分的一些性质 142.3两种函数 152.3.1函数 152.3.2函数 152.4分数阶微分方程的模型 16第三章分数及热传导方程的有限差分算法 183.1隐式差分格式 183.2数值求解 203.3数值试验与结果分析 21结论 24参考文献 24致谢 24附录 25

分数阶热传导方程的有限差分求解摘要分数阶微分方程能较好地描述.物质遗传.和记忆特性，因而在物.理学、生.物学、化学.等学.科中.的应用越来越广泛。而分数.阶微分方.程的解析.解难.以获得，因此其数值求解方法具.有重要.的理论.和实际.意义。在1965年的.时候，对二分之一阶导数定义的.可能.性给出了.一些解释.和说.明，成为了分.数阶微积分.的最早雏形。本篇毕业论文应.用隐式.有限差.分格.式求解一类.时间-空.间分数阶.热传导方程初边值问题，用语言编程并且针对不同的时间和空间分数导数的阶数进行数值试验，将计算结果用图形表示出来并通过计算结果分析时间项与空间项对温度分布变化的影响。关键词：分数阶微分方程、热传导方程、数值解法、有限差分方法FinitedifferencesolutionoffractionalheatconductionequationsAbstractThefractionaldifferentialequationismore.andmorewidelyusedinphysics,biology,chemistryandsoon，italsocandescribethe.propertiesofmaterialinheritance.andmemorywell.However,theanalyticalsolutionoffractionaldifferentialequationsisdifficulttoobtain,soitsnumericalsolutionmethodhasimportanttheoreticalandpracticalsignificance.Since1695,someexplanationsandexplanationsweregivenonthepossibilityofthedefinitionoftheone-halfderivative,whichbecametheearliestprototypeoffractionalcalculus.Thisthesisusetheimplicitfinitedifferenceschemetosolveaclassoffractionalordertime-spaceheatconductionequationfortheinitial-boundaryvalueproblem,Matlablanguageprogrammingandtodifferenttimeandspaceofthefractionalderivativeorderseveralnumericaltestsarecarriedout,thecalculatedresultswithgraphicalrepresentationandrelatingtotimeandspacethroughtheanalysisofthecalculationresultsoftemperaturedistributionofchange.Keyword:Fractionaldifferentialequation,heatconductionequation,numericalmethod,finitedifferencemethod

