四川省内江市2025届高三年级下册一模考试数学试卷（解析版）

四川省内江市威远中学2025届高三下学期一模考试数学试卷

一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共计40分

1.已知全集U={xI-3<x<3},集合A={xI—2VxW1},则QA=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.(-3,-2]U(1,3]D.(-3,-2]U(1,3)

【答案】D

【解析】【解答】解：因为集U={x|-3<x<3},集合力={x|-2<x<l},

所以QA={x|-3<x<-2或1<zV3}.

故答案为：D.

【分析】根据已知条件和补集的运算法则，从而得出集合A在U中的补集.

2.已知复数z满足|z-(l+2t)|=0,其中i是虚数单位，则|z|=()

A.5B.V5C.1D.2

【答案】B

【解析】【解答】解:因为怙一(1+2。|=0,

所以z=1+2i,

故|z|=Vl2+22=V5.

故答案为：B.

【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式以及已知条件，从而求出复数z,再利用复数求模公式可得|z|

的值.

3.已知向量G=(m,2),b=(1,1)，c=(1,3),且仅d)_L3则实数m为()

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】A

【解析】【解答】解:因为2万—b=(2m,4)—(1,1)=(2m—1,3)，

又因为(28-b)1c,

所以(2Q—匕)•c=2m-1+9=2m+8=0,

所以m=-4.

故答案为：A.

【分析】根据向量的坐标运算和向量垂直数量积为()的等价关系以及数量积的坐标表示，从而列方程得出实

数M的值.

4.已知两个等差数列{斯卜{为}的首项分别为1和2,且由()+瓦o=3O,则数列{Qn+bn}的前20项的和为

第1页

A.165B.630C.60D.330

【答案】B

【解析】【解答】解：设等差数列｛%｝,｛%｝的公差分别为

由由0+比0=30,Qi=1,仇=2,

得%+9dl+仇+9d2=30,

解得di+d2=3,

所以。20十>20=十19dl十bi+19d2=Qi+b［十19（di十d2）=60»

所以｛即+砥｝前20项和为：

20,20

520=~2~（。1+。20）+"2"（瓦+为0）=10（。1+力1+。20+^20）=630.

故答案为：B.

【分析】根据等差数列的通项公式可得d1+d2=3,从而求出。20+历（）=60,再结合等差数列前几项和公式

和分组求和法，从而得出数列｛斯+%｝的前20项的和.

5.已知a,AW（0，今，3cos（a+/?）=cosacos/?,则£cm（a+夕）的最小值是（）

A.2V3B.2VSC.2V6D.277

【答案】C

【解析】【解答】解：由3cos（a+/?）=3cosacosfi-3sinasin/?=cosacos/?,

得2cosacos/?=3sinasin0,

因为a,BW(0,5),所以tanatan/?=京且tana>0,tan//>0,

tana+tan0

tan(a+0)==3(tancr+tan/?)>3-2^/tanatan/?=2V6,

1—tanatan/?

当且仅当tana=tan£=暗取等号.

故答案为：c.

【分析】本题考查两角和的余弦公式，两角和的正切公式，利用基本不等式求最值.先利用两用和的余弦公式

进行展开式化简可得tanatan/?的值，再利用两角和的正切展开式进行化简可得：tan（a十口）=3（tana十

tan0）,利用基本不等式进行求解可求出最值.

6.如图1,在高为h的直三棱柱容器4BC-&BiCi中，AB=AC=a,ABLAC,现往该容器内灌进一些

水，水深为/，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为

481c（如图2）,则幺=（）

第2页

Dg

T

【答案】A

【解析】【解答】解：设柱体的底面积为S,

则柱体的体积V=Sh,注入水的体积为/=Sh，

容器倾斜后，上半部分三棱锥的体积VgY向C=匕?-&8由=gsh，

»\Sh-hh=Sh\

整理得K=2.

万一3

故答案为：A.

