建筑力学D11梁和结构的位移

第十一章梁和结构的位移

第十一章梁和结构的位移§11–1概述§11–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分法§11–4单位载荷法§11–3叠加法§11–7结构的刚度校核§11–5图乘法§11–6互等定理

§11–1

概述工程中的弯曲变形×xyxyPy=y(x)梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲线。梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用y来表示。挠度以向下为正，向上为负。梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用

来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程和转角方程。×xyxyPy=y(x)梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：小变形下，

很小，tg≌

，于是得这就是梁的变形，挠度与转角的关系。ק11–3叠加法一、简单梁简单荷载下的变形ABEIlABEIlABEIlmPq×ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC×二、叠加法计算梁的变形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl==++×三、几种基本变化⒈悬臂梁⑴荷载在內侧，求端部位移abABPCEIyB×⑵荷载在外侧，求内侧位移abABPCEIyBABPCCabPM=PbFs=P×⒉外伸梁PABClaycyc1

BaABlaPFs=PM=PaPBBCBCC

Bayc1P×例6求图示梁B，C截面的转角和挠度。ABCEIl/2l/2q解：ABCEIqABCEIq+×ABCEIl/2l/2qABCEIqABCEIq+×ABCEIl/2l/2qABCEICqFs=ql/2 Fs=ql/2 M=ql2/8l/2×2、计算结构位移的一般公式1.定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。§11–4单位载荷法×经进一步推导，可得式中：E--弹性模量；G--剪切模量；A--横截面积；

I--截面惯性矩；K--截面形状系数。×3.荷载作用下的位移公式如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移Ci＝0，位移公式则为4.各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架弯矩影响为主，位移计算公式（2）桁架杆受轴力。公式简化为×（3）组合结构梁和杆，公式为前两项（4）拱计轴力、弯矩影响，忽略剪切变形×5、静定桁架的位移计算步骤（1）设虚拟状态；（2）计算（3）用桁架的位移计算公式计算位移。解（1）设虚拟状态（如上图b所示）（2）计算（3）代公式求C点的竖向位移×例11-1图示桁架各杆的EA相等，求C结点的竖向位移一、图乘法原理1、图乘法的适用条件：（1）杆段的轴线为直线（2）杆段的弯曲刚度EI为常数直梁和刚架的位移公式则为（3）图和图中至少有一个直线图形

§11–5图乘法×2．图乘法原理×图乘法求位移的一般表达式为注意：[1]应取自直线图中[2]若A与在杆件的同侧,取正值，反之,取负值[3]如图形较复杂，可分解为简单图形3.图乘法的步骤[1]设虚拟状态；[2]画图；图；[3]图乘求位移。××4.图形的分解当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。梯-梯同侧组合：×梯-梯同侧组合：梯-梯异侧组合×二、图乘法计算直梁和刚架的位移例11.4试求图a所示外伸梁C点的竖向位移,梁的EI=常数解:MP、分别如图BC段的MP图是标准二次抛物线；AB段的MP图较复杂，但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。×由图乘法得×例11.5试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移解:荷载弯矩图和单位弯矩图如图。在AB段,MP和图均是三角形；在BC段，MP图可看作是由B.C两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图[即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成。×图乘再叠加ק11–7梁的刚度条件一、梁的刚度条件梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即×机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于容许值，即

二、提高梁的抗弯能力的主要措施⒈增大梁的抗弯刚度EI因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。×⒉减小梁的跨度因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlqק11–6简单超静定梁的解法计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMA×ACEIPl/2l/2FAMAFBB多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。去掉多余约束支座B，将支座B的反力视为荷载，静定梁AB在荷载P、FB作用下，B端挠度为零。×BCEIPl/2l/2YAFBMAAP3Pl/16Pl/4M图⊕○－×上述解超静定梁的方法称为变形比较法。具体解题步骤如下：⑴去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；⑵根据多余约束处的变形关系建立补充方程；⑶解补充方程求出多余约束反力；

⑷将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其它问题。×例10解图示超静定梁，并画弯矩图。AB2aCaaEIPABCEIPFC解：去掉可动支座C，代之以反力FC。ABPBCFCFCFC2aFC×ABCEIPFC=－3P/32M图3Pa/16Pa/2⊕○－×例