勾股定理的逆定理及其应用（知识+6个题型讲练+中考题演练+难度分层练）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题20.2勾股定理的逆定理及其应用

（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共43题）

【解析版】

。目录导航_

知识荟萃................................................................................2

知识点梳理01:互逆命题与互逆定理....................................................2

知识点梳理02：勾股定理的逆定理......................................................2

知识点梳理03：勾股数................................................................3

题型讲练................................................................................4

题型1:判断三边能否构成直角三角形...................................................4

题型2:图形上与已知两点构成直角三角形的点..........................................5

题型3：在网格中判断直角三角形.......................................................8

题型4:利用勾股定理的逆定理求解....................................................11

题型5：勾股定理逆定理的实际应用....................................................15

题型6：勾股定理逆定理的拓展问题....................................................18

中考真题...............................................................................22

分层训练...............................................................................29

基础夯实............................................................................29

培优拔高............................................................................35

♦知识莒萃

知识点梳理01：互逆命题与互逆定理

互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题.如果把

其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，

称这两个定理互为逆定理.

1、对互逆命题的理解：

①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，

第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反；

②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成转论，并将结论改成题设，就可以

得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系.

③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如

果……那么……”的形式.

1、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为

真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理.

知识点梳理02：勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a^b=c\那么这个三角形

是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.

1、用勾股定理判定直角三角形的步骤；

①找：找出三角形三边中的最长边；

②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；

③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.

【易错点拨】

(1)才+方2=。2只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平

方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边.

(2)这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或

其他方法未证明.

勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系:

勾股定理勾股定理的逆定理

条件在RtZXABC中，ZC=90°在aABC中，a2+入/

结论才十匕二4ZC=90°

勾股定理是一个直角三角形勾股定理的逆定理的是以一

为条件进而得到三边满足的个三角形的三边满足

为条件进而得到这

区别数量关系才+ZM,是由“形”

到“数”.个三角形是直角三角形，即

由“数”到“形”.

联系两者都与三角形的三边有关系.

知识点梳理03：勾股数

勾股数：满足J+g=c2的三个正整数，称为勾股数.

1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足3+32=/,但是它们不是正整数，所

以它们不是够勾股数.

2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13：-

4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：

①确定是否为三个正整数a,b,c；

②确定最大数c；

③计算较小两数的平方和是否等于c2；

④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.

♦题型拼练

题型1:判断三边能否构成直角三角形

【典例精讲】（24-25八年级下怏西商洛期末）在中，'。二'”八？、“"、,。

：、NACB713皿

求的度数.

90°

【答案】

【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键.

4c2+gr2_AD2△ABC

通过计算可得一，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，据此

即可求.

v4C=x/5SC=2V3AB=E

【规范解答】ft?：)",

AC2+BC2=(百『+=17MB2=(<17)2=17

AC2+BC2=AB2

・•・△^CB=90°

为直角二角形，且tI

【变式训练1］（24-25八年级下-云南红河・期末）下歹J各组线段中，不能构成直.角三角形

的一组是（）

A.3,4,5B.3,5,7C.6,8,10D.5,12,13

【答案】B

【思路点拨】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键：根据

=c?

勾股定理逆定理，若三角形三边满足一（。为最长边），则该三角形为直角三角形,

分别计算各组线段是否满足此条件即可.

32+42=25=52

【规范解答】解：对于选项A：•・•一一，，能构成直角三角形;

32.c2_3472

对于选项B：・・・°-，，不能构成宜角三角形;

62+82=100=102

对于选项c：•・・，，能构成直角三角形；

,2+1>=1sg=102

对于选项D：♦・・,-,・••能构成直角三角形;

故选：B.

abc

【变式训练2】（24-25八年级下・甘肃定西-期中）已知三角形边长为，，，如果

72H3=。,试判断三角形的形状.

【答案】该三角形是直角三角形

【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及非负数的性质.根据非负数的性质可得

a—5=0b—12=0c—13=0abc

,,,再解出、、的值，利用勾股定理逆定理可得该三角

形是直角三角形.

【规范解答】解：该三角形是直角三角形.理由如下:

,.(a-5)2+|b-12|+Vczl3=0

a—5=0b—12=0c-13=0

a=5b=12c=13

解得，，

,,a2+b2=169.C2=169

*a2+b2=c2

••，

・•・该三角形是直角三角形.