第一章前言1.1分数阶微积分的背景及其研究意义分数阶微积分.自17世纪以来，就是一个古老.而新颖.的概念。有很多数学家在整数阶微.积分创立.的初期,如、等已经开始研究它的意义。然而由于技术的匮乏，数学家们长期.以来没有.过多关注.和研究分数阶积分。自从20世纪七八十年代以来，随着社会.科学以及自然.科学的发展，分数阶微积分理论、应用开始受到了数学家们的广泛关注，与之也伴随着对各种分形的对各种复杂系统和分形的深入研究有了深入研究。进入到当今.世纪，分数阶.微积分理.论和建模.方法.已经凸显.了其不.可代替性和独特优势，它的理论和应用研究成为了国际上的一个受科学家关注的热点。在物理学、生物学、化学等学科中产生了很大的影响，在金融学、医学生.物工程.等诸多领域.也有了许多.非常成功.的应用。但是目前唯象.模型.还是大.多数的分数阶微积分.方程研究得以进行的模型，它内在的力学和物理机理，目前还没有被科学家们研究透彻，有待进一步的深入研究。1.2分数阶微积分的研究现状我们知道对于整数阶微分方程的求解方法已经有了比较完善的系统，如欧拉法、改进的欧拉法。而现阶段对于分数阶微积分的理论研究还不够成熟，主要方面表现在：（1）现阶段研究较.多的算法有.哪些呢？主要是有限.差分法.和有限.单元法，而成熟的数值算法.相对较少；（2）还没.有形成成熟.的数值.计算应用和软件，严重滞后于科学领域的现有需求。（3）目前并且尚未解决在数值计算中的许多比较难的难题，如大空间域的计算等。而且算法形式上存在差异，这些差异随着定义的不同而不同，而且分数阶微积分的定义多样，从而也造成算法稳定性证明有差异，精度分析方法也不同，在数值方法和误差估计方面的理论研究也相对较少。分数阶微积分是关于.任意阶（包括复数）微分.和积分的理论，它与整数阶.微积分是统一的，是整数.阶微积分的推广。分数阶微.积分的研究历史.十分悠久，早在1695年，给写过一封信，两人在的信中提及到如果为1/2阶会怎样，自此科学家们展开了对于分数微积分的研究，它也标志.着分数阶微积.分的萌芽。在很长的一段时.间里，人们对于分数阶.微积分的研究主要集中于数学的纯理论领域，数学家们对任意阶导数的微积分理论进行了研究，等科学家为此做了很大贡献。目前，求解.空.间分数阶.微分方.程和分数.阶偏微分.方程的.近.似解，主要是采用都是有.限差.分格.式数值.算法，后者还可用级数法(主要是分解和变分迭代方法)，并且该方法已经比较成熟。分数阶偏微分的理论分析工具主要包括以下几个：数学归纳法、傅里叶方法、矩阵方法(特征值)、能量估计等。1.3热传导方程的简介热能是由物体.大量分子做不.规则运动而.产生的，它有两.种基本的.流动过程，其中之一就是热传导。热传导.实际.上就是热.能的传播，从微观上.说是指相邻分子之间相互碰撞，将一个分.子的动.能传给另一个分子的过程。它和对流、辐射一.起统称为热传递的三种.基本方式。在研究金.属板的.导热、放射性.杆的.热扩.散和气体.膨胀过程等问题时，我们经常.会遇到.抛物线.微分方程。它通.常描述.的是.随时间变化.的物理.过程，又叫做不.定常的物理.过程，热传导.方程就是.其中的一种。热传导方.程式是物.理学.中一个十分重要.的偏微分方.程，它是用.于描述..一定区域内的温度.随时间.变化.情况的方程式。本论文主要讨.论一维的.热传导方程的求解问题，所以.热传导.在一维的等方.向均匀.介质里的.传播可用方程式表达，其中表温度，它是时间变量与空间变量的函数。1.4本文的主要结构与内容此文章主要由第一章前言及第二、三章正文内容组成。第一章前言主要介.绍分.数阶微积分.的研究背.景和现状，介绍了热.传导方.程的研究意义。第二章介绍分.数阶.微分方程.的一些定义.和基本.性质，给出了几个.具体.的分数阶模型的应用实例。第三章首先介.绍热传导方.程的有限差分求.解算法，给出.了数值实验，并对结果进行了.分析，运用语言.绘制出图形。

第二章分数阶微积分的定义、性质与模型本文介绍最.常用的四种.分数阶微积.分定义以及.微积分的基本性质，之后给出函数和函数的定义表达和基本性质。2.1分数阶的基本定义自从十七世纪分.数阶微积分.产生以来，数学家.们就开始.纷纷探讨，旨在建立分数阶算子.的理论.研究.体系。后数学家.们从不同.的角度入手，经过.多年的努力，逐渐建立了.许多种不同.形式的分数.阶算子的定义，现有四种定义常用于基础数学中，其通用形式为:REF_Ref37402019\r\h[1]2.1.1分数阶导数对于任意的实数,记的整数部分为(为小于的最大整数)，假如函数在区间上有阶连续的导数，时，至少取,则定义分数阶阶导数为:其中，。故上式可化为：这个定义是从寻找阶导数与次积分的统一性出发而衍生出来的，可以扩展为负整数。