2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（解析版）

八年级数学试题

（考试时间：120分钟；满分：120分）

说明：

1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题.第I卷为选择题，共9小题，27分；第H卷

为填空题、解答题，共15小题，93分.

2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.

第I卷（共27分）

一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.下列各数是无理数的是（）

A.-B.兀C.74D.0.313131...

7

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了无理数的定义，关键是利用定义进行判断；无理数是无限不循环小数，据此判断即

可.

【详解】解：•・•无理数是指不能表示为两个整数之比的实数，巨为无限不循环小数.

A：；是分数，属于有理数；

B：兀是无限不循环小数，属于无理数；

C：〃=2,是整数，属于有理数；

D：0.313131...是循环小数，可化为分数，属于有理数.

.••故选：B.

2.下列命题是真命题的是（）

A.相等的两个角是对顶角

B.如果一个数的平方根等于它本身，则这个数是0,1

C.实数和数轴上的点是一一对应的

D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查判断命题的直假,根据对顶角、平方根、实数与数轴的关系、平行线的性质逐项判断即可.

【详解】解：相等的角可能为对顶角，也可能为等腰三角形的底角等，不一定是对顶角，

故A选项是假命题，不合题意；

1的平方根为1和-1，平方根不等于本身，

故B选项是假命题，不合题意；

实数与数轴上的点存在一一对应关系，故C选项是真命题，符合题意；

只有当两条直线平行时，内错角才相等，

故D选项是假命题，不合题意；

故选：C.

3.下列计算正确的是（）

A.%=2B.次+、/=右

C±5/25=5D.373-73=3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查平方根、立方根和二次根式的运算，关键是熟练应用运算法则解题；根据定义和运算法

则逐一判断即可.

【详解】解：•••唬=2,A正确；

瓜+6=^i=4=2于血，B错误；

士后=±5=5,C错误；

,/30—6=2百工3,D错误.

・•・正确答案为A.

故选：A.

4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组

数中，是“勾股数”的是（）

A.03,0.4,0.5B.1,也,6C.6,8,10D.4,5,6

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是利用定义进行判断；勾股数需满足三个正整数且符合勾股定

理.逐•验证各选项即可.

【详解】解：勾股数要求三个正整数且满足/+/=/,

选项A：0.3,0.4,0.5不是正整数，不符合；

选项B：1,J5,百中行和退不是整数，不符合；

选项C：6,8,10均正整数,K62+82=36+64=100，102=100，A62+82=102,符合;

选项D：4,5,6均为正整数，但甲+52=16+25=41，6?=36，41H36,不符合.

・•・故选：C.

5.某营养师用甲、乙两种原料配置营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含().7

单位蛋白质和0.4单位铁质.如果每份营养品需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养品中甲、

乙原料各多少克恰好满足需求？设每份营养品需要甲原料x克，乙原料丁克，则可列方程组为()

0.5x4-y=35JO.5x+O.7y=35

0.7x+0.4y=40x+0.4y=40

x+()Ay=35{0,7x+0.4y=35

10.5x+0.7y=40D0.5x+y=40

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳二元•次方程组的应用，根据x克甲原料和y克乙原料中含35单位蛋白质，40单位铁质

列方程即可.

【详解】解：由x克甲原料和)'克乙原料中含35单位蛋白质，得：0.5/+0.7y=35,

由工克甲原料和丁克乙原料中含40单位铁质，得：x+().4)，=40,

0.5x+0.7y=35

故可列方程组为《

工+0.4y=40

故选B.

6.“计”高一筹，“算”出风采，为提高学生的运算能力，某校开展计算大比拼活动.已知甲班40名学

生测试成绩的方差是%=0.19,乙班40名学生测试成绩的方差是或=机，两班学生测试的平均分都是

96分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则/〃的值可能是()

A.0.20B.0.22C.0.19D.0.18

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了利用方差判断数据的稳定性，关键是熟练应用知识点解决问题；平均成绩相同，方差

较小的班级成绩更稳定，胜出.

【详解】解：•・•两班平均分相同，且乙班胜出，

，乙班方差小于甲班方差,即6<0.19,

・・・加的值可能是0.18,

故选；D.

