云南省昆明市某中学2025-2026学年高二年级上册期末考模拟卷（三）数学试题

云南省昆明市云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学

期期末考模拟卷（三）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

x+2

<0B={-1,0,1,2,3},则4n5=()

1.已知集合力=X7^3

A.(1,2)B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2,3}D.{-1,0,1,2)

2.等差数列{%}的前〃项和为S“，已知»4,则%一=()

A.0B.2C.4D.8

3.某高中共有学牛2800人，高一、高二、高三人数比为2:2:3,为了解该校学牛每天阅读

的时间，采取分层抽样的方法从高一中抽取了14人，那么在全体学生中抽取的样本总数为

()

A.49B.42C.48D.50

4.已知圆C（X-4+（）T『=16,力（0,2）,8（2,0）.若圆。上存在点「，使得陷「+「川=12,

则〃的值可能为（）

A.2B.1+72C.5>/2D.5

5.函数/（x）=±（e-/）（其中e=2.71828…）的大致图像为（）

e

试卷第1页，共4页

6.设函数/3=丐3+丹心0在区间（0,兀）恰有三个极值点，两个零点，则少的取值

范围是（）

（513、f1381「519\<1319、

A.B.C.D.

\36）163」[36/\66J

7.子贡口：“夫子温、良、恭、俭、让以得之“，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、

善良、恭敬、节俭、谦让,现有印有“温、良、恭、俭、七”5个字的书签各2张，10张书签

的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书卷，恰有2位同

学分到的书签上汉字相同的分配方案有（）

A.12（）种B.210种C.1440种D.2880种

8.已知函数/（x）=/_xlnx+x（a>0）有两个极值点，则。的最小整数值为（）

A.2B.3C.5D.7

二、多选题

9.已知向量5=（21）,6=（〃?,-2）,且5在1方向的投影向量为了，则（）

A.若出后，则加=一3B.若卜一5卜卜+同，则m=l

1-5

C.若3=2万，则机=6D.若5=则），6=一§

10.已知椭圆C:=+必=1的左、右焦点分别为片，5，点尸在椭圆上，则下列说法正确

4

的是（）

A.使△尸片6为直角三角形的点P有8个

B.△尸与鸟的面积可能为2

C.|尸制|%]的最大值为4

D.西的最小值为-2

11.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且满足q=2,4=8,%讨=4勺-31（〃之2）,则下

列说法正确的有（）

A.数列为等差数列B.数列｛%+尸3q｝为等比数列

3B+I3

C.a„=3n-iD.S=--—n--

n22

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.双曲线C：E-E=lQ>0,6>0)的左、右焦点分别为片、F”以《只为宜径的圆与。在

a'b~

第二象限交于点尸，若坐标原点o到直线尸耳的距离为T。，则双曲线C的离心率为

13.在正三棱柱力〃。-48£中，AB=AA.=2t则在正三棱柱内可放入的最大球的体积匕

与正三棱柱外接球的体积匕之比3=____.

V1

14.若曲线蚱片-〃(〃>。)在“0处的切线也是曲线尸lna+»(b>0)的切线，则

a+b=.

四、解答题

15.记的内角内民。的对边分别为。也c,已知asinC=csin24.

(1)求出

Q)若c-2b=2,a=26,求sin(4-A).

16.已知数列｛〃〃｝的各项均为正，S”为数列｛〃〃｝的前〃项和，an2+2an=4Sn+3.

(1)求｛〃“｝的通项公式;

(2)设方〃=宇，求数列｛加｝的前n项和.

17.如图，在四棱锥P—18CQ中，AB//CD,AB上BC,AB=BC=、CD,G是的中

2

(1)已知E,尸分别为P8,尸G的中点，求证：E/3/平面B4Q；

(2)若尸41平面力8C。，PA=AC,则：

(i)求平面P8C与平面尸力。夹角的余弦值；

p\4

(ii)在线段尸。上是否存在一点M,使得GH_L平面尸BC?若存在，求空的值；若不存

试卷第3页，共4页

在，说明理由.

