浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期8月开学考试 数学 含答案

c绝密★考试结束前2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学试题考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。4.考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|x²-2x>1},则A∩B=A.{-2,-1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,2}D.{-2,2}2.已知复数z满足z(1+i)=2-i,则z⋅A.254B.2516C3.已知向量a=(x,1),b=(1,x),若(a+b)⊥b,则x=A.1B.2C.-1D.-24.将函数fx=2sin2x−π6图象上所有的点向左平移π/A.3B.32C5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.5~23.9内属正常范围.已知A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3.D，E两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为A.175B.145C6.已知A，B为抛物线x²=4y上的动点,P(x₀,y₀)为AB中点,若|AB|=6,则y₀的最小值为A.1B.2C.3D.4高三数学试题第1页共4页7.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为A.20B.36C.54D.1088.已知函数fxA.-16B.16C.-4D.4二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)9.已知等差数列aₙ的前n项和为/Sₙ,且公差d≠0,2a₁₅+a₁₈=24.则以下结论正确的是A.a₁₆=8B.若S₉=S₁₀,则d=C.若d=-2,则Sn的最大值为S₂₁D.若a₁₅,a₁₆,a₁₈成等比数列，则d=410.已知a>0,函数fxA.f(x)为偶函数B.g(x)的图象关于点(-1,-2a)对称C.当0<a<2时,f(x)在其定义域上单调递增D.当a>111.已知双曲线C:xN.则以下结论正确的是A.直线PA与PB的斜率之积为4B.若|PF₁|⋅|PF₂|=4,则∠C.以PF₁为直径的圆与圆.x²+y²=4相切D.若PF1⋅高三数学试题第2页共4页非选择题部分三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12.在x+2x713.若曲线y=eˣ⁺ᵃ过坐标原点的切线与圆(x−1²+y+1²=214.如图,在四面体SABC中,SA=SC=5,AB=BC=6,AC=22,四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分)设△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a(1)求A;(2)若a=6△ABC的周长为6+2616.(15分)中国数学奥林匹克(CMO)竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛.(1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩X~N(70，225)，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数(结果取整数)；(2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为35₅；每个多选题得15分、5分、0分的概率均分别1高三数学试题第3页共4页17.(15分)已知函数.fx=mx−1eˣ(1)求f(x)的单调区间;(2)若fx18.(17分)如图,在四棱台ABCD−A₁B₁C₁D₁中,底面ABCD为等腰梯形,AB‖CD,AB=2A₁B₁=4,AD=CD=2,AD⊥BB₁,BB₁=DD₁=B₁D₁.(1)证明:平面ABCD⊥平面D₁DBB₁;(2)求该四棱台的体积；(3)求平面A₁ABB₁与平面B₁BCC₁夹角的余弦值.19.(17分)阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线l₁绕l₁与l₂的交点逆时针方向旋转到与直线l₂第一次重合时所转的角为θ，则称θ为l₁到l₂的角，当直线l₁与l₂不垂直且斜率都存在时，tanθ=k2−已知椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆E的方程;(2)求.∠F₁AF₂的角平分线所在的直线l的方程；(3)过点A的且斜率存在的直线l₁，l₂分别与椭圆交于点P，Q(均异于点A)，若点B到直线l₁,l₂的距离相等，证明：直线PQ过定点.高三数学试题第4页共4页2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学参考答案及解析一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1.