2026届新高考数学热点考前冲刺复习利用导数证明不等式

2026届新高考数学热点考前冲刺复习利用导数证明不等式高考热点问题：导数与不等式解题策略概述问题1：不等式问题有哪些类型？（识别）问题2：不等式问题有哪些解题思想方法？（检索）问题3：不同的思想方法如何决策？（优化）问题4：选好方法后具体如何实施？（操作）问题1：不等式问题有哪些类型？（识别）分两种类型：（1）已知不等式恒（能）成立，求参数范围（2）已知参数范围，求证不等式成立1.设函数f(x)＝ex－ax2－x＋1，a∈R.(1)当a＝0时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围.2.已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋

.问题2：不等式问题有哪些解题思想方法？（检索）不等式成立问题都要转化为函数最值是哪个函数取决于函数结构有利[思路分析](1)求定义域→求f′(x)→对参数a分类→判断f′(x)的符号→f(x)的单调性（2）？？？不等式成立问题转化为求哪个函数的最值？f(x)min＝f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，能直接看出其大于零吗？能直接看出其大于零吗？超越函数的结构能改变吗？步步高69页：请大家证明下列不等式，并利用图像解释其意义∀x∈R都有ex≥x＋1.当x>0时，lnx≤x-1.当x>0时，x>sinx；当x<0时，x<sinx.你能用切线放缩的方法证明g(a)>0吗？？通常函数式中xn更容易研究，故常替换归纳小结问题2：不等式问题有哪些解题思想方法？问题3：不同的思想方法如何决策？（优化）问题4：选好方法后具体如何实施？（操作）(2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x.多元化思路分析训练：请你试一试不同的方法，对比优化，决策令g(x)＝xex－sinx，x∈[0，π]，则g′(x)＝ex＋xex－cosx，令h(x)＝ex＋xex－cosx，x∈[0，π]，则h′(x)＝2ex＋xex＋sinx>0在[0，π]上恒成立，所以h(x)在[0，π]上单调递增，则h(x)≥h(0)＝0，所以g′(x)≥0在[0，π]上恒成立，即g(x)在[0，π]上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，即xex－sinx≥0(x∈[0，π])，综上，当x∈[0，π]时，f(x)≤x.一阶导数超越需要二阶导，还能怎样优化方法？多解法决策也是重要的能力考察！！！例2

已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；例2

已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.法1：当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0得证.法2：思想方法小结：若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.本例中同时含lnx与