题型2：图形上与巳知两点构成直角三角形的点

4x4AB

【典例精讲】（23-24八年级下-广西玉林・期末）如图，在方格中作以为一逅的

,要求点。也在格点上，这样的能作出（)

A.2个B.4个C.6个D.7个

【答案】C

【思路点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决

ABRtA45CABRt^ABC

本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个.

则第三个顶点所在的位置有：aD、E、〃四个;

当是直角边，力是直角顶点时，第三个顶点是〃点;

AB

当是直角边，8是直角顶点时，第三个顶点是£

因而共有6个满足条件的顶点.

故选C.

△4BC

【变式训练1】（23-24八年级下-广东中山・期中）如图，在中，月8边上的垂直平

rp-=AE2—CE2

分线DE与AB、力C分别交于点〃、£,且一

4C=15BC=9

⑵若M，，求"的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵

【思路点拨】本题考杳了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理

以及线段垂直平分线的性质解题即可.

BE

（1）连接,根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证;

CE=x

（2）设一，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解.

BE

【规范解答】（1）证明：连接，

DEAB

V是的垂直平分线，

AE=BE

••，

♦・CB2=AE2-CEZ

•，

CB2=BE2-CE2CE2+CB2=BE2

/.,即，

△BCE

・•.是直角三角形,

*4=90。

CE+BE=15

,CE=xBE=15-x

设，贝J,

,.CE2+CF2=BE2BC=9

•，，

,92+x2=（15-x）2

••，

解户，

,-=T

♦♦

5x5

【变式训练2】（22-23八年级下•浙江台州•期中）在如图所示的的方格图中，点/I

4ABeAB

和点片均为图中格点.点。也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形.这样的

点。有（）

B

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【思路点拨】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可.

【规范解答】解：如图，满足条件的点C共有4个，

题型3：在网格中判断直角三角形

8x8

【典例精讲】(24-25八年级下-云南普洱・期末)如图，在的网格中，每个小正方形

的边长都为1,四边形"8,"的顶点都在格点(网格线的交点)上.

BCCD

(1)求线段和的长.

(2).,”是直角吗？请说明理由.

BC=2VI6CD=V29

【答案】(D

(2)CD是直角，理由见解析

【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理

的逆定理是解题的关键.

（1）根据勾股定理解答即可：

（2）根据勾股定理逆定理即可.

BC=V22+62=2710

【规范解答】（1）解：根据题意得：

CD=V22+52=>/29

♦

（2）解：*34。是直角，理由如下:

BD

如图，连接，

AB2=22+d=20,4。2=22+12=5,BD2=32+42=25

根据题意得:

AB2+月。2=BD2

即力，。是直角.

3x3

【变式训练1］（24-25八年级下-黑龙江牡丹江-期末）如图，在正方形的网格中，

△4BC

每个小正方形的边长都为1,的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（）

A

息i\i

4C=7104=90。

C.只有两条边长为无理数

【答案】C

【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理.，三角形面积公式.

根据勾股定理可判断A、C,进而根据勾股定理逆定理可判断B,最后根据三角形面积公式判

断D即可.

AC=012+.2=x/Tfi

【规范解答】解：，A说法正确;

AB="2+112=&BC=a2+22=2&mil-、大匕4/14•工诩蚪广出、+也、口

,,则二边长均为无理数，C说法错误;

_22

AB2+BC2=(、攵)"+(2&)~=AC2=90。

则，即，B说法正确;

AChTXV2X2V2=1X^X4h=2

设边上的高为，则22，解得5,D说法正确;

故选：C.

【变式训练2】(23-24八年级下•北京密云•期末)如图，网格中每个小正方形的边长都是

ABC

1,''三点都是格点(水平线和垂直线的交点).

△ABC

(1)判断的形状，弃证明;

ABC

(2)若’’是某个平行四边形的三个顶点，在网格中画出所有符合题意的平行四边形.

△48C

【答案】(1)是直角三角形，证明见解析

(2)见解析

【思路点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定,

AD24c2DQ2

对于(1)，根据勾股定理求出''，再根据勾股定理的逆定理判断即可;

AC.BCBC.ACDiACBD.