18.已知函数/")=双融-炉.

⑴当a=2时，求函数8("=〃x)+d的单调区间；

(2)当x>0时，/(x)+l<0,求实数a的取值范围；

⑶设证明：7iM+>TT+，，，+>T7>ln(,?+,)'

19.在平面直角坐标系x。?中，已知抛物线』=20，(p>O)上一点"(xo,4)(xo>0)到焦点”

的距离为5.过点。(0,-4)的直线/与抛物线交于不同的两点彳、B.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若△E48的面积为2(),求直线/的方程：

(3)若直线区交V轴于点S,直线M3交V轴于点7,且不二；1的，行-〃函，求证：-+—

A〃

为定值.

试卷第4页，共4页

《云南省昆明市云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考模拟卷（三）数

学试题》参考答案

题号12345678910

答案DDADCBDBBCDACD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】解分式不等式得集合力，再求交集即可.

yI7

【详解】因为力=卜一-<（）={.r|-2<x<3|,/?={-1,0,1,2,3},

x—3

所以NcB={T0,l,2},

故选：D.

2.D

【分析】利用等差数列的前〃项和公式，即可求解.

［详解】因为等差数列{4}的前〃项和为S”=+当心"，

所以?=%+?〃，则］一,=%+3d-（%+d）=2d=4=d=2,

即a1-a3=4d=8,

故选：D

3.A

【分析】由分层抽样比即可求解.

【详解】设全体学生中抽取的样本总数为〃，则上14二不三2■二，解得〃=49.

n2+2+3

故选：A

4.D

【分析】分析可知点。的轨迹是以。（1』）为圆心，半径々=2的圆，由题意可知：圆C与圆力

有公共点，结合圆与圆的位置关系列式求解即可.

【详解】圆。：（4-。丫+（尸1『=16的圆心为。卜川），半径4=4,

设P（x,y）,因为p/f+p砰=12,BPx2+（y-2）2+（x-2j2+/=12,

整理可得

答案第1页，共15页

可知点P的轨迹是以0(1J)为圆心，半径弓=2的圆，

由题意可知：圆C与圆。有公共点，则引

可得2功一心6,解得-5工。4-1或3KaK7,

所以实数。的取值范围为[-5,-1]U[3,7],结合选项可知ABC错误，D正确.

故选：D.

5.C

【分析】先判断函数的奇偶性，再结合零点来分析.

【详解】函数/⑴的定义域为R,且/(r)=M(e-(T)2)=E(eT2)=_“x),

ee

因此/(幻是奇函数，其图像关于原点对称，故选项A、B不符合题意；

令/(x)=0,则三(e—/)=0,

c

因为ewO,所以x=0或e-42=o,解得x=0或工二土五.

因此，函数有三个零点，C选项正确.

故选：C.

6.B

【分析】根据题意求得5+gc传，的十三)，结合函数/(%)在区间(()，动恰有三个极值点

JIJJ)

两个零点，得出不等式曰<丽+>3兀，即可求解.

【详解】由函数/(x)=sin+y,其中xe(o,7i),可得s+枭与加+]),

因为函数/(x)在区间(0/)恰有三个极值点、两个零点，

由y=sim\xeg,3兀]图象如图，

IJ/

卦

137C

rx2

~04

32T

由图可知，加+建3兀，解得枭所以0的取值范围为俘1.

2363\o3,

故选：B.

7.D

答案第2页，共15页

【分析】先从10张书签中选出4张，其中两张相同，另外两张各不相同，再分配给4位同

学.

【详解】第一步，先从1()张书签中选出4张，由题可知逃到的4张书签中有两张汉字相同，

其余两张各不相同，

共有CC；C；C；=5x6x2x2=120种不同的选法；

第二步，将抽到的4张书签分给4位同学有A：=24种不同的分法，

根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有：120x24=2880种.