7.剪纸是中国古代的民间艺术之•，其中蕴含着图形的变换.如图是•张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，

点A与点8对称，点C与点。对称，将其放置在直角坐标系中，点4、B、。的坐标分别为（3,0）,

（5,0）,（7,4）,则点。的坐标为（）

~OABx

A.（1,4）B.（2,4）C.（4,1）D.（4.5,4）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查轴对称的坐标性侦，对称轴的确定，掌握中点坐标公式是解题关键.

先通过点A、B的坐标确定对称轴为直线x=4,再利用该对称轴和点。的坐标，通过中点公式求出点C

的坐标.

【详解】解：.••4、4的坐标为（3,0）,（5,0）,

该图形的对称轴为x=—=4,

2

•••点。与点力对称，

・•・设点。的坐标为（〃,4）,

〃+7彳

二----=4,

2

解得。=1,

.・•点C的坐标为（1,4）.

故选：A.

8.在一次考试中.某校八年级1济和2班成绩的箱线图如图所示.已知两个班的人数相等,则下列说法正

确的是（）

成绩/分口1班口2班

A.1班成绩比2班成绩集中

B.1班成绩的上四分位数是80分

C.1班同学的成绩有超过140分的

D.1班和2班成绩的中位数相同

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查箱线图的解读，准确定位中位数与四分位数是解题关键.

对比两个班箱线图的箱体宽度、最大值和中位数位置，依次验证选项.

【详解】解：A、2班箱线图的箱体更窄，故2班成绩更集中而非1班，错误;

B、1班成绩的下四分位数是80分，而非上四分位数，错误；

C、1班成绩的最大值没有超过140分，故没有学生的成绩超过140分，错误;

D、两个班成绩的中位数均为100分，两个班的中位数相同，E确.

故选：D.

9.正比例函数）=奴与一次函数）,=仆+24在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图像性质，理解参数符号对图像的影响是解题关键.

先判断出两个函数的斜率相同、图像平行.再通过分类讨论参数。的符号.确定直线的升降趋势与截距位

置，最后结合选项验证得出答案.

【详解】解：正比例函数）'=以与一次函数），=ov+2a的斜率都是则两条直线互相平行，

选项A：据图可知a<0,则一次函数与）'轴的交点应在负半轴，而不是正半轴，错误；

选项B：据图可知。>0,两条直线的函数值均随着x值增加而增大，且一次函数与丁轴的交点在正半

轴，正确；

选项C：两条直线不平行，错误；

选项D：两条直线不平行，错误.

故选：B.

第n卷（共93分）

二,填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

10.16的算术平方根是___________.

【答案】4

【解析】

【详解】解：（±4）2=16

・•・16的平方根为4和-4,

・•・16的算术平方根为4,

故答案为：4

11.如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵

树的树梢，至少飞了m.

【答案】a

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直

线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

【详解】两棵树的高度差为6-2=4米，间距为5米，

根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离+5?="1m.

故答案为：-

12.在学校举办的“青春筑梦，强国有我”主题演讲比赛中，规定学生的演讲成绩由三部分组成：演讲内

容占40%,语言表达占40%,现场答辩占20%：小明的上述三项成绩依次是90分、85分、95分，则

小明的演讲成绩是分.

【答案】89

【解析】

【分析】本题考查加权平均数的概念及计算，明确权重与对应数据的匹配关系是解题关键.

根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以其对应的权重，再求和.

【详解】解：小明的演讲成绩计算为：

90x40%+85x40%+95x20%=90x0.4+85x0.4+95x0.2=36+34+19=89.

故答案为：89.

13.已知一次函数丁二工+4与》=〃氏+〃图象的交点坐标是(―1,3),则关于％,y的方程组

x-y=-4

的解为_________

nix-y=-n

x=-\

【答案】

j=3

【解析】

【分析】本题主要考查了两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解,

方程组中的两个方程分别对应一次函数＞=1+4和)，=〃氏+〃，因此方程组的解即为两函数图象的交点坐

标.

【详解】解：

由题意，一次函数y=R+4与＞=加T+〃的图象交点坐标为(一1,3),

即同时满足两个函数解析式，故方程组《x-y=-4的解为Vx=c-\.

mx-y=-n1)=3

x=­\

故答案为：’.

14.如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手43与底座CO都平行于地面，靠背OA7与前支架OE平

行，前支架OE与后支架D尸分别与交丁点G和点。，AB与DM交丁点、N,茗/EON=12/,

则ACDM的度数为1

【答案】120

【解析】

【分析】本题考查平行线的性质，找准平行线与截线是解题关键.

