高考数学复习：圆锥曲线中的定点、定值问题（附答案）

圆锥曲线中的定点、定值问题

一、单项选择题

1.(2024•贵州贵阳三模)已知椭圆9+直线产75履(原0)与椭圆交于48两

点,后产2分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点O,则直线

AD与BD的斜率乘积为()

A.--B.--

99

DY

cY39

22

2.已知Fi42是椭圆的两焦点，过点人的直线交椭圆于点"，若|A8|=5,

贝|J|AB|+|BR|=()

A.9B.10

C.llD.12

3.已知某直线与抛物线9二41交于A,8两点，且两交点纵坐标之积为-16,则直线恒

过点()

A.(l,0)B.(2,0)

C.(4,0)D.(8.0)

4.(2024•山东青岛高三期末)已知动点P在椭圆c[+4=l上，点P到定点F(4,0)

z59

的距离记为五到定直线x二胃的距离记为则事=()

4a2

A.-B.-

35

C.-D.-

54

v2.,2

5.(2024呐蒙古通辽联考)已知A,8是椭圆a+*1(。翅＞0)长轴上的两个端点,M

是椭圆上一点，直线AM,BM的斜率分别为力,七,若椭圆的离心率为日，则

%•42=()

A.--B.--

34

C.--D.-

44

6.设厂为椭圆C：y+r=l的右焦点，过点(2,0)的直线与椭圆C交于A,3两点，设直

线AF,BF的斜率分别为丘依(攵2#)),则程■为()

A.-lB.l

C.4D.-4

二、多项选择题

2y.2

7.（2024・湖南长沙模拟）已知椭圆V？+5=1上一点P位于第一象限，左、右焦点分

别为B42,左、右顶点分别为4,A2,NBPF2的角平分线与X轴交于点G,与）：轴

交于点”（（）,-5,则（）

A.四边形HF\PFi的周长为4+V5

B.直线MPAiP的斜率之积为3

4

C|尸|G|：|尸2G|=3：2

D.四边形HF\PFi的面积为2

8.（2024・贵州贵阳高三检测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧儿里得、阿基

米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点AB的

距离之比为定值犯>0、且拄1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平

面直角坐标系xOy中工（20）,8（4,0）,点P满足瞿=?.设点P的轨迹为曲线C则

下列说法正确的是（）

A.C的方程为。+4）2+），2=16

B.点Af都在曲线C内部

C.当A,B,P三点不共线时,NAPO=N8PO

D.若。（2,2）,则|P8|+2|PD|的最小值为4V5

9.（2024.江苏高三捡测）如图,△R48为阿基米德三角形,抛物线f=2〃），（/>0）上有

两个不同的点4（加,），|）,8。232）,以A,3为切点的抛物线的切线PA,PB相交于点P.

给出如下结论，其中正确的为（）

A

P

A.若弦AB过焦点，则为直角三角形且NA尸3=90°

B.点P的坐标是（安，竽）

C./\PAB的边AB所在的直线方程为（K+K2）心2py-xiX2=0

D.APAB的边AB上的中线与），轴平行（或重合）

三、填空题

10.（2024•山西吕梁二模）已知抛物线C:/=2〃x过点A（2,4）,P,。是抛物线C上的两

个动点，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4,则直线产。恒过定

占

八、、____________________________________•

“21

11.双曲线f--二l的左、右两支上各有一点A,氏点3在直线人弓上的射影是点

方,若直线AB过右焦点,则直线4方必定经过的定点的坐标为.

12.已知点P为椭圆三十），2=1上任一点，点Q是抛物线£=2㈣的准线.卜.的任意

一点，以PQ为直径的圆过原点。，则言7+.

四、解答题

13.（15分）（2024・河北模拟）已知抛物线C：V=2pM»（））上有一点尸（1,〃2）（〃?＞（））,尸为

抛物线C的焦点,£（刍0）,且|£P|二VJ|PF|.

（1）求抛物线。的方程；

（2）过点P向圆Ea+7点〜在圆外）引两条切线，交抛物线c于另外两点

4,8,求证:直线AB过定点.

14.（15分）（2024•福建漳州模拟）已知R是圆M:（x+V5）2+产8上的动点，点

Mb,。）,直线NR与圆M的另一个交点为S,点L在直线MR上,MS〃NL,动点、L

的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程.