故选：D.

8.B

【分析】分析可知/'(X)在(0,+8)内存在两个变号零点，令■!■=〃］，可得出心•/=欣网，

a

构造函数〃(x)=xev,x>(),利用导数分析函数Mx)的单.调性，可得出即〃?=叵在(1,十8)

A

内有两个不同的根，令研》)=妈，利用导数分析函数矶X)的单调性与极值，数形结合可得

.X

出〃?的取值范围，即可得出”的取值范围，即可得解.

【详解】函数/(x)=ed-xlav+A(a>0)的定义域为(。，+动»

问题等价于/'(X)在(0,+8)内存在两个变号零点，

即r(；v)=1e£-lnx在(0,+8)内有两个变号零点，

因为xe(0,+8),令

a

问题可以转化为关于K的方程=0在(。，+8)内有两个不同的解，

又方程nixemx-x\nx=0可化为mx-enx-Inx-elav=0,即mx-ewx=lnx・

令。(x)=xe*,x>0,则％'(x)=(l+x)e，>0在区间(0,转)上恒成立，

所以函数力(x)在区间(0,+。)上单调递增.

又〃状>0,所以Inx>0,即x>1,所以问题等价于Inx=mx,

即“二日在9+⑹内有两个不同的根，

令°(x)=3'贝1」"(力=^^，

当XG(l,e)时，*'(x)>0,函数°(x)在区间(l,e)上单调递增；

答案第3页，共15页

当xc(e,+8)时，d(x)<0,函数>(x)在区间(6用)上单调递减,

所以函数*(力在x=e处取得极大值0(e)=L

e

由图象可知，当根《(),口时，直线)，=〃?与函数。(x)的图象有两个交点，且其横坐标分别

又〃=’,所以“c(e,+8),所以〃的最小整数值为3,

m

故选：B.

9.BCD

【分析】对于A,由向量共线的坐标形式求解〃?=-4后可判断正误：对于B,由向量垂直

的坐标形式求解加:1后可判断正误；对于CD,利用投影向量公式计算后可判断正误.

【详解】对于A,因为源石，故2x(-2)=lx/〃，故〃?=T,故A错误；

对于B,因为口-同=1+可，故伍+町=伍一町，整理得万.5=0,

故2〃?+1乂(-2)=0,故/”=1,故B正确;

ab一

-不。

对于C,由题意有5在1方向的投影向量为时

因为5=23,所以育"=2,

因为鼠5=2阳+以(-2)=2m-2,同="^=&',所以丹匚=2,

得=6,故C正确；

答案第4页，共15页

ababI_5

对于D,由C的分析可得而=有-=-],故小6=一§,故D成立.

故选：BCD

10.ACD

【分析】利用平面向量数量积的垂直表示判断A；当尸位于短轴端点时，△防片的面积最

大，求出面积最大值判断B；根据椭圆的定义及基本不等式判断C；设可求出西,

比坐标，根据数量积公式，结合椭圆方程及x的范围判断D.

【详解】A：当JL6K或P用，耳尸2时，丹鸟为直角三角形，此时满足条件的点?有4

个，

当P为直角顶点时，设点P（/Jo），则其=4-4尤，用=（仆+后,稣），/=（.%-6,%）,

所以不•可=片-3+4=1-3*=0,解得加=士等,毛=土半，

此时满足条件的点〃有4个，所以满足△片尸乃是直角三角形的点〃有8个，正确；

B：当。位于短轴端点时，不妨取上端点，则户（0」），

此时△号用的面积最大，且为gx忻用xl=；x2®xl=x/J,

所以△PEG的面积最大为百，不可能为2,错误；

C：由椭圆的定义得|尸"|+|桃1=24=4,所以|历|.|产治｛㈣±㈣]=4,

\✓

当且仅当|尸耳|=|尸/=2时取等号,所以|旧仆|尸玛|的最大值为4,正确:

D：设尸（占歹），由题意耳（一6,0）,5（有,0）,

所以西=（-V3-x-y）,庵=（G—x,—用，则所•配=/+_/—3,

因为。在椭圆上，所以]+/=1,且xe[-2,2],故所.丽=/+）,2_3=（2,

答案第5页，共15页

所以当x=0时，尸用户兄=二--2的最小值为-2,正确.