利用题目中给出的两组平行线，通过两次“两直线平行，同旁内角互补”的性质推导，结合

NEON=120。求出NCDM.

【详解】解：由题可知，AB//CD,DM//OE,

/EON=120。,

，ZOGD=180°-120°=60°,

二.ZCDM=180°-ZOGD=180°-60°=120°.

故答案为：120.

2x+y=—1

15.已知土y满足方程组31-8)，="则"一7'的值为-

【答案】

8

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是观察方程组用恰当的方法求解；通过将两个方程相

加，可直接得到51一7），的值.

2x+y=-\(1)

【详解】解：给定方程组:

3x-8y=9(2)

将方程（1）和方程（2）相加，得：（2x+y）+（3x-8y）=-l+9

:.5x-7y=8,

故答案为：8.

16.如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为4cm,盒子高为20cm,点〃在顶点4正上方10cm

处.用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面圈到点8,再用黄色彩带从点3开始绕侧面到顶点C装饰,

则纤色与黄色彩带的总长度至少为cm.

【答案】（26+2洞）##（2疝+26）

【解析】

【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键.

将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直

角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和.

【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下，

由题可知，红色彩带绕一圈从A到4,则红色彩带为AB，

黄色彩带绕半圈从3到C,则黄色彩带为8C,

••底面边长为4cm,高为20cm，点3在顶点A正上方10cm处,

•.AO=4x6=24cm,CE=12cm,BD=BE=\0cm*

••AB=VAD2+BD2=V242+102=26cm，

RC=JBE2EC2=V1O2+122=2百cm，

故红色与黄色彩带的总长度至少为仅6+2府卜如.

故答案为：（26+2加卜m.

三,解答题（本大题共8小题，共72分）

（2）计算：（2g-遥）xjg；

2

（3）计算：J1XV6+（2X/2-1）；

2x-y=5

(4)解方程：

7x—3)，=20

L_A=5

【答案】（1）1;（2）4-&；⑶9-3x/2;（4）u

b=5

【解析】

【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组：

（1）先利用二次根式性质化简分母，再根据二次根式除法运算法则计算;

（2）利用二次根式的运算法则及乘法分配律求解；

（3）先计算二次根式的乘法，再“算加减运算；

（4）利用加减消元法求解.

【详解】解：（1）炳［疝

3G-2劣

=^/T~

=2>/4->/2

=2x2-72

=4一近;

（3）Jxn+倒也-1）2

；x6+（2&）2-2x20xl+/

=72+8-4^+1

=9一3夜：

2x-y=50

（4）

7x-3y=20@

②一3x①，得：x=5,

将上=5代入①，得：2x5-y=5,

解得y=5,

x=5

故该方程组的解为1一「.

卜=5

18.已知：如图，在四边形A3CD中，AD//BC,2B90?,E、尸分别是边48、AC上的点，且

EF//AD.

（I）求证：Zl=Z2；

（2）若N3=55。，求NB4C的度数.

【答案】（1）见解析（2）35°

【解析】

【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键.

（1）利用平行公理的推论得到再由“两直线平行，内错角相等”可推出N1=N2；

（2）由AO〃BC和？890?推出NB4O=90。，再结合N3=55。求出/R4C.

【小问I详解】

证明：VAD//BC.EF//AD.

・•.EF//BC,

•*-Z1=Z2.

【小问2详解】

解：AD〃BC,2B90?,

・••ZBA£>=180°-ZB=90°,

ZBACiZ3=90°.

•・,Z3=55°,

ZBAC=90°-55°=35°.

19.2025年4月23日是第30个“世界读书日”.某校举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动，并对收

集到的数据进行了整理和分析.

【收集数据】

随机抽取八、九年级各100名同学的周阅读时间（单位：小时）组成一个样本.

【整理数据】

底阅读时间X（小时）123456

八年级人数（人）82022251411

九年级人数（人/p>

【分析数据】

八九年级抽取的学生周阅读时间统计表

平均数中位数众数

八年级3.53.54

九年级abC

【解决问题】

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：4=,b=,c=；

（2）结合以上数据，分析这两个年级哪个年级同学的阅读时间更多；

（3）结合以上数据，请你为同学们提一条提升阅读能力的建议（不超过30字）.