【分析】根据题意结合三棱柱的体积公式和三棱锥的体积公式体积，从而作差整理得出K的值.

h

7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点P为双曲

线（尸1，七为焦点）上一点，点P处的切线平分々F1Pa•已知双曲线C：%=1,0为坐标原点，点P。,苧）

处的切线为直线，，过左焦点灯作直线I的垂线，垂足为M,若［0M|=2,则双曲线。的离心率为（）

A.2B.9C.V5D.2V5

2

【答案】B

【解析】【解答】解：如图，延长PF?交FiM的延长线于点N,

因为M是乙F1PF2的角平分线上的一点，且

所以点M为％N的点，

所以|PFil=\PN\t

又因为。为F2F1的中点,

第3页

所以|BN|=2\0M\=4,

所以|PFj-\PF2\=\PN\-\PF2\=\F2N\=4,

所以2a=4,则a?=4,

将点咆劣代入

可得X一一多二1，解得庐=1,

4b

则双曲线C的离心率为？=1+史=更

[2

故答案为：B.

【分析】根据线段中点和角平分线的性质，从而可得|P%|=|PN|,再根据双曲线定义得出a的值，再代入点

P(3用到双曲线方程可得属的值，则根据双曲线离心率公式得出双曲线C的离心率的值.

8.已知函数/1(%)的定义域为R,且对任意K6R,满足/"(X+1)-〃第一1)=%,且/■(l)=f(2)=l则下列结

论一定正确的是()

A./(100)<2500B./(100)>2500C./(101)<2500D./(101)>2500

【答案】D

【解析】【解答】解：当％WN"时,

因为f(x+1)-f(x-1)=%>

所以/'(2%)-f(2x-2)=2x-l,/(2x-2)-f(2x-4)=2%-3,…,f(4)-/(2)=3,

由累加法，可得：f(2x)-/(2)=(2x-1)+(2x-3)4--+54-3,

•••f(2x)=1+3+5H---F(2x-1)=x2,

所以f(100)=502=2500,

故选项A、选项B均错误；

由/"(2无+1)—f(2x-1)=2x,f(2x-1)一f(2x-3)=2x—2,…，/(3)-/(I)=2,

得/'(2x+1)=/+%+1,

则/'(101)=2551>2500,

故选项C错误、选项D正确.

故答案为：D.

【分析】根据已知条件和递推关系以及累加法，从而可得/(20=/,/(2%+1)+%+1,再利用赋值法

和比较法，从而逐项判断找出结论一定正确的选项.

二、多选题：本题共3个小题，每个小题6分，共计18分

9.已知函数f。)，xe[—Q,a]的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为/(%),函数g(x)=(M—x)/'(x)

的图象如下，则下列说法止确的是()

第4页

B.x=l是/•(%)的极大值点

C./(%)没有极小值点

D.x=i可能不是导函数/'(灯的极大值点

【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：当一aWxV-l时，gM>0,x2-x>0,

.••/(灯>0,函数/(%)单调递增，

同理可得，当一1<%<0时，/(%)<0,函数/■(%)单调递减，

所以％=-1为函数/(外的极大值，

当0<T<1时，f'(x)<0,函数/(外单调递减；

当1VXWQ时，/(X)<0,函数/(X)单调递减，

所以，函数/•(%)在(一1,。)上单调递减，

则“%)在％=-1处取最大值，且没有极小值点，故选项A、选项C正确、选项B错误：

当0VXV1和1VXKQ时，/(%)<0，

又因为g(l)=0，且/-刀在％=1时等于0,

所以八1)不一定等于0，

当f(1)=o时，x=1是导函数/''(>)的极大值点；

当/(1)工0时，x=1不是导函数/'(X)的极大值点，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据g(x)的图象，先分析出了'(X)的正负，从而判断出函数/(%)的单调性，则可判断选项A、选项B

和选项C；再当0VxV1和1<xWQ时，f(x)v0结合f'(l)不一定等于0,则可判断选项D,从而找出说法

正确的选项.

10.已知函数/(x)=s讥2%,若将/(x)的图象向右平移各个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为

原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.gM=sin(x-

B.g(x)的图象关于点焦,0)对称

C.gQ)的图象关于直线尤=4对称

D.g(x)的图象与f(x)的图象在02初内有4个交点

第5页

【答案】B,D

【解析】【解答】解：将/Xx)的图象句右平移金个单位后,

可得/卜-&=sin21-金)=sin(2x-1),

则可得g(x)=sinD故A错误；

对于B,因为9偿)=sin(看一看)=0,故B正确;

对于C,因为g得)=sinGY)=sin髀±1,

所以％=掾不是g(x)的对称轴，故C错误，

对于D,分别作出f(x)与g(%)在［0,2汨内的图象如下,

由图可知,g(x)的图象与/(%)的图象在［0,2河内有4个交点，故D正确.