2.1.2分数阶微积分定义的分数阶导数为：类似的，定义的分数阶积分为：分数阶导数和分数阶导数之间有不一般的一个等价关系，对于正实数,,如果定义在区间上的函数有直到次连续导数,并且至少取的条件下，在是可积的,那么这时分数阶导数和分数阶导数实际上是等价的。但如果没有上述条件的话，定义是定义的扩充，它的应用范围也更加广泛。2.1.3分数阶导数对于正的非整数,(其余情况与定义相同),其中。有时函数需要定义在无穷区间上,那么我们可以给出如下的分数阶导数的定义,。分数阶导数和分数阶导数也有一个关系,对于正实数,,当定义在区间上的函数有直到次连续导数,并且在是可积的,那么。则由定义可知，在条件：（1）有阶连续导数，并且至少取;(2)条件下，分数阶导数和分数阶导数其实可以认为看作是相同的。在前面描述的所有分数阶导数定义中，在特定一点的与这一点之前的函数值的分数阶导数值事实上是相关的，因此常常用上述定义来求导时间变量的分数阶导数。2.1.4分数阶导数对于正实数α，令，定义在区间上的函数的α阶分数阶导数的定义表达式是：由公式可以看出，分数阶导数的定义形式实际上可以看做左端和右端分数阶导数的和。其实对于定义，在任意一点处，它两边的函数值的分数阶导数其实相关的，因此空间变量的分数阶求导，我们常常采用上述所给出的定义。2.2分数阶微积分的一些性质分数阶微分是在数学及其他领域中最常用的分数阶微分定义，针对分数阶积分讨论其有关性质。设是定义在上的函数，令，则有：REF_Ref37402285\r\h[3]性质1：性质2：性质3：，当为整数时，。特别地，当为整数时，。性质4：性质5：先积分再求导有：性质6：先求导数再积分有：性质7：2.3两种函数2.3.1函数函数定义：基本性质为以下两点：2.3.2函数函数定义：函数可用函数表示为：2.4分数阶微分方程的模型例1.1时间.分数阶.的偏微.分模型。一些反常.的自然现.象通常是用时间分数阶偏微分.方程来描述的，我们了解.在空间全平面内，时间分数阶.偏微分方.程有以下特殊情况:时间分数.阶扩散方程和.相对应的.整数阶偏微.分方程。下面给出.具体的.时间分数阶偏微分方程模型:其中指数阶导数表示分数阶导数。例1.2：粘弹性.分数阶导.数模型。高分子材.料的力学特性.能很好.地用粘.弹性分.数阶导数模.型应用拟合，我们对.一般的粘弹.性材.料采用四.参数分.数阶.导数模型，能.较好模拟.材料的松.弛模量在两.个以上数.量级的时.间或区间.段内，其模型为:式中表示线性算子。例1.3：第.一问.题的分.数阶导.数模型。考虑无.限平板.处于无.界静.止流体.中时.的状态，在的瞬间，平板.以二轴.方向.速度突.然起动，求解.保持等速.运动相.应的非定.常流动。在流体力.学教材中，它通.常被称.为非常.经典.的第.一流体.力学问题。其分数阶导数模型为:其中的分数阶导数的定义是：表示阶跃函数。例1.4分数阶.扩散方.程模.型。想要.更好描述.受非.指数.松弛方.式控制的.复杂系统.的运.输动.力，只需在.最基本的随.机行走模.型基础.上，导出扩.散类.型的分数阶.运动方.程的.具体.模型如下:其中，这里记号表示函数的阶的分数阶导数，当时，模型式代表标准扩散；当时，模型式表示反常的亚扩散。例1.5经典热传导方程。由于分数阶微分方程更适合于描述具有遗传和记忆系统，因此人们.将.分数.阶导.数分别引.入热传.导方程.的时间.和空.间中，建立对应的分数阶热传导方程数学模型，然后对其进行差分离散后再求出它的近似数值解。其基本模型如下：从上述例子中可以看出，分数阶微分方程已经得到广泛应用，因此发展分数阶数值算法是很重要的。