【答案】（1）。=3.31/=3.5,。=4

（2）八年级同学的阅读时间更多

（3）建议同学们每天安排固定时间阅读，积累知识

【解析】

【分析】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，根据平均数做决策,

对于（D,根据平均数，中位数，众数的定义解答;

对于（2）,根据三数做出决策即可;

对于（3）,提出合理化建议即可.

【小问1详解】

1x14+2x16+3x20+4x30+5x15+6x5

解：平均数为〃==3.31小时;

100

根据题意可知第50个数是3,第51个数是4,

3+4

所以中位数是人==3.5小时;

2

因为4小时出现次数最多,

所以众数是c=4小时;

故答案为：3.31,3.5,4：

【小问2详解】

解：因为两个年级的中位数，众数都相同，且八年级的平均数大，

所以八年级同学的阅读时间更多：

小间3详解】

解：建议同学们每天安排固定的时间阅读，积累知识.

20.在平面直角坐标系中，A、B、。三点的坐标分别为（一1,3）、（-3,0）,（-2,-1）.

.八

-r—；-5-；

------------------・・・♦

-J_I_I_I_I——I_I_I_I_L->

-5-4-3-2-\O12345x

•一.、・■■一■■\--••r••1

11111*11111

（1）在图中标出点A，B,C并画出VABC；

（2）作VA/C关于y轴对称的图形44片G；

（3）V48c的面积为；

（4）连接40,CO若四边形ABCO的内部有一点/，，则24+必+尸C+PO的最小值是

【答案】（1）见解析（2）见解析

⑶|

⑷布+3

【解析】

【分析】本题考查平面直角坐标系的坐标定位，轴对称图形的作图，勾股定理，掌握割补法求面积是解题

关键.

（I）根据点的坐标在网格中精准定位并依次连接形成三角形；

（2）关于》轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此求出各点关于轴的对称点，再依次连接

得到对称三角形；

（3）用割补法，将VA8C置于外接矩形中，通过矩形面积减去周围直角三角形面积得到VABC面积；

（4）将距离和分为A4+PC与PB+P。两组，利用两点之间线段最短，得到最小值为对角线AC与B。

的长度之和.

【小问1详解】

解：如图，△A4G即为所求.

解：据图可知，VABC的外接矩形长和宽分别为4和2,

其周围的三个直角三角形边长分别为2和3,1和1，1和4，

故S=4x2--x2x3--xlxl-lxlx4=8-3---2=-.

22222

故答案为：一.

2

【小问4详解】

解：•・•PA+PCNAC,PB+PONBO,

PA+PB+PC+PONAC+BO,

AC=J[（-1）-（-2并+[3-（-1）了=如，80=3,

•••AC+8O=VF7+3，

故B4+依+PC+PO的最小值为J万+3.

故答案为：JF7+3.

21.甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向3地,甲车先出发匀速驶向8地，半小时后，乙车出发，匀速

行驶一段时间后在服务区休息了半小时继续出发,为了行驶安全，速度减少了12千米/时，结果与甲车同

时到达3地.甲、乙两车行驶的路程力（单位：km），为（单位：km）与甲车出发后的时间x（单

位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列向题：

（1）。的值为・甲车的速度为千米/时：

（2）求乙车在到达服务区之前的速度：

（3）在行驶的过程中，求甲、乙两车第一次相遇时甲车行驶的路程.

【答案】（1）4.5,90

（2）乙车在到达服务区之前的速度为110千米/时

（3）247.5千米

【解析】

【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合并理解题意.

（1）根据题意并结合图形可知。=4+0.5=4.5,根据速度=路程+时间，即可求出甲车的速度；

（2）设乙车到达服务区之前的速度为n千米/时，则在服务区休息后的速度为（u—12）千米/时，根据题意列

方程即可求解；

（3）根据题意列方程求出甲、乙两车第一次相遇时甲车的时间，再求甲车行驶的路程.