故答案为：BD.

【分析】根据函数图象的平移变换和伸缩变换，从而可得g(x)=sin(%-勺，则判断出选项A；利用换无法

和正弦函数的对称性，从而判断出函数g(x)的图象的对称性，则判断出选项B和选项C；作出两个函数g(x)

与/(%)的图象，再利用两函数的图象，从而得出仪幻的图象与人幻的图象在［0,2用内的交点个数，则判断出

选项D,从而找出说法正确的选项.

11.已知函数/'(%)=2xlnx+a/一》,则下列说法正确的是()

A.当a>0时，/(%)在(0,+8)上是增函数

B.当。=2时，/•(%)在％=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为卷

C.若/(%)在(0,+8)上为减函数，则qw-e手

D.当a<0时，若函数尸(%)=/(%)+QN有且只有一个零点,则QE(-1,一号)

【答案】B,D

【解析】【解答】解：对于A,因为，(%)=21皿+2。无+1为增函数，

当XT0时，/'(X)趋向负无穷；当XT+8时，/(X)趋向正无穷，

所以，存在与6(0,+8),使得/(勺)=0，

则丫F(0,r0)±/(x)<o,f(x)在(0,与)上为减函数，故A错误：

对于B,由题意，可得/''(%)=21nx+4x+1，

第6页

则/(I)=5，且=

所以f(尤)在x=1处的切线方程为y=5x—4,

则切线与不轴的交点坐标为6,0),与y轴交点坐标为(0,-4),

所以f(x)在》=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为劣x^x4=i故B正确，;

对于C,因为函数/(x)在(0,+8)上为减函数，

则在(0,+8)上，/(%)=21nx4-2ax+1<0恒成立，所以2a<1：欣，

令必)=匚押，则£》)=匚受咯

11,

易知，当0<%〈声时，g(%)<0；时，。(%)>0，

所以g(x)在(0,覆)上为减函数，在(覆,+co)上为增函数，

../1\_1_1_1

所以9(x)min=9=-2?2=>2a<-2e2=>a<-e2,故C错误；

对于D,因为函数F(x)=/(x)+ax=2xlnx+ax2-x+ax有且只有一个零点，

所以2xlnx+ax2-x+ax=0有唯一解，

1—21nx

则a

x+1'

令。(切=宏"且%>0,则g'a)二也专，

“十，(x+l)

令九3)=21nx-2-3,显然在(0,+8)上为增函数，九⑸=21n5—?vo</i⑹=21n6—孚

xbJ

2

则三qW(5,6),使得力(%0)=21nx0-丁-3=0,易知0V%V殉时九(々))V0,x>%()时出算。)>0,

人0

则g(x)在(0,&)为减函数，在(%0，+°°)为增函数，

2

则g(x)min=9(&)=-M，

x0

当Q<。时，nm^(x)T+8,J%g(x)T0,

所以Q=1Z等有且只有一个解时，Q=g(%)=一二，

则Q=_W(L，故D正确.

故答案为：BD.

【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，则判断出选项A；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利

用代入法得出切点坐标，再根据直线的点斜式方程得出切线方程，再联立两直线的方程求出交点坐标，再根

据两点距离公式利点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，从而得出当a=2时，“外在x=1处的切线

与坐标轴围成的三角形的面积，则判断出选项B；将问题转化为在(0,+8)上2aW土生竺恒成立，再利用

X

第7页

导数研究右侧的最小值，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项C；将问题转化为°=耳卢有唯一

•vIJL

解，再利用导数研究右侧的单调性和值域，则判断出选项D,从而找出说法正确的选项.

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共计15分

12.若函数/（x）=:等一cos第为奇函数，则实数m的值为.

【答案】2

【解析】【解答】解：因为函数/'（灯二节詈-cosx为定义在R上的奇函数,

所二山以、1f~八(0)、=mcosO—cosO八=ym—I1=c0,

所以m=2.

故答案为：2.

【分析】根据已知条件和奇函数的性质，从而得出实数m的值.

13.抛物线C:y2=2Px的焦点F恰好是圆（x—+y2=1的圆心，过点F且倾斜角为45。的直线1与C交于

不同的A,B两点，则|4B|=.

【答案】8

【解析】【解答】解：由题意知，焦点F（l,0）,

则抛物线C：V=4%,直线上y=x-l,

设4（与,丫1），8（工2，丫2），

联立『；"；1，消去y并整理得%2-6X+1=0,

（yz=4%

则％1+x2=6,

所以|AB|=XI+%2+P=6+2=8.