第三章分数及热传导方程的有限差分算法由上章可知，经典的热传导方程为：（2-1）由于分数阶微分方程更适合于描述具有遗传和记忆系统，因此人们将分数阶导数分别引入热传导方程的时间和空间中，建立对应的分数阶热传导方.程数学.模型，然后对其进.行差.分离.散后再求.出它的.近似数.值解。将热.传导.方程的时.间导数项用阶导数来代替，同时方程的空间导数项用阶分数.阶导数.来.代替，得到.如.下的时.间-空.间分数.阶热传导.方程的数学模型：（2-2）由分数阶导数定义，其中分数阶偏导数的定义为：3.1隐式差分格式为了进行数值求解，首先给出求解区域的网格剖分：设；，其中分别为时间步长和空间步长。假定为分数阶微分方程在网格点处的精确值，令为网格点数值近似解。由分数阶导数定义，在点处的时间项分数阶导数可进行如下的计算：（2-3）令，则由上式可得差分近似公式：（2-4）对于空间分数阶导数，采用移位的公式近似：（2-5）其中，，，综合（2-1），（2-4），（2-5）式两个分数阶导数的近似差分格式，得：整理得：（2-6）3.2数值求解令，，因为网格点数值近似解，得到差分方程：其中，。（2-7）设,得到格式的矩阵形式为：（2-8）其中系数矩阵A为：其中：解上述矩阵方程组得到的解是稳定且收敛的。3.3数值试验与结果分析考虑一根长为2米的均匀杆子，起始时刻杆子的温度分布不均匀，研究经过4秒后杆子的温度分布情况。（2-9）其中：将杆子的空间项即杆长均匀分成20份，即；时间项即传导时间均匀分成1000份，即：。依次改变时间分数导数，与空间分数导数的值，研究它们数值的变化对杆子温度场的影响情况。令空间分数阶阶数的值固定为1.2，而时间分数阶数变化，依次取：0.5、0.7、0.9，用编程得出其数值解的曲线图如下图2-1、图2-2所示；同样地令时间分数阶阶数的固定值为0.6，而空间分数阶阶数变化，依次取1.3、1.5、1.7，用编程得出其数值解曲线图如下图2-3、图2-4所示。图2-1时间分数阶导数变化时温度随空间变化曲线注1图2-1为取固定值1.2时，依次取0.5、0.7、0.9三个数值时，在热传导2秒时杆子的温度的空间分布情况。由上图可以看出，在2秒时，时间分数阶阶数的值越大，杆子各处的温度越低，且对杆的温度的分布的影响是十分明显的。在2秒时刻，温度的最大值出现在杆子0.4m左右，越接近杆尾温度越低越接近0°。图2-2时间分数阶导数变化时温度随时间变化曲线注2图2-2为取固定值1.2时，依次取0.5、0.7、0.9三个数值时在杆子1米处的温度随时间变化情况。由上图可以看出，由于杆各处的初始温度分布不均，导致热量由由高温度区向低温度区传播，在x=1m处随着时间的推移温度总体下降趋于零。而时间分数阶阶数的数值越大，该处温度下降的速度越快，即对杆温度的变化是很有影响的。图2-3空间分数阶导数变化时温度随空间变化曲线注3图2-3为取固定值0.6时，依次取1.3、1.5、1.7时，在热传导2秒时杆子的温度的空间分布情况。由上图可看出，空间分数阶阶数越大，杆子各处的温度越低。在2秒时，温度的最大值出现在杆子0.4m左右，越接近杆尾温度越低越接近0，且空间分数阶阶数对温度的分布的影响是很明显的。

图2-4空间分数阶导数变化时温度随时间变化曲线注4图2-4为取固定值0.6时，依次取1.3、1.5、1.7时在杆子1米处的温度随时间变化情况。由上图可以看出，由于杆各处的初始温度分布不均，导致热量由由高温度区向低温度区传播，在x=1m处随着时间的推移温度总体下降趋于零。而时间分数阶阶数的数值越大，该处温度下降的速度越快，即对杆温度的变化是很有影响的。注5图2-5为固定和时得出的关于和的三维图图2-5关于和的图结论本论文首先引入分数阶微分方程，介绍它的基本概念和性质，然后给出了分数阶热传导方程中的数值计算格式，然后再用数值方法对其进行求解，用绘制出它的图形。通过实例分析，我们得出对于分数阶热传导方程，当他的时间项和空间项都有分数阶时，无论是随时间变化，还是空间变化它的温度都会受到来自时间和空间分数阶阶数的影响，且影响明显。参考文献马晓丹,分数阶微分方程的数值解法[D].中国石油大学（华东）硕士学位论文,2008.4I.Podlubny.FractionalDifferentialEquations[M].SanDiego:AcademicPress,1999张慧琛分数阶微积分的一些性质和证明忻州师范学院学报034000第2期21-22黄云清，舒适，金继成，文立平．数值计算方法[M]．北京：科学技术出版社，2009．