2026年高考数学复数运算与应用真题集试卷及答案

2026年高考数学复数运算与应用真题集试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z在复平面内对应的图形是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.计算（2+3i）÷（1-i）的结果为（）A.5-iB.5+iC.-5-iD.-5+i3.已知复数z=1+i，则z³的虚部为（）A.0B.2C.-2D.44.若复数w满足w²=1+i，则w的模长为（）A.√2B.1C.√3D.25.在复平面内，点A（1，2）对应的复数与点B（-1，-2）对应的复数的乘积为（）A.5B.-5C.3+4iD.3-4i6.若复数z满足z²+2z+3=0，则|z|的取值范围是（）A.[1，+∞）B.（0，1）C.[√2，+∞）D.（0，√2）7.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为（）A.1+√3iB.2+√3iC.√3+iD.2√3+i8.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁z₂在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.已知复数z满足|z|=1且z²+z+1=0，则z的三角形式为（）A.cosπ/3+isinπ/3B.cos2π/3+isin2π/3C.cosπ+isinπD.cos4π/3+isin4π/310.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁/z₂的模长为（）A.5/13B.13/5C.√13D.13二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z=3-4i，则|z|的值为__________。2.计算（1+i）⁵的结果的实部为__________。3.已知复数w满足w²=2i，则w的模长|w|的平方为__________。4.在复平面内，点P（2，-1）对应的复数与点Q（-1，2）对应的复数的乘积的实部为__________。5.若复数z满足z²+z+1=0，则z³的值为__________。6.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若|z|=3且argz=π/2，则z的代数形式为__________。7.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁²+z₂²的值为__________。8.已知复数w满足w³=1且w≠1，则w²的值为__________。9.若复数z满足|z|=2且argz=π/4，则z的三角形式为__________。10.若复数z₁=2+i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|的值为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁+z₂是实数。（）2.若复数z满足|z|=1，则z²也是单位圆上的复数。（）3.已知复数w满足w²=1+i，则w的模长为√2。（）4.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁z₂的虚部为7i。（）5.在复平面内，点A（1，2）对应的复数与点B（-1，-2）对应的复数的乘积为-5。（）6.若复数z满足z²+2z+3=0，则z的模长为√2。（）7.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为2(cosπ/3+isinπ/3)。（）8.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁/z₂是实数。（）9.已知复数w满足w³=1且w≠1，则w是单位圆上的复数。（）10.若复数z满足|z|=1且z²+z+1=0，则z是单位圆上的复数。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.已知复数z=1+i，求z²的代数形式及三角形式。2.若复数w满足w²=1+i，求w的模长及辐角主值。3.在复平面内，点A（1，2）对应的复数与点B（-1，-2）对应的复数分别记为z₁和z₂，求z₁z₂的模长及辐角主值。4.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁+z₂的代数形式及三角形式。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁z₂的模长及辐角主值，并说明z₁z₂在复平面内对应的点位于哪个象限。2.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z³的代数形式，并说明z³在复平面内对应的点位于哪个象限。3.已知复数w满足w²=1+i，求w的模长及辐角主值，并说明w在复平面内对应的点位于哪个象限。4.在复平面内，点A（1，2）对应的复数与点B（-1，-2）对应的复数分别记为z₁和z₂，求z₁z₂的模长及辐角主值，并说明z₁z₂在复平面内对应的点位于哪个象限。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：|z-2|+|z+2|=6表示复平面内到点（2，0）和（-2，0）的距离之和为6的椭圆。2.A解析：（2+3i）÷（1-i）=（2+3i）（1+i）/（1-i）（1+i）=（-1+5i）/2=5-i。3.B解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-3i=-2+2i，虚部为2。4.A解析：w²=1+i，则|w|²=|1+i|=√2，故|w|=√2。5.A解析：z₁z₂=(1+i)(-1-2i)=(-1-2i-2i-2i²)=5。6.A解析：z²+2z+3=0的判别式Δ=4-12=-8＜0，故z为虚数，且|z|²=z²+2z+3≥1。7.C解析：|z|=2且argz=π/3，则z=2(cosπ/3+isinπ/3)=√3+i。8.A解析：z₁z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=2，对应点（2，0）在第一象限。9.B解析：z²+z+1=0的解为z=-1/2±√3/2i，取辐角主值为2π/3。10.C解析：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)=(-4+7i)/5，模长为√((-4/5)²+(7/5)²)=√13。二、填空题1.5解析：|3-4i|=√(3²+(-4)²)=5。2.1解析：（1+i）⁵=2³（cos5π/4+isin5π/4）=-4√2（-√2/2+√2/2i），实部为1。3.2解析：|w|²=|w²|=|2i|=2。4.5解析：z₁z₂=(2-1i)(-1+2i)=0+5i，实部为5。5.1解析：z³=（-1/2+√3/2i）³=1。6.3i解析：z=3(cosπ/2+isinπ/2)=3i。7.6解析：z₁²+z₂²=(1+i)²+(1-i)²=-2+2=6。8.-1解析：w³=1的解为1，-ω，ω²，取ω²=-1。9.2(cosπ/4+isinπ/4)解析：z=2(cosπ/4+isinπ/4)。10.√10解析：|z₁+z₂|=|3+2i|=√(3²+2²)=√13。三、判断题1.√解析：z₁+z₂=2是实数。2.√解析：|z|=1，则z²=|z|²=1。3.√解析：|w|²=|w²|=|1+i|=√2。4.×解析：z₁z₂=(2+3i)(1-2i)=-4+7i，虚部为7i。5.√解析：z₁z₂=(-1-2i)(-1+2i)=5。6.×解析：z²+2z+3=0的解为z=-1±√2i，模长为√3。7.×解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。8.√解析：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)=i是纯虚数。9.√解析：w³=1的解为1，-ω，ω²，模长为1。10.√解析：z²+z+1=0的解为z=-1/2±√3/2i，模长为1。四、简答题1.解：z²=(1+i)²=1+2i+i²=2i。代数形式：2i。三角形式：2(cosπ/2+isinπ/2)。2.解：w²=1+i，则|w|²=|1+i|=√2，故|w|=√2。辐角主值：arg(1+i)=π/4，故argw=π/8。模长：√2。辐角主值：π/8。3.解：z₁=1+i，z₂=-1-2i。z₁z₂=(1+i)(-1-2i)=(-1-2i-2i-2i²)=5。模长：|z₁z₂|=5。辐角主值：arg(5)=0。4.解：z₁+z₂=(2+3i)+(1-2i)=3+i。代数形式：3+i。三角形式：√10(cosarctan1/3+isinarctan1/3)。五、应用题1.解：z₁z₂=(1+i)(1-i)=2。模长：|z₁z₂|=2。辐角主值：arg(2)=0。对应点（2，0）在第一象限。2.解：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。z³=(1+√3i)³=-8+6√3i。代数