对于(2),以为边，过点48作的平行线，两直线交于点\四边形1是

平行四边形；再以"为对角线，作”=9'ABIICD"四边形48C02是平行四边形：然

后以为对角线，作48=为ABIICD3,四边形4803c是平行四边形.

△ABC

【规范解答】（1）解：是直角三角形.

…门4c2=22+42=20,BC2=22+12=5,482=52=25

证明：由已知，

.AB2=AC2+BC2

△48C

・•・是直角三角形;

(2)解：

题型4：利用勾股定理的逆定理求解

ABC45=10

【典例精讲】(23-24八年级下•广东揭阳•期末)如图，一张三角形纸片，已知，，

1C=8BC=6ABDEACD

,,将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边

△4BC

(1)求的面积.

(2)求折痕0品勺长.

【答案】(D24

15

⑵4

【思路点拨】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折直

的性质是解答此题的关键.

12ABC

()先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答

即可；

28。..,_,,.,_,AD=BDAE=BECD=xAD=BD=8—x

（）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则

Rt△BCDBDRt△BDE

在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出

DE

的长.

【规范解答】⑴解：.严=&BC=-*64,8*36"*I。。

AB2=AC2+BC2

^ACB=90°

S^ABC=rACBC=-x8x6=24

BDCD=x

(2)解：连接，设

ABDEACDABE

•・•折置后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点.

△ADEBDEDE1AB

AE=BE=^AB=S,AD=BD

CD=xAD=BD=8—x

设，则

,RtABCD_BD2=CD2+BC2

在中，

前（8—刈2=/+36

即

DC=\

解得，4

RD=8D=8W

44

••DELAB

DE=\fBD2-BE2

_-△48cAS=13AC=15

【变式训练1】（24-25八年级下•陕西西安•期中）如图，在中，，

BCAD=12BD=5

〃为边上的一点，，

△48C

(2)求的面积.

【答案】（1）见解析

(2)84

【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆

定理是解题的关键.

/B=13AD=12BD=5^AD2+BD2=52+122=132=AB2^ADlBC

(1)根据，，，得，证明

22△

⑵根据勾股定理，得n""r='>>dAC-ADU=9",求得BC=BD+DC=14，计算ABC的

面积即可.

.,AB=13AD=12BD=5

【规范解答】(1)解：:，,

AD2+BD2=52+122=132=AB2

AD1BC

,AC=15RD=12NADB=NADC=90。

(2)解lJ}：,：,,

.DC=<AC2-AD2=9

••9

BC=BD-hDC=14

△ABC:BCAD=:x14x12=84

的面积为:

【变式训练2】（23-24八年级下•江苏常州•期中）如图，48”中,

AB=8,AD-17,BC=9,CD—12,△BCD.,

,求的面积.

【答案】

【思路点拨】此题考杳了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理逆定

BD=15△BCD

理是解题的关键.先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理推出是直角

=90。

三角形，一，最后根据三角形面积公式求解即可.

^ABD=90°

【规范解答】解：由题意得，

••AB=8.4D=17

•，

.BD2=AD2-AB2=172-82=225

••，

BD=15

:.（负侑舍去），

8c=9,CD=12

.SC2+CD2=81+144=225=BD2

△BCD4=90。

・•・是直角三角形,且

△BCD=yCD-5C=ix12x9=54

的面积

题型5：勾股定理逆定理的实际应用

【典例精讲】（23-24八年级卜•河南洛阳・月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期

的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图,

CD=13mAD=12m4BC=90°

（1）求'’的长度;

（2）若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

4，C■■■

【答案】（1）的长度为m

1800

（2）共需花费元

【思路点拨】本题主要考台勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键.

（1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解;

△ACD

（2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由

此即可求解.

，一j^ABC=9Q°AB=3mBC=4m

【规范解答】（1）解：;，，

.Rt△ABCAC=\AB2+BC2=4+夕=5(m)

••仕'F，

AC,,,5m

的长度为

4c=5mCD=13m4D=12m

(2)解：已知，，

AC2=25心=122=144CD2=132=169

"+极=亦，即25+应=169

△ACD,,

是直角三角形,

5^CD=^CX/4D=1X5x12=30(m2)S^=^ABxBC=^x3x4=6(m2)

•44ABC44

••，，

30+6=36(向)

・•・空地的绿化的面积为'，,

,平均每平方米空地的绿化费用为“元，

36x50=1800

・••绿化这片空地共需花然(元).

