期末综合检测卷一 - 高二数学（人教A版选择性必修第一册）解析版

期末综合检测卷一

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的

FGI

1.如图，在三棱锥S—A8C中，点£,尸分别是SA,BC的中点，点G在棱上，且满足==7,若瓦=加

GF2

丽=5,豆=3则讶=（）

D.-1a-+—1b7+—1c-

366

【解析】由题意可得而=竟+访=竟+：炉=豆+：（尹-吏）

二韩，入韩十扫丽十对

=*"+'(a+豆)

故选：D

2.若向量丁=OU,1）,二=（2,-1,-2）,且「与。的夹角余弦为立,则九等于（

)

6

A.-V2B.V2C.一上或&D.2

【答案】A

【解析】解：•・•向量a=(",l),5=(2,T-2),,

ab2-/1-2^x/2

cos<a,b>=

\aV\b\12+分•内6

解得4=-0.

故选：A.

3.已知圆。：f+y2=4,过点A（-1,1）的直线/交圆。于M,N,过点M,N的圆的切线交于点P,则

PA的最小值为（）

A.IB.72C.GD.2

【答案】B

当MN与。4不垂直时，因为MNJ.OP,所以有PK一尸Q?MQV-OQ?

所以PA2-OA2=PQ2-OQ2,因为OQ<OA=&,OM=2

所以NOMQV45。，所以NPMQ>45。，所以PQ>。。，所以尸人>。4=近

当与04垂直时，P,A。三点共线，此时P4=Q4;&

,••40=0，・•・•=”>”_4“=百_（拒尸=叵,

所以以的最小值为近

故逐B.

4.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样•个命题：平面内到两定点距离之比为常数后（k>0且攵工1）

的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、8间的距离为2,动点尸与A、B距离之比

为及，当P、A、B不共线时，△PA8面积的最大值是（）.

A.—B.—C.V2D.272

33

【答案】D

【脩析】如图，以经过A、8的直线为K轴，线段48的垂直平分线为了轴建系，如图：

则A(-1,0)、5(1,0),设尸(x,y),

.・侬=a・3必工友

.|P4|••丘诉了

两边平方并整理得：d+y2_6H1=0=>。-3）2+）,2=8,

所以圆的半径为2五，

工aRW面积的最大值是:x2x2夜=2上.

乙

故选：D.

5.若圆（x-4+（y-2〃+1）2=9上有且仅有两个点到直线版+4），-12=0的距离等于2,则实数〃的取值范

围是（）

214n

TT7L

【答案】D

【解析】圆*-〃）2+（），-2〃+1）2=9的圆心坐标为（“为-1）,半径为3.

圆心到直线的距离为：

|36/4-4（267-1）-12|_|11^-16|

732+425

乂圆*-。）2+（〉，-24+1）2=9上有且仅有两个点到直线3工+4），-12=0的距离等于2,所以3-业皆<2,

92141

解得一行<4<1或yy<a<.

故选:D.

6.已知椭圆工+^=1（加>。）的离心率°=

—，则〃?的值为（）

5m5

A.3B.T或3C.亚D.2或后

3

【答案】B

【解析】由题意知〃>0，

当5>/〃时，a=岳,h=4m，c=y/5-ni,

所以6=£=早=回,

aV55

解得〃2=3；

当5<，〃时，a=yfin，=>/5♦c=>Jin-5»

所以6=£=牢=典，

ayJm5

解得加=?25.

故选：B

7.已知双曲线£-£=1的右支上恰好有两点到。（坐标原点）、F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离

a~b'

心率e的取值范围是（）

A.（I,拉）B.（V2,-KO）C.（1,2）D.（2,-HO）

【答案】D

【解析】双曲线的右隹点尸（c.O）,

若双曲线《一工=1的右支上恰好有两点到。（坐标原点）、

a~b~

F（右焦点）的距离相等，

则线段。尸的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，

所以§>〃，所以e=£>2,

2a

所以双曲线的离心率e的取值范围是（2,田）.

故选：D

8.已知抛物线C：/=2px（p>0）的焦点为F,对称轴与准线的交点为T,P为C上任意一点，若|阳=¥1叩，

则〃>7尸=（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】过点P做抛物线准线的垂线，垂足为P，

|PP|=|PF\]PT\=竽\PF\=竽|P'P|，

在心△"T中，cosZP,PT=L^=—,

\PT\2

/.NPPT=30°,/./PTF=/PPT=30°.