■4

故选：ACD

11.BCD

【分析】由%=他一3%(〃之2),所以。7一勺=3(%一%),则㈤.「4｝是等比数列，

根据题意得。用-3/=〃,-34_1，所以数列为等比数列，利用累加法求出

%=3"-1，

qn+la

再利用分组求和法得到S”——〃-士.

【详解】因为g+I=44-3%(〃22),所以凡+|-%=3(4,

则｛。川-。“｝是首项为%-4=6,公比为3的等比数列，故A错误；

根据题意得。”川=4q,-3al=%+i-3a“=an-3q-,%一3%=2,

所以数列｛。e-3%｝为首项为2,公比为1的等比数列，故B正确；

所以

%=%+(%-6)+他一生)+一+(。“一%-1)

2x(l-3n7)

=2+6+1S+...+6X3"2=2(|+3+9+...+3"T)=—J=3"-1，故C正确；

S“=(3+32+33+-+3n)-/?=3X^-3=--n-->故D正确.

"I71-322

故选：BCD

12.叵

2

【分析】由题意得到打;作出辅助线。，W,结合双曲线定义求出|「"|=必，伊川=。,

由勾股定理得到方程，求出离心率.

【详解】由于£工为圆的直径，得PF】上PF2,取尸片的中点连接。河，

因为O为我声的中点，所以且|。必=；归用，

故。|。叫即为坐标原点0到直线产月的距离，则|。必=|明

答案第6页，共15页

所以|P周二2|OM|=3Q,

由双曲线定义可得|p5HP£|=2O,所以|P四二〃,

又归用=2%由勾股定理得归制2+|分¥=后周2,

故6+9/=4CJ解得£=工，故离心率为£=巫.

a22a2

故答案为：巫

2

13.亘/三后

4949

【分析】分别求出正三棱柱内可放入的最大球的体积匕与正三棱柱外接球的体积匕，进而

求出它们的体积之比.

【详解】设底面正三角形为由48C,月8=2,其内切圆半径为小

由，(48+8C+C4)。。4力8仓以Csin-,

223

得,.=",若内切球与上、下底面相切，则半径为1,因为立＜1,

33

所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为打二〃二且，

13

则其体积匕、叫、冬话二噜.

根据正三角形外接圆半径及=2^4正三角形的边长)，所以R二空.

33

又正三棱柱的高力4=2,可得球心到底面的距离为1,

根据勾股定理8=2+爵、+f=p则&=/

所以匕二拙亨能二唔

答案第7页，共15页

4百71

所以匕,,亍.=立

所以匕空叵49-

27

故答案为：旦

49

14.2

【分析】应用导数的几何意义求得N=ex-〃(〃>O)在x=0处的切线，对少=ln(T+〃)求导,

结合已知得切点(1-A0)在直线y=x+1-。上，即可得.

【详解】由题设y'=e',则内产产1,则x=0处切线为y—。―Q)=x,即歹=x+l—a,

对于y=ln(x+6),有y'=dw，又y=x+l-a也是y=ln(x+b)的切线，

令一工=1,可得x=l—〃，则V=0,即切点(1-A0)在直线y=x+l-a上，

x+b

所以l-b+l-a=0=a+b=2.

故答案为：2

15.⑴

⑵警

【分析】(1)利用正弦定理和二倍角公式计算可得；

(2)利用正弦定理求出，再由诱导公式计算可得.

【详解】(1),.,«sinC=csin2J,

由正弦定理得:sinJsinC=sinC-sin2^,

乂由二倍角公式，得sinAsinC=sinC-2sinJcosA,

又0<4<兀,0「.sinA^0,.1.sinC*0,

，在三角形内，有cos/l=g.