1800

••・共需花费元.

【变式训练1】(23-24八年级下•新疆乌鲁木齐•期中)如图，某住宅小区在施工过程中留

ABCDABCD4B=3m5C=4m

下了一块空地(图中的四边形)，经测量，在四边形中，，，

CD=12mDA=13m/B=90°

△4CD

(1)是直角三角形吗？为什么？

(2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米5()元，试问铺满这块空地共

需花费多少元？

【答案】(1)是直角三角形，见解析

(2)1800元

AC△ACD

【思路点拨】(1)根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，

解答即可.

(3)根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可.

本题考杳了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键.

【规范解答】(1)解：是直角三角形，理由如下：

AC

如图，连接

♦*AC=5mCD=12mDA=13m

•99，

AC2-bCD2=122+52=132=AD2

且，

./ACD=900

••，

△4CD

故是直角三角形.

ABCD?BC.AB+)C・CD

(2)解：根据题意，得四边形面积为：22

ix3x4+^-xl2x5=36(m2)

36x50=1800

根据题意，得(元).

【变式训练2】(23-24八年级下•贵州遵义•月考)为了绿化环境，我区某中学有一块空地

ABCD4DC=90。CD=3

四边形，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米,

ABCD

(1)求出空地的面积；

(2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元?

24m2

【答案】(1)

(2)9600元

【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理的逆定理判定直角三角形是解

题的关键；

4CACy^ACB=90°

（1）连接，利用勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断出一，由

5国边的BCD=S.ACB_5BD

求解即可;

X

（2）由总面积每平米的费用求解即可.

【规范解答】（1）解：连接"，

RtA4CD

在中,

AC=\lAD2^CD2=5(m)

vAC2+BC2=52+122=169,4*=132=169

・•.AC2+BC2=AB2

・••^ACB=9Q°

*'e'圆=S3CB~^LACD~彳".'CD=7x5x12--X3x4=24（in*-）

答：空地"8的面积为24ml

24x400=9600

（2）解：总共需投入（元），

答：总共需投入9600元.

题型6：勾股定理逆定理的拓展问题

1,12

A/RC-十一=一/r

【典例精讲】（24-25八年级下•湖南湘西•月考）在"中，"b’，则（）

A.一定是锐角B.一定是直角C.一定是钝角I）.都有可能

【答案】A

£+£=2

【思路点拨】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把。&'进行变形，变

形为‘，再利用三角形边角关系得，把其代入可得关系式，再

a?+>2Q方a?+62>c2/C

利用完全平方公式得-,可得，可得一定是锐角.

I+£=2

【规范解答】解：•・•£LZ,

a+2>_—2

.abc

••9

c(a+b)=2ab

••9

a,b,c

•・•是三角形的三边，

*a+b>c

••，

*lab>c2

••，

..(a-b)2>0

•，

.a2+炉-2ab>0

••，

即砂十八29

a2+b2>c2

•t♦，

・•・4一定是锐角.

故选：A.

=fl*+

【变式训练1】(23-24八年级下•湖南长沙•期中)定义：a,。为正整数，若一,

132=S2+122

则称。为“完美勾股数”，a,b为。的“伴侣勾股数”.如一，则13是“完美

勾股数”，5,12是13的“伴侣勾股数”.

⑴数10________”完美勾股数”(填“是”或“不是”)；

△ABC,a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0

⑵已知的三边a,Ac满足.求证：。是“完

美勾股数”.

2222

⑶己知R,n>0且m>n，c=2m+2mn+2n，a=m+4mn4-n，b=y/3'(m4-n)"

3d+力Y—TH+71

C•为“完美勾股数”，a，6为c的“伴侣勾股数”.多项式P有一个因式

求该多项式的另一个因式.

【答案】（1）是

（2）见解析

x2-2x-2

⑶

【思路点拨】本题考查了勾股数和新定义的综合应用.