【小问1详解】

解：。=4+0.5=4.5（小时），

甲车的速度为630+7=90（千米/时），

故答案为：4.5,90；

【小问2详解】

解：设乙车到达服务区之前的速度为u千米/时，则在服务区休息后的速度为“一12）千米/时，

根据题意可得（4-0.5段+（7-4.5）3-12）=630,

解得u=110,

答：乙车在到达服务区之前的速度为110「米/时；

【小问3详解】

由题意得90犬=110"-0.5）,

解得x=2.75,

即甲、乙两车第一次相遇时甲车出发后的时间为2.75小时，

甲、乙两车第一次相遇时甲车行驶的路程为90x2.75=247.5千米.

22.商场销售某种商品，当按标价俏售时，每件可获利45元；当按标价的八五折销售时，俏售8件所获利

润与将标价降低35元销售12件所获利润相等.

（1）该商品的进价和标价分别是多少元？

（2）商场在元U期间推出以下优惠活动.

方案一：一次购买20件以上所有商品打八折；

方案二：“买四送一”（即每买四件就送一件）.

小明的爸爸计划购买该商品26件，选择哪种方案比较合算？比另一种方案节省多少元？

【答案】（1）

进价为155元，标价为200元

（2）

选择方案一比较合算，节省40元

【解析】

【分析】（1）根据按标价的八五折销售时，销售8件所获利润与将标价降低35元销售12件所获利润相等

列出方程即可；

（2）分别计算出两方案的花费进行比较即可.

【小问1详解】

解：设商品进价为x元，标价为）元，

（y-X=45

18（0.85丁一%）=12（），-35—戈），

|\=155

解得：<

y=200

答:该商品的进价是155兀，标价是200兀；

【小问2详解】

方案一:0.8x200x26=4160；

方案二：26+（4+1）=5……1,

203x（26-5）=4200,

•.•4160<4200,

；・方案一比较合算，

节省的费用为：4200—4160=40,

答：方案一比较合算，比方案二节省40元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题、方案选择问题，关键是理清题意列出正确的代数式或方

程.

23.我们给出以下两个新定义:

①对手给定的数对(。力)，如果满足34十2。=1,那么我们称数对(a,b)是“三二数对”；

②对于给定的数对(c,d)和(ej),如果满足c=e+/,d="/,则称数对(c,d)是(ej)的“和差数

对”.

根据以I:信息解决下列问题：

(1)判断(3,2)是否为“三二一数对“，并说明理由；

(2)已知数对(儿3)是“三二一数对"，求出该数对的“和差数对”；

(3)若数对(〃?,〃)是“三二一数对“，且(加，冷的“和差数对"(p,q)满足条件:2p+3q=6t求利和

〃的值.

【答案】(1)

不是⑵

(414、

(3)

m=l,z?=-1

【解析】

【分析】(1)根据新定义进行判断即可；

(2)根据新定义夕IJ出方程求解即可;

(3)根据新定义列出方程组求解即可.

【小问1详解】

解：不是，理由如下：

73x3+2x2=13^1,

・・・(3,2)不是“三二一数对”；

【小问2详解】

解：•・•数对。,3)是“三二一数定”，

3x+2x3=l,

5

/.x=——,

3

..5414

•一,—5一3一_9

414

・•・该数对的“和差数对"为:

【小问3详解】

解：•・•数对（6,〃）是“三二一数对”，

/.3m+2/1=1>

的“和差数对"（p,4）满足条件:2"+3q=6,

p=m+〃,q=m-n,

2（〃?+〃）+3（加一〃）=6,整理得：5加一〃二6，

3/n+2/?=1

联立方程组得：\c/，

jin一〃二6

tn=1

解得：<।.

n--\

【点睛】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算、一元一次方程、二元一次方程组的解法等，关键

是根据题意列出正确的方程或代数式.

24.【背景介绍】

密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学.在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文是

由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息.有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字

后进仃数学变换从而获得密文.字母与数字的对应如卜表：

字母ABCDEG///JKLM

对应数字12345678910111213

字母NOPQR5TUVWXYZ

对应数字14151617181920212223242526

【加密规则】

①选择一个“乘密钥”。和一个“加密钥"b涉均为整数）.

②对明文中的每个字母，先将其对应数字加乘〃，再加上〃，得到一个总和S,即S=〃♦〃?+/?.

③对每个字母得到的总和S逐个正行判断：

若S在I到26之间，则S就是该字母加密后的密文所对应的数字.

若S大于26,则不断减去26,直到结果落在卜26之间.

④将得到的对应数字转换为字母,从而获得明文中每个字母加密后的密文.

例如：设。=31