变化率问题与抛物线切线的斜率高二数学人教A版选择性必修第二册

5.1.1

课时2变化率问题与抛物线切线的斜率第五章

一元函数的导数及其应用高台跳水运动员的速度(1)平均速度：时间段[t0，t0+△t]内的平均速度(2)瞬时速度：当

t＝t0时的瞬时速度平均速度的极限为瞬时速度h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11

我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。F想一想：那是不是一条直线与一条曲线只有一个公共点，就可以说这条直线与这条曲线一定相切？不一定因此，不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切。对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？►课本P62以抛物线

f(x)＝x2为例进行研究.应该如何定义抛物线

f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线呢?与研究瞬时速度类似在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)考察抛物线

f(x)＝x2的割线P0P的变化情况xyO112234P0f(x)＝x2►课本P62T我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线

P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线.如图，将点

P逐渐靠近点

P0，观察割线

P0P的位置变化情况.►课本P62如何求抛物线

f(x)＝x2在点P0(1，1)

处的切线

P0T

的斜率

k？记点

P的坐标为(1＋Δx，(1＋Δx)2)，于是割线

P0P的斜率为：xyO121234P0PT从上述切线的定义可见，抛物线

f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线

P0T的斜率与割线

P0P的斜率有内在联系．►课本P63我们可以用割线

P0P的斜率k

近似地表示切线

P0T的斜率

k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|Δx|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：∆x<0∆x>0∆xk

=Δx+2∆xk

=Δx+2–0.011.990.012.01–0.0011.9990.0012.001–0.000

11.99990.000

12.0001–0.000011.999990.000012.00001–0.0000011.9999990.0000012.000001············►课本P63我们发现，当∆x无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线

P0P

的斜率k都无限趋近于2

.事实上，由

可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于

2。我们把

2叫做“当Δx无限趋近于

0时，

的极限”，记为kk►课本P63知识点：割线与切线的斜率xyO121234PP0T▲

割线的斜率：★切线的斜率：点P0(x0，f(x0))与P(1＋Δx，f(1＋Δx))两点间的斜率函数图象在点P0(x0，f(x0))处的斜率►课本P63th1O(1，h(1))(1+∆t，h(1+∆t))h(t)

=–4.9t2+4.8t+11观察“跳水问题中”函数h(t)

=－4.9t2＋2.8t＋11的图象，说说平均速度

、瞬时速度v(1)的几何意义分别是什么？瞬时速度

v(1)的几何意义：曲线在点(1，h(1))处的切线的斜率.

割线切线切线的斜率是割线的斜率的极限值，切线斜率的本质是瞬时变化率►课本P64小结切线斜率与割线斜率的区别与联系切线斜率割线斜率区别联系以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率经过曲线上两点连线的斜率切线的斜率是割线的斜率的极限值典例1.求抛物线

f(x)＝x2在点

(2，4)

处的切线的斜率

k.

典例剖析自主练

求抛物线

f(x)＝x2在点

(–1，1)

处的切线的斜率.

知识运用

自主练

求抛物线

y＝－x2＋3x在

x＝2处的切线斜率．知识运用典例剖析典例2.求抛物线

f(x)＝x2＋1在点

(0，1)

处的切线方程.解：抛物线

f(x)＝x2＋1在点

(0，1)

处的切线的斜率

∴

抛物线在点

(0，1)处的切线方程为

y–1=0(x–0)，

即

y=1.►课本P64小结求抛物线在某点处的切线方程的步骤：求抛物线y＝f(x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可．自主练

求抛物线

f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程．知识运用自主练

求抛物线

f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程．知识运用求曲线

f(x)＝x2＋1在点

P(1，)处的切线的斜率以及切线方程.

自主练

知识运用物体运动的平均速度物体运动的瞬时速度函数的平均变化率函数的瞬时变化率几何意义割线的斜率几何意义切线的斜率无限逼近无限逼近小结：切线的斜率是割线的斜率的极限值；切线斜率的本质是瞬时变化率。1.