⑵若过点P（-2,0）的直线/与曲线C相交于A,B两点，且A.B都在x轴上方，问:在x

轴上是否存在定点Q,使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.

答案:

IB1直线y=V5似原0)过原点,，可设Ji),DS,"),则B(-xi,-yi),

立+城=1,

••.此所4•2=钊....95'

X2-XiX2+X1XJ-Xj3=1,

95

•*•:2=一'][2,♦，・^22=弓,.,♦匕。•左8Q二4.

95xj-xj99

2.C根据椭圆定义,|AFI|+HB|=24=8,|BFI|+|8B|=2〃=8,所以三角形周长为

|AFi|+|5Fi|+|A3|=16.所以|AF1|+|BFi|=16-|A5|=ll.

3.C易知直线A8的斜率不为0,设直线48的方程为x=j町叶〃,A(xi,丁1),83ji).由

X

\2二、*“'得户4’町，・4〃=0,所以)“)，2=-4〃=-16,配以〃=4,所以x="zv+4,所以直

(y=轨，

线恒过点(4,0),故选C.

4.C设点P(〃z,〃),则d2=~tn,di=J(m-4)2+(n-0)z=Vm2-8m4-164-n2=

m2-8m+16+(1-妥x9=J^m2-8m+25=J(|

5d2

442S、

5r-/_mZm)_4

25—"75-7-

——m——m5

44

5.C依题意可得A(-a,0),8(a,0),设M(xo,yo)(xo/士。),所以匕="2-,匕=包~,甘+

XQ+UXQ-CLQ，

菖=1,因为椭圆的离心军为当，所以e=：==号，所以与=；，所以“心二£%•

rb2(a2-Xi)

yo_%_a2=b=1

222

x0-ax^-aXQ-Ua4

6.A设A(xiji),B(x2,y2),设直线AB:x=<y+2,代入椭圆方程，可得(2+尸))耳4()，+2=0.

所以)"+""冷加”二品.故卜+&=/，+言=云+品_2£%《2+(%+42)

一(tyi+Wy2+l)

1篇箸r0・又2不为。，故喝为定值」

7.ABD由题意知，长半轴长。=2,短半轴长。二遍,半焦距C=1,.\FI(-1,0),F2(1,0).

由椭圆的定义得IPRI+I尸尸2|=2〃=4,易得|HQ|=|H"2|=J12+(/=畀••四边形

"/|尸尸2的周长为4+6,故A正确.

由椭圆的第三定义知“x""二白，故B正确.

设。(孙州),则4+"=1.()＜必＜2,()＜)，0＜何则直线的：产汽(1+1),即)3

43XQ+1

(xo+1)y+yo=O,同理可得直线PF2：ywc-(xo-1)y-＞fo=O.*/PH是NFiPFi的角平分线，

・•・点”到直线PFi的距离与点”到直线尸产2的距离相等，

.|如o+i)+y°|_|如o-i)・7o|

Jyo+(xo+V2Jy]+(%o-i)2

易知!(次+1)+刈与;(xo-l)-yo必一正一负.小成+&0；1)2=13-?定+(%()+1。=

扣：。+4),同理得+(q・1产=好对，

...」+l+2y。=血土空2,整理得刈/,・・.w=1,

配+44-%o2

・・・四边形HBPF2的面积为：x|FiB|xQ+y())=2,故D正确.

心〃=尊=2,直线尸":)*=2A，即产2A[,令尸0,得冗乏,故GG，O),

1-0224\4/

・・・田日芸・(-1)=三尸25=1*=3

4444

・・・|FiG]：|尸2G|=5：3,故C错误.

8.ACD设PQj)(P不与A,B重合)，由4-2,0),3(4,0),有

地=；即』"+2)2+y=:化简得

IPAI=J(x+2)2+y2^BI=

年2庖行2

(1+4)2+)2=16,所以点尸的轨迹曲线。是以C(-4,0j为圆心泮径片4的圆,如图所

示,

对于A选项,由曲线C的方程为(X十4尸十)2=16,选项A正确;对于B选项，由Z?C=8,

点8在曲线C外，选项B错误;对于C选项，由10Al=2,|03|=4,有船=；=瞿，则

\OB\2\PB\

当43,尸三点不共线时，由三角形内角平分线定理知,PO是aAPB内角N4P8的

角平分线，所以NAP0=N8P0,选项C正确;对于D选项，由瞿=；，得|P8|二2|PA|,

\PB\2

则|P8|+2|尸。|二2|P4|+2|PD|=2(|尸A|+|PO|)22|AQ=2X2A/5=4，^当且仅当尸在线

段AD上时，等号成立，则|PB|+2|PQ|的最小值为4伤，选项D正确.