故答案为：8.

【分析】根据题意可得抛物线C:y2=以和直线，:y=x-l,联立直线方程与抛物线方程结合韦达定理，从

而得出勺+%2的值，再利用抛物线的定义得出|48|的值.

14.甲、乙、丙、丁、戊五人完成A,B,C,D,E五项任务所获得的效益如下表：

ABCDE

甲101291210

乙2425232222

丙913141210

T681081()

戊1315141511

现每项任务指派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有种；效益之

第8页

和的最大值是.

【答案】78；75

【解析】【解答】解：因为甲不承担C任务，丁不承担A任务的选派方法有：星-2川+“=78种.

由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为12+25+14+10+15=76,

但不能同时取得，故五项工作后获得的效益值总和最大值小于76,

但当乙承担4,甲承担丙承担C,「承担E,戊承担

此时效益值总和为：24+12+14+15+14=75,效益之和的最大值是75.

故答案为：78：75.

【分析】根据全排列去掉甲承担C任务和丁承担A任务的计算指派方法种数；再根据特例求和，从而可得效

益之和的最大值.

四、解答题：本题共5个小题，共计

15.在△48C中，角力、8、C所对的边为Q、氏C,已知一后=碇.

(1)求角8的值;

(2)若6=逐，△ABC的面枳为竽，求AABC的周长.

【答案】(1)解：由余弦定理,

可得8SB=”2社2一］ac_1且0V8V7T,

2^=2

故B=5.

(2)解：由三角形的面积公式，

用得S&ABC=/acsinB=^-ac=与2，口］得ac=10,

由余弦定理，可得6=b2=a2+c2-2accosB=a24-c2—ac=(a4-c)2-3ac=(a+c)2-30所以Q+c=

6,

因此，A/IBC的周长为Q+b+c=6+遍.

【解析】【分析】(1)由余弦定理和已知条件，从而求出cosB的值，再结合三角形中角B的取值范围，从而可

得角8的值.

(2)利用三角形的面积公式可得ac的值，再利用余弦定理可得Q+C的值，再结合三角形的周长公式，从而

得出AA8C的周长.

(1)由余弦定理可得cosB=:+c2-0=空,=且故8=%

2ac2ac20

(2)由二角形的面积公式可得SAHBC=JacsinB=¥ac=可得ac=10,

41/1DUJA.J

由余弦定理可得6=b2=a24-c2—2accosB=a2+c2—ac=(a+c)2—3ac=(a+c)2—30,故a+c=

6,

因此，△48C的周长为a+b+c=6+V6.

第9页

16.已知公差不为零的等差数列｛an｝的前n项和为%，若Sn)=110,且即,散,。4成等比数列

(I)求数列｛a五｝的通项公式;

(II)设数列｛%｝满足b=(即_1：即+1)，若数列｛4J前n项和7\,证明了“4

【答案】(I)解：由题意知：‘"笔/"，包/)二黑(小｝上)，

1510=11010%+45d=110

则Qi=d=2,

所以，数列｛Q7J的通项公式为：an=2n.

iiii

(II)由(1)nJ"知加-(2n-i)(2n+l)-2-2n+T^

则如二；[<一》+&-<)+…+(^T-2^)]

=我W

【解析】【分析】(I)利用等比中项公式和等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式，从而得出等差数

列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列｛即｝的通项公式.

<H)利用(I)中数列｛a“｝的通项公式和裂项相消法以及放缩法，从而证出不等式7\</成立.

17.设函数人幻=吟>.

(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求/(无)的极值点个数；

(3)若%>0时，也>k，求k的取值范围.

X

【答案】(1)解：由题意，可得/(0)=鸣31=0,

e

则/⑺=击e7y'+D=个目”X>-D-

所以，曲线y=/(%)在点(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=上挈=1,

eu

所以，曲线y=/'(%)在点(0,0)处的切线方程为y=x.