又0<4<兀,.二月二四.

(2)在dM8c中，由余弦定理a2=/+c2-2bccos4，得：b2+c2-bc=2S.

又由条件可知c=»+2代入上式有：〃+2力-8=0，

，b=2或6=-4(舍负)..•.c=26+2=6,

ab2y/l_2

由正弦定理得sin/sin3=；兀sinB»

sin一

3

答案第8页，共15页

故在由48C中，sin5=-^4=

2V7

又由(1)可知，力=],又”=2"，6=2,

则4>分，故A>B,则8为锐角，cosZ?>0,

6516

sin(4-B)=sinAcosB-cosAsinBF^77-2^77

16.(1)an—2n+1；(2)2--------.

3〃

【分析】(1)根据题意求出首项,再由(an+i2+2an+i)-(an2+2an)=4加+八求得该数列

为等差数列即可求得通项公式；

(2)利用错位相减法进行数列求和.

【详解】(1)•.*an2+2an=4s〃+3,

；・4/2+2。/=4S/+3,即2q-3=0,

解得：(〃=3或〃/=・1(舍)，

乂Van+i2+2an^i—4Sn+i+3»

(a〃+J+2a〃+/)-(a/r+2an)=4a〃+/,

整理得：<an+i-an)(an+i+an)=2(an+/+an)»

又•••数列｛〃〃｝的各项均为正，

an-an=2,

••・数列｛<〃?｝是首项为3、公差为2的等差数列，

,数列｛的｝的通项公式的=3+2(w-1)=2/i+l；

(2)由⑴可知加=?=爷1,

记数列｛bn｝的前n项和为Tn,贝I」

07=3・2+5・二+.一+(2^+1)・],

33-3”

g%=3・"+5・/・...+(2H-1)・"+(2〃+1)♦击，

错位相减得:|■刀?=1+2(*■+*…+")-(2〃+1)

答案第9页，共15页

3

=l+2x-

42w+4

【点睛】此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数

列求和，关键在于熟记方法准确计算.

17.(1)证明见解析

(2)(i)立；(ii)不存在，理由见解析

3

【分析】(1)取P4的中点为N,PO的中点连接RV,NM,MF,证明四边形ENM/

为平行四边形，得EF〃MN,由线面平行的判定定理进行证明；

(2)(i)利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可；

(ii)假设在线段尸。上存在一点"，使得GA/_L平面P8C,设丽=4而，AG[0,1],由

向量丽与法向量；;共线进行求解，

【详解】(1)取P/1的中点为N,P。的中点连接产N,NM,MF,

4M

则用V为的中位线，M广为△PGD的中位线，得

EN〃AB且EN=-AB,MF〃GD且MF=-GD,

而HB〃CD,AB=-CD,得EN//MF&EN=MF,

得四边形ENMF为平行四边形，

则上尸〃MN,由MNu平面P力。，七/0平面E4Q,

得箱//平面P/。.

(2)(i)由/4〃C。，AB1BC,AB=BC=-CDt可得N8以=/。以=色,

答案第10页，共15页

It

连接彳G,可得四边形力BCG是正方形，即可得G/=GC=G。，所以NGD4=

4

所以ND4C=四，即力C_L4。，

2

5LAP1¥EABCD,力Cu平面力8CO,得/P_L4C,

AP,4Ou平面"。，APnAD^A,得力。_L平面尸4),

如图建立空间直角坐标系，

令PA=AC=叵,则力4=4C=gcO=l,

即80,0,0),C(l,l,0),40,0,0),P(0,0,V2),0(-1,1,0),G(0,l,0)

所以沅=(0,1,0),丽=(-1,0,后)，

设平面P3C的法向量为万二(x,乃z),

BPn=(x,^,z)=-jr+x/_2z=0

则

BCn=(x,y,z)-(0,1,0)=y=0

令z=l,得工=&,y=o,所以万=(JI,o,i),

由于4cl面PAD,所以平面PAD的法向量可以取就=(1JO),

设平面P8C与面加。的天角为0,

n-AC_x/2_V3

贝COS夕=][=-7=7==,

同X/2XV33

故平面PBC与平面PAD的夹角余弦值为也.