KaiDiethelm,NevilleJ.FordandAlanD.Freed.DetailedErrorAnalysisforaFractionalAdamsMethod[J].NumericalAlgorithms,2004,36:31–52MarkM.Meerschaert,Hans-PeterScheffler,CharlesTadjeran.Finitedifferenceapproximationsfortwo-dimensionalfractionaldispersionflowequations[J].JournalofComputationalphysics,2006,211:249-261卢旋珠.时间分数阶对流-扩散方程的有限差分方法[J].福州大学学报(自然科学版),2004,32(4):423-426致谢本文是在导师文立平老师的悉心关怀和指导下完成的，无论是从论文题目的选择、整体的规划、具体流程，到项目最终的完成老师都付出了极大地心血。老师渊博的学识、严谨的治学精神，对同事和学生的关怀深深地感染和激励着我。文老师不仅在学习上给予我精心的指导，同时在生活上问老师也会与我促膝长谈，给予我无微不至的的关怀，在此谨向文老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。同时感谢所有为我的论文提供帮助和给予支持的同学、朋友们，感谢大家这四年来的陪伴。也感谢我的父母，正是因为他们的默默付出与大力支持，我才能顺利地完成学业！

附录（1）主函数zhs：%固定bata=1.2;改变alafa，分别取0.5,0.7,0.9%在时间t=2s时的u图像U=xal(a,b,N,T,M,alafa1,bata);u1=U(:,M/2);U=xal(a,b,N,T,M,alafa2,bata);u2=U(:,M/2);U=xal(a,b,N,T,M,alafa3,bata);u3=U(:,M/2);plot(x,u1,'r--',x,u2,'g:',x,u3,'b-')xlabel('x');ylabel('u(x,t=2)');title('固定bata=1.2时u关于x图像')legend('alafa=0.5','alafa=0.7','alafa=0.9');figure%在x=1m时的u图像U=xal(a,b,N,T,M,alafa1,bata);u1=U(N/2,:);U=xal(a,b,N,T,M,alafa2,bata);u2=U(N/2,:);U=xal(a,b,N,T,M,alafa3,bata);u3=U(N/2,:);plot(t,u1,t,u2,t,u3)title('固定bata=1.2时u关于t图像')xlabel('t');ylabel('u(x=1,t)');legend('alafa=0.5','alafa=0.7','alafa=0.9');figure%固定alafa=0.6，bata分别取值为1.3,1.5,1.7.%取定t=2s时的u图像U=xal(a,b,N,T,M,alafa,bata1);u1=U(:,M/2);U=xal(a,b,N,T,M,alafa,bata2);u2=U(:,M/2);U=xal(a,b,N,T,M,alafa,bata3);u3=U(:,M/2);plot(x,u1,'r--',x,u2,'g:',x,u3,'b-')title('固定alafa=0.6时u关于x图像')xlabel('x');ylabel('u(x,t=2)');legend('beta=1.3','bata=1.5','bata=1.7');figure%取定x=1m时的u图像。U=xal(a,b,N,T,M,alafa,bata1);u1=U(N/2,:);U=xal(a,b,N,T,M,alafa,bata2)u2=U(N/2,:);U=xal(a,b,N,T,M,alafa,bata3);u3=U(N/2,:);plot(t,u1,t,u2,t,u3)title('固定alafa=0.6时u关于t图像')xlabel('t');ylabel('u(x=1,t)');legend('beta=1.3','bata=1.5','bata=1.