(2)解：由(1)得，/4):上空舞凶">-1),

(入IJLIt*

令g(x)=1-(x+l)ln(x+1),x>-1,

则9(%)=-ln(x+1)-1,

所以函数g'(x)单调递减且当％=-1时，g'M=0，

所以函数g(x)在(一1,。一1一1)上单调递增，在(eT-1,+8)上单调递减，

当一1<x</1―1时，(x+l)ln(x+1)<0,

所以9(%)=1-(x+l)ln(x+1)>0,

因为当x>e-1-1时g(x)单调递减且当%—+8时，g(x)<0,

第io页

所以g(x)在(-1,+8)上只有一个变号零点，

又因为(*十l)ey>0,

所以/'1X)=上当招龄”只有一个变号零点，

所以/(X)只有I个极值点.

(3)解：当％>0时，£wln(x+l)

x=xex>fe>

则ln(x+1)—kxex>0恒成立,

当k<。时,显然ln(x4-1)-kxex>0在(0,+8)上恒成立;

当k>0时,ln(x4-1)—kxex<ln(r+1)—kx,

所以，当XT+8时，0>ln(x+1)-k%>ln(x+1)-kxeH

不满足题意，

综上所述，k的取值范围为(-8,0].

【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再艰据点斜式得出

曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程.

(2)将极值点个数转化为导数的变号零点个数问题，再利用导数判断函数的单调性和函数求极限的方法，从

而得出/4)=1-(：点麒+D只有一个变号零点,进而得出/(%)的极值点个数.

(3)利用已知条件，将她Ak变形为ln(x+l)-再按k的不同取值分类讨论，再利用不等式恒成

X

立问题求解方法和函数求极限的方法，从而得出实数k的取值范围.

(1)由题意可得八。)=中=。，-备.-y+i)=上竿罂±2*>_1),

eX✓

所以曲线y=f(%)在点(0,0)处的切线斜率々=尸(0)=甘=1,

所以曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.

(2)由(1)得/&)=ir彳(A点T、氏+1)(，>一])，

令g(x)=1-(x+l)ln(x+1),x>-1,则g(%)=-ln(x+1)-1,

所以函数g'(幻单调递减，且当％=e-1-1时g'(x)=0,

所以函数g(x)在(一1,b1一1)上单调递增，在(e—i-1,+8)上单调递减，

当一1<%<?一1一1时，(%+l)ln(x+1)V0,所以g(x)=1-(x+l)1n(x+1)>0,

因为当x>e-1-1时g(x)单调递减，且当％-»+8时，g(x)<0,

所以g(x)在(-1,+8)上只有一个变号零点，

又因为(x+l)e->0,所以/(X)=匕喧臀3只有一个变号零点，

(人1XiC

所以/1)只有I个极值点.

第11页

(3)若久>0时，二)(无牡)>上,即ln(x+1)—kxe，>0恒成立，

当々<。时，显然ln(x+1)-kxex>0在(0,+8)上恒成立，

当k>0时,ln(x+1)—kxex<ln(x4-1)—kx,

所以当XT+8时，0>ln(x+1)-kx>ln(x+1)-kxe”,不满足题意，

综上k的取值范围为(-%0].

18.如图，在正四棱柱中，AB=4,AA1=8,点4、%、金、。2分别在棱4公、BB

CG、上，AA2=2,BB2=0。2=4,CC2=6.

(2)求三楂锥4一42。2。2的体积；

(3)点P在棱BB1上，当二面角2-公。2-。2大小为患时，求线段82P的长.

【答案】(1)证明：以C为坐标原点，CD,C8,CG所在直线为匕y,z轴，

建立空间直角坐标系如图：

则C(0,0,0),Q(0,0,6),%(0,4,4),。2(4。4),4(4,4,2),

.・.艰=(0,-4,2),硒=(0,-4,2)，

♦,*II4202,

又因为附。2，人2。2不在同一条直线上，

第12页

：•82c2”人2。2,

(2)解：因为S△{42%=,40=*x2x4=4，

所以点C2到平面的距离为CO=%

则力一42c22=^C2-AA2D2=^AAA2D2-CD=^X4X4=-^.

(3)解：设P(0,4,2)(0(〉48),

则人2。2=(-4,—4,4),PC2—(0,-4,6—4),。2c2=(—4,0,2)，

设平面P42c2的法向量亢=(%y,z),

则1元•A2C2=-4x—4y+4z=0

'In•PCi=-4y+(6-A)z=0'

令z=4,得y=6-A,x=A-2,

:.n=(A—2,6—1,4),

设平面/12。2。2的法向量沅=(a/,c),

则窃,42c2=_4a-4b+4c=0

m-D2c2=-4a+2c=0

令a=l,得b=l,c=2,二沅=(1,1,2),

।/_r|n-m|125TTe

阿阿.6+("2)2+(6-a)262

化简可得，乃一84+12=0，

解得4=2或4=6,

.・.P(0,4,2)或P(0,4,6),

82P=2.