（1）根据完美勾股数的定义可得答案;

（3）利用完全平方公式记明即可;

（3）由勾股定理可得/〃，〃的关系式，将加，〃的关系式代入“一6+",根据多项式

.x—m+n

有一个因式，求解即可.

..in2_r2.o2

【规范解答】（1）解：•~

••数10是“完美勾股数”,

故答案为：是;

⑵证明：m,6a+9)+(正—8a+16)+dT0c+25)=。

・•.(a-3)2+(b-守+(c—5>=0

・・•(a-3尸20；(b-4)2N0;(C—5>N0.

a=3,b=4,c=5

•••c2=a2+

是“完美勾股数”;

c2=a2+b2

（3）解：由题意得：

(2m2+2mn+2n2)2=(m2+4mn+n2)2+3(m+n)2

(2m2+2mn+2n2)2-(m2+4mn+n2)2=3(m+n)2

••・(3m2+6mn+3n2)(m2-2mn+n2)=3(m+n)2

A(m+n)2(m-n)2=(m+n)2

9

•••(m+n)2[(m—n)2-1|=0

9

vm.n>0；m>n

又，

(m-n)2-1=0m-n=1

»即

m=n+1

Z-3/+p有一个因式为Lm+.—l

•••x3-3x2+P=(x-1)(%2-2x-2)

必一2x-2

，另一个因式为.

【变式训练2】（24-25八年级下•江苏无锡•期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角

板玩，三角板不小心掉到墙缝中.我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图.王老师没有批

评他，但要求他完成如下两个问题：

△ADC必CEB

（1）试说明

（2）从三角板的刻度知K=25cm,算算一块砖的厚度.（每块砖的厚度均相等）小明先将

△4BC

问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA=CB,ZACB=90°,AD_LDE于D,BEX

DE于E.请你帮他完成上述问题.

DCE

【答案】（1）证明见解析；（2）5cm

【思路点拨】（1）根据题意可得AC=BC,ZACB=90°,Al）IDE,BEIDE,进而得到/ADC

=NCEB=90°,再根据等角的余角相等可得NBCE=NDAC,再证明△ADCgZXCEB即可.

（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答.

【规范解答】证明：（1）如图：

VAD±DE,BE_LDE,

AZADC=ZBEC=90°,

AZ1+Z2=9O°,

VZACB=90°,

・・・N2+N3=180°-90°=90°,

VZADC=ZBEC=90°,

.-.Z1=Z3,

由NADC=NBEC=90°,Z1=Z3,CA=CB,

AAADC^ACEB；

(2)设每块砖厚度为xcm,由①得，DC=BE=3xcm,AD=4xcm,

VZADC=90°,

.-.AD2+CD2=AC2,

即(4x)2+(3x)2=252,解得x=5,(x=・5舍去)，

・•・每块砖厚度为5cm.

♦中育真题

△ABCAB—3AC-4BC-5AC

1.（2024•河北沧州•中考真题）在中，，，〃为中点，

BD

则的长为（）

1.52.5V13

A.B.2C.D.

【答案】D

【思路点拨】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理

的逆定理是解本题的关键.

先证明4=90<,再利用勾股定理可得BD==\fl3从而可得答案.

【规范解答】解：如图：

*AB2+AC2=32+42=25BC2=S2=25

••，

.AB2+AC2=BC2

./A=90°

AC

丁点〃是的中点,

AD=CD=2

.BD=V4D2+AB2=VTT9=V13

••

故选：D.

△ABCa力,满足9一双苏一丛一曲二°,

2.（2024•江西鹰潭•中考真题）若的三条边，

△ABC

则的形状是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关

键.

根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解.

,（。-6）（。2一/一。2）=。

【规范解答】解：由得，

当"°=°时，a=b,此时△"BC的形状是等腰三角形：

当出_从_^=0时，。2=从+,：此时△■C的形状是直角三角形;

△48C

••・的形状是等腰三角形或直角三角形，

故选：I）.

△ABCAB=6AC-8BC=10BC

3.（2024•上海•中考真题）如图，在中，，，，P为边上

—动点（不与端点重合），PE，吗PF〉：垂足分别为反凡V为"的中点，设“用的

长为x,则x的取值范围是.

y<X<4

【答案】5

△ABCAEPF

【思路点拨】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，得出四边形是矩形,

AM=^-EF=\AP^<X<4

求出22,求出5,即可得出答案.