【答案】A【解析】因为A={-2,-1,0,1,2},其中-2∈B,-1∈B,所以A∩B=−2,−1,故选A.2.【答案】D【解析】由题，z=2−i1+i,故|z|=|2−i|3.【答案】C【解析】(a+b⋅b=x+1+x4.【答案】C【解析】由题，gx=sin2x+2×5.【答案】A【解析】设A,B,C三人的体质指数分别为a,b,c,则a+b+c=3×20=60,故5人体质指数的平均值x=1560+18+22=20,又13a−202+b−2026.【答案】B【解析】设Ax₁y₁,Bx₂y₂,焦点F(0,1),则y0=y1+y7.【答案】C【解析】当有1个红球时，有C8I=8种；当有2个红球时，有C72=21种；当有3个红球时，有8.【答案】B【解析】由∀x≠1,f2−x=−fx得f−x+1=−fx+1,所以fx+1为奇函数，令gx=fx+1=二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)9.【答案】ABD【解析】12a₁₅+a₁₈=a₁₅+a₁₅+a₁₈=a₁₅+a₁₆+a₁₇=3a₁₆=24,得a₁₆=8,A正确；若S₉=S₁₀,则a₁₀=0,故a₁₆=a₁₀+6d=8,解得d=43,B正确；因为a₁₆=8,若d=−2,则a₁₉=2,a₂₀=0,a₂₁=−2,所以S，的最大值为，S₁₉或S₂₀,C错误;若(a₁₅,a₁₆,a₁₈成等比数列，则a1610.【答案】BD【解析】f(x)的定义域为(−11,f−x=−ax+ln1+x1−x=−ax−ln1−x1+x=−fx,所以f(x)为奇函数,A错误;因为g(-2-x)+g(x)=-4a,所以g(x)的图象关于点(-1,-2a)对称,B正确；f'x=a+2x2−1,因为-1<x<1,所以2x2−1<−2,当D<α<2时，f'x<0,fx在(-1,1)上单调递减,C错误;由f(x)=g(x)得11.【答案】BCD【解析】设A(m,n),则B−m−n,Px₁y₁x₁≥2,则m24−n2=1,x124−y12=1,两式作差得m2−x1−412|PF1|−12|PF2|=2,所以|HF₁|−|HO|=2,即|HF₁|=|HO|+2,所以以PF₁为直径的圆与圆x²+y²=4相内切，C正确.若PF1⋅PF2=0,则∠F1PF三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12.【答案】84【解析】Tr+1=C7rx13.【答案】-1【解析】y'=eˣ⁺ᵃ,设切点为x0ex0+a,则切线方程为y−ex0+a=ex0+ax−x0,14.【答案】9π【解析】如图,取AC中点D,连接SD,BD,则SD=SA2−AC22=3,同理可得BD=2,易知△ABC的外接圆圆心O在直线BD上，又sinA=BDAB=63,所以△ABC的外接圆半径过点O作平面ABC的垂线，外接球球心在垂线上，且OB=3四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分)【答案】(1)由2asinC+π由正弦定理得…………2分即sin即分………………………4因为0<C<π,所以sinC>0,故3即分………………………6因为0<A<π,所以A−故………………………8分(2)因为a=26,ABC的周长为所以b+c=6由余弦定理得24=b²+c²−bc,即24=解得bc=4,…………11分故S……………1316.(15分)【答案】(1)因为X~N(70,225),所以μ=70,σ=15,故85=μ+σ,…………………2分…………………2分所以…………………4分故600×0.1585=95.10≈95,所以进入决赛的人数约为95……………6（2）由题，甲同学每个单选题得分ξ₁的期望分,…7分…………………7故甲同学单选题总得分ξ₂的期望分,…9分…………9甲同学每个多选题得分ξ₃的期望分,…11分………11故甲同学多选题总得分ξ₄的期望分…………………13所以甲同学决赛成绩Y的数学期望分…………………1517.(15分)【答案】(1)f(x)的定义域为R,f因为f(x)在x=0处的取得极值，所以f'(0)=(m-1)=0,…………………………2分所以f当x>0时,f'（x）>0,f（x）单调递增………………4分故……………5综上：f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为………………6分(2)由.f(x)≥ex+a得x−1令gx=x−1令则…………………8分当x<-1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,……………10又当x<0时,ℎ……………12当x>l时,h(x)>0,,即g'(x)>0,g(x)单调递增.故gx若f(x)≥ex+a恒成立,只需a≤g所以实数a的取值范围为(-∞，-e).…………15分18.(17分)【答案】(1)证明:由棱台的性质可得直线DD₁与BB₁相交,所以D₁,D,B,B₁四点共面,过点D作AB的垂线,垂足为E,由题可知AE=1,所以DE=AD2−AE2=3(2)过点D₁作直线BD的垂线,垂足为F,则D₁F⊥平面ABCD,因为AB=2A1B1=4,BD=23,故B1D又SABCD所以四棱台ABCD−A₁B₁C₁D₁V=1(3)取AB中点M,B₁D₁中点(O₁,,连接CM交AB于点O,连接(OO₁,由(1)可知OM,OB,OO₁三条直线两两垂直，以O为坐标原点，OM，OB，OO₁所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直