9.ACD由题意设9(孙力,8(X2的㈤〈X2,由f=2〃y,得产品则V'=；,所以

"i二藁,加二藁，若弦AB过焦点，显然直线AB斜率存在，设AB所在直线为广心+今

联立f=2py,得/一2〃履-〃2=0,则加12=-〃2,所以kpB&PA=a=-l,所以PA_LP8,故A

正确;以点A为切点的切线方程为=£(rxi),以点8为切点的切线方程为y-

g=字(-2),联立消去y得人-也詈将大一3詈代人忌=敬刈,得广箸所以

P(岩，段)，故B错误;设N为抛物线弦AB的中点,N的横坐标为欢二曾，因此

直线PN平行于)，轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合),

x2x2

故D正确;设直线AB的斜率为七及处=国=乎,故直线AB的方程为y.

X2-X1x2-X12p

言=若/3»)，化简得(Xl+K2)R-2〃yME2=(),故C正确.

10.(0,-2)42⑷坐标代入抛物线方程得16=4p,解得〃=4,・,•抛物线方程为y2=8x

显然直线PQ斜率不为0,故可设PQ:x=〃“+z,将PQ的方程与)，二8x联立得产

8my-8f=0,设P(KJI),Q(必⑼，

则y\+y2=8w,yi>t2=-8r,

A>0=>64m2+32t>0=^2m2+t>0,kpA,同理二」一,由题意，得

xi-2y1yi+4y+4

872

7^+^4~4,**,2。"+X)=yiy2+4G”+户),，yi”=-2(y]+刈,即7=2加，代入直线方程

得XT世+2m="2，+2),故直线PQ恒过定点(0,-2).

11.([,0)双曲线x2《二1的右焦点为(2,0),设A(Xi,yi),83,闻,8弓j2),〃t式产女(42),

直线与双曲线方程联立得。-后后+软与-却^凸二。,则X]+X2=^—,X]状2=4：2：3,所以

K-JK-3

刘-X2+1+X2),直线A9的斜率为上铲=罕3,所以直线AB,的方程为产

4产产

k(x\-2)=(x-xi)，令y=0化简得,(x2-xi)x=jn必能+1=-(X2-xi),即(X2-X1)(x--)=0,

产244

则广源成立，所以直线49必定经过的定点的坐标为4,0).

44

12.1抛物线C的标准方程为f=2痣y,其准线方程为产当设户3\yp),Q(x。,-净,

因为以PQ为直径的圆过原点，所以OP_LOQ,所以x及0,所以XPXQ-弩二0,即

w号，所以赤十嬴二备

以号=就常”所以施+拆为定值'且定值为1

3

13.(1)解由题意，知尸§0)「••抛物线C过点尸(1,〃?)("7>0),・・・苏二2〃,又

|EP|=V2|PF|,・•・(1+^)2W=2(1寸+2加2,.・.(1+髀2%2(甘+例又p>0,解得

p=2,「・抛物线C的方程为y2=4x.

(2)证明由⑴得1(1,2)、圆E.(x+\)2+y2=r.

•・•P(1,2)在圆外,••・/<2?+22-8,即0々(2鱼.当过点。的圆£的切线有一条斜率不

存在时，即x=l是圆E的一条切线，则r=2,.*.y=2是过点尸的圆E的另一条切线,

此时切线)=2与抛物线C有且仅有一个交点P,不合题意.当过点P的圆E1的切

线斜率存在时，设切线方程为y-2=k(x-l),即正广4+2=0,・・・圆心E(-1,O)到切线的距

离仁腺詈力整理可得(凡4)3+8%+44=(),设两条切线的斜率分别为"心,则

攵而=1.由题意,知直线A8斜率不为0,可设直线48方程为x=(y+〃，由｛；=H''

得产4&4〃=(),设4(刘/1),。(X2,2),则)，|+)，2=4，,)，|)2=-4〃,，女/2二月•片=^77♦

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