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，则额得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和

82c2，不在同一条直线上，从而证出B2c2〃力2。2成立•

(2)先利用三角形面积公式和已知条件，从而计算出AA4Dz的面积和点Q到平面的距离，再利用锥体

的体积公式得出三棱锥4-&QD2的体积.

(3)设P(0,4,>1)(04/148),利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面

PA2c2的法向量和平面力2。2。2的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出点P的坐标，

进而得出线段82P的长.

(1)解：以C为坐标原点，CACSCCi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

第13页

则C(0,0,0),C2(0,0,6),%(0,4,4),D2(4,0,4),4(4,4,2),

:.82c2=(0,—4,2),A2I)2=(0,—4,2)，:.82c；||A2D2^

又32c2,42。2不在同一条直线上，•••%C211A2%

(2)解：S△.外=：442鹏0=上2乂4=4,点C2到平面的距离为C。=4,

V

故K4T2c2。2=C2-AA2D2=CO=可又4入4=亍.

(3)解：设P(0,4,2)(048),

则欢=(一4,-4,4),阳=(0,-4,6-Q,品=(-4,0,2),

设平面P42c2的法向量五=(x,y,z),

则(亢•=-4%一4y+4z=0,

In•PC2=-4y4-(6—A)z=0

令z=4,得y=6—A,x=A—2,

n=ivA-2,6—A,4),

设平面A2c2。2的法向量沆=(Q，b,c),则『二一4a-4b+4c=°

m-D2C2=-4a+2c=0

令a=l,得匕=1,c=2,.,•沅=(1,1,2),

回羽=_________12_________

|cos(n,m)|=

|n||m|皆116+(入-2)2+(6-/1)2

化简可得，—84+12—0»解得，4=2或，=6>

・・・P(042)或P(0,4,6),・,・荷=2.

19.折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活

动蕴含丰富的数学内容，例如：如图，用圆形纸片，按如下步骤折纸.

步骤1：设圆心是F,在圆内不是圆心处取一点，标记为E；

步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点E,此时圆周上与点E重合的点标记为G；

步骤3：把纸片展升，十是就留下一条折痕，此时G尸与折痕交十点P；

步骤4：不断重复步骤2和3,能得到越来越多条折痕和越来越多的交点P.

第14页

现取半径为4的圆形纸片，定点E到圆心F的距离为2,按上述方法折纸.以线段E厂的中点。为原点，线段

（2）已知点M（0,6），点A,B是曲线「上两个不同的动点（不在y轴上），直线的斜率分别为

的,他，且自七=一1,证明：直线4B过定点.

【答案】（1）解：以EF所在的直线为x轴，EF的中点。为原点建立平面直角坐标系,

设P(")，

由题意,可得HE|+|PF|=|PG|+|PF|=|GF|=4,且|EF|=2,

则点P的轨迹是以E,F为左、右焦点的椭圆

且长轴长2a=4,焦距2c=2,b2=a2—c2=3,

所以椭圆「的标准方程为勃养1.

（2）证明：由题意和（1）,可知直线过定点.

证明如下：在椭圆「：.+,=］中,M（0,V5）,

因为七七=-1»

所以(%-V3)(y2-V3)=

若直线A8的斜率不存在，则8（巧,-力）,

得七・七二铲•千过二

人1人1

可得出=3+好，且苧+—=i，解得％1=0,

第15页

则直线48为、轴，不合题意，所以直线48的斜率存在，

设直线的方程为y=kx+3与椭圆［+［=1联立，

消去y,得（3+4廿）/+sktx+4t2-12=0,

由A=（8/ct）2-4（3+4k2）（4尸-1?）=-48（t2-3-41）>0,

得d<3+4户,

-8kt4t2-12

所以为1+%2=----2，%IX=7

3+4k‘23+4/0.

因为=%+t,y2=kx2+t,

由①得(化叮+t)(kx2+t)->/3[(kx_+t)+(fcx2+1)]+3=-%iz2»

则/%]无2+ktg+x2)+产-y/3[k(xi+x2)+2t]+3=-勺次③，

把②