Ap

【规范解答】解：如图所示，连接.

482+402=25+144=169=BC2

•*•

.AB2+AC2=BC2

••，

.^BAC=90°

••，

..PEIAB,PFLAC

/AEP=^AFP=々AC=90。

IAEPF,

・•・四边形是矩形,

AP=EF

・.440=90。EF

"为中点,

AM==LAP

APIBC,AP

・.•当时,值最小,

SABM=:X6x8=i-xIQxAP

，此时

2AMAM>^-

s,即5

4P=8

当〃和。重合时，

TP和反。不重合，

AP<8AM<4

:.,即

^<AM<4-<x<4

,即5

故答案为：依“々

ABCDEFABCD

4.（2024•全国•中考真题）如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点,

BDAGIIDBCBGGFAD1BDDEIIBF

是对角线，，交的延长线于，连接，.下列结论：①：

〜BEDF八,平行四边形718co=45上尸0AB=6AD=4FG=V5S

②四边形是菱形；③；④若,，那么其

中所有正确结论的序号是

DC

G

【答案】①②③

【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，三角形中线的

性质，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到

AB=CD,ABIICDADIIBCAD=BCDF=BE

,再由线段中点的定义推出,则可证明四

BEDF

边形是平行四边形，据此可判断①；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的•半得到

DE=BE=-AB

，据此可判断②；由三角形中线平分三角形面积得到

SdBCF=¥&BCD-jS平行四边形XBCD

AGBD

,据此可判断③：证明四边形是平行四边形,得到

BG=AD=BC2=屈^CFG=90°BF="GBF

,再假设，可证明此时，则一，这与2

矛盾，据此可判断④.

ABCD

【规范解答】解：•・•四边形是平行四边形,

,AB=CD,4FIICDADIIBCAD=BC

•99

EFABCD

••、分别为边、的中点，

DF=、D,BE=^AB

•，

*DF=BE

BEDF

••四边形是平行四边形,

DEIIBF

故①正确;

ADLBDAB

点£为的中点,

DE=BE=\AB

BEDF

平行四边形是菱形，故②正确：

FCD

为的中点，

S&BCF=尹ABCD=:5平厅国理川形四。=45A5FC

,即，故③正确;

ADIIBCAGIIDB

AGBD

四边形是平行四边形，

BG=AD=BC=4

CG=8G+BC=8

BEDF

四边形是菱形,

BF=DE=^AB=3

2

当”=博时，则CF2+FG2=55+9=64=CG：则HG=9。。

BF二CGBF字:CG

・•・~，这与"矛盾

・・.FG=V55不成立，故④错误；

故答案为：①②③.

ABC

5.(2024•云南丽江•中考真题)如图，在直角三角形，

^ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13

AC

⑴求的长.

△4CD

(2)试判断的形状.

ABCD

(3)求出四边形的面积.

【答案】(1)5

(2)直角三角形

(3)36

【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理

的逆定理是解题的关键.

AC

(1)在中，利月勾股定理求出的长,

△ACD

(2)然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形;

ABCD=△ABC+△ACD

(3)利用(2)的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行

计算即可解答.

•：/4BC=90°AB=38c=4

【规范解答】(1)解：，，

：.AC=<AB2+BC2=v32+4s=5

△4CD

(2)解：是直角三角形,

vCD=12AD=13

A4C2+CD2=52+122=169AD2=132=169

・•.AC2+CD2=AD2

ACD

是直角三角形;

vAB=3BC=4CD=12AC=548=90。^ABC=9Q°

⑶解：，，，，，

/.ABCD=△ABC+△ACD

四边形的面积的面积的面积

1

•BC+yC・CD

11

=yX3x4+yX5x12

=36

・•・ABCD

四边形的面积为36.

♦分足训练

基础夯实

1.（24-25八年级下•云南红河•期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的I，个结,

345

然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个

三角形其中一个角便是（）

12345678910111213

30°45°60°90。

A.B.C.D.

【答案】1）

【思路点拨】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为团，再根据勾股定理的逆定理即可

求解,掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键.

【规范解答】解：设结间距为历，

.（3m）2+（4zn）2=（5m）2

••，