3

(ii)假设在线段尸。.上存在一点M,使得GM_1_平面08c,设PM=APD，e[0j],则

~PM=2(-l,l,-x/2)=,

得南=存+两=(0,-1,a)+(U,Vi/l)=(3,2-1/2V2^,

而平面尸AC的法向量为历=(上,0,1),

答案第11页，共15页

由GM_L平面尸8C,得向量的与法向量为1共线,

-25/2-yjlZ.0

-==--------X=2

即加1得一,故见无解,

X=1

2-1=0

故不存在线段PO上的一点M,使得GM_L平面尸4C.

18.(1)单调递减区间为(7),-g),单调递增区间为(-；,+8

⑵。弓

⑶证明见解析

【分析】(1)求导，通过>'(x)<0,"(x)>0即可求解；

(2)构造函数〃")=汽"-廿+1,求导，再令g(x)=〃'(x),再求导，得到

〃'(x)=(lls)e"e\通过〃>:和0<。《3和140两类情况讨论即可求解；

(3)由(2)取。=；,得洸汽1+1<0,再令f=J，得到23<一；进而得到

”旧〈用一后即可求证.

【详解】(1)当4=2时,<p(x)=xe2x,则”")=(1+2工”21,

当XV-；时，d(x)<0,当x>-g时，d(x)>0,

所以。(X)的单调递减区间为18,-单调递增区间为(-(+8).

(2)设Mx)=x*-e，+l,则"0)=0,又/(X)=(1+G)*Y、，

设g(x)=(1+水)y-e',则g，(x)=(2Q+小产一e，，

若。则g'(0)=2a-l>0,因为g'(x)为连续不间断函数,

故存在/e(0，+g)，使得Vxc(0,x。)，总有g'(x)>。，

故g(x)在(0,3)为增函数,故g(x)>g(O)=O,

故〃(x)在(0,%)为增函数，故〃(力>"0)=0,与题设矛盾.

若OVQW』，则〃(x)=(l+*)e心=,

2

下证：对任意戈>0,总有ln(l+x)<x成立，

答案第12页，共15页

证明：设S(x)=ln(l+x)—x,^^(x)=--l=--^-<0,

故S(x)在(0,+8)上为减函数，故S(x)vS(0)=0即ln(l+x)vx成立.

tfX+tttv2axx

由上述不等式有c^'^-e*<e-e=e-c<0，

故/f(x)<0总成立，即〃(x)在(0,y)上为减函数，

所以〃(丫)<〃(0)=0.

当。40,且x>0时，ar<0,l+av<l,

则h\x)=eax-ex+=(1+av)-ex<1x1-e*<0,

所以Mx)在(0,+8)上为减函数,所以〃(力。(°)=0・

综上，a~~2,

(3)证明：取。=!，则Vx〉0,总有、搂一、［<()成立，

yAvv•1V

令”小，则。1，〃=e"X=21M

故2/InZ<r_1即2In/</—；对任意的,>1恒成立.

所以对任意的〃wN,有21n坞〈坪-忌,

整理得到：ln(〃+l)-

\Jn~+n

故/J+/J+…+/1>In2-In1+In3-In2+--4-111(7/+1)-In/7=ln(z/+

VI2+1V22+2J/r+n

故不等式成立.

19.⑴.2=4y；

(2)y=2\/Lr-4或y=-2\l2x-4；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据抛物线的定义，点M(x0,4)到焦点厂的距离等于到准线的距离，求出p=2,

从而得出抛物线的标准方程；

x2=4v

(2)设直线/的方程为y=履-4,联立《尸由韦达定理，得玉+