故选:B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分

9.设动点P在正方体ABC。—A4G。上（含内部），且印=4印,当4PC为锐角时，实数2可能的取值

是（）

A.~B.—C.一

234

【答案】CD

【解析】设AP=x,5P=i,设正方体的棱长为I,

则AC=0，在△APC中，

由余弦定理得cosZAPC=二+工-2=,

2x~x2

若乙4PC为锐角，则上二＞0,则

X

在△/！£）［P中，AD.=＞/2,cosZ.AD.P=,

3

于是由余弦定理得/=2+』-2.6邛，

于是2+〃_2.万八如＞1,即3/一4疯+3＞0，

3

解之得：/＞百或/〈且，由A4=e，故义＞1（舍）或

33

故选:CD

10.圆QI：/+）3-2X=0和圆Q:/+y2+2x-4y=。的交点为A,B,则有（）

A.公共弦A6所在直线方程为工一丁=0B.线段A5中垂线方程为x+），T=0

C.公共弦AB的长为巫D.P为圆2上一动点，则P到直线A8距离的最大值为正+1

22

【答案】ABD

【解析】对于A,由圆。1：/+），-2X二0与圆Q:f+y2+2x—4），=0的交点为人，B,

两式作差可得4*-”=0,

即公共弦人“所在直线方程为x-了-。，故A正确;

对于B,圆0：—+/2-2"0的圆心为（1,0）,31,

则线段AB中垂线斜率为-1,

即线段A8中垂线方程为：y-0=-Ix（x-l）,整理可得x+y-l=（）,故B正确；

对干C,圆储：/+V—2x=0,圆心2（1,0）到人一丁=。的距离为

,|1-0|V2

八际F^'半径r=l

所以|A8|=21［与J=右，故C不正确；

对于D,尸为圆2上一动点，圆心2（1,0）到x-y=0的距离为d=乎，半径,=1,即P到直线相距离的

最大值为也+1,故D正确.

2

故选：ABD

11.已知为，B分别是双曲线C：产一9=1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段

为直径的圆经过点P,则（）

A.双曲线。的渐近线方程为y=±x

B.以F1户2为直径的圆的方程为f+3，2=l

C.点P的横坐标为±1

D.△尸FiB的面积为应

【答案】ACD

【解析】等轴双曲线C：>2_/=|的渐近线方程为），=打，故A正确；

由双曲线的方程可知*月=2式，

所以以F/2为直径的圆，圆心为（。0）,半径为&,则圆的方程为炉+尸=2,故B错误；

点P（AO,和）在圆/+），2=2上，

不妨设点产（Xo,砂）在直线y=x上，

所以由［其+诉=2,解得回=］,

%=%。，

则点P的横坐标为±1,故C正确；

由上述分析可得仆PFiFi的面积为gx2应xl=V2,故D正确.

故选:ACD.

12.已知椭圆C：■+£=l（d>b>0）的离心率为母，点M（2,l）在椭圆C上，直线/平行于且在），轴

上的截距为〃?，直线/与椭圆C交于A,8两个不同的点.下列结论正确的是（）

A.椭圆C的方程为工+《=1B.

822

C.-2<tn<2D."?0—2或〃？之2

【答案】ABC

J。2T2二一,

【解析】解：由题意，得°2’解得《故椭圆c的方程为J+工=i,A项正确；由于

41,［从=2,82

2找=；，故B项正确；

Z-VZ

1

y=—)c+/n,

因为直线/的斜率上二心0=3,又/在y轴上的截距为加，所以/的方程为y=gx+〃z.由，

x2y2

—+—=t1

得/+2〃氏+2〃/-4=0.因为直线/与椭圆。交于A,6两个不同的点，所以△=（2〃?）2-4（2〃『-4）>0,

解得一2<〃?v2,故C项正确，D项错误.

故迄ABC

三、本题共4小题，每小题5分，共20分

13.在正方体48CO-A4GA中，E是GC的中点，则比与平面88Q。所成角的正弦值为

【答案】巫

5

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系:

设正方体的棱长为2,

则B（2,2,0）,C（0,2,0）,G（0,2,2）,£（0,2,1）,

所以8心=(—2,0,1)43=(—220),

由正方体的几何特征，则AC_L平面网。£),

所以衣=(-2,2,0)是平面跖内D的一个法向量,

设BE与平面BBR。所成的角为氏

由HQ回国4M

所以sin8-I—II——-，仁入仁—,

|叫.卜4V52V25

故答案为：叵

5

14.有一光线从点4(-3,5)射到直线/：3x-4)，+4=0以后，再反射到点B(2,15),则这条光线的反射线

所在直线的方程为.

【答案】&+)，一51=0

【解析】设点4(-3,5)关于直线I：3*4>，+4=0的对称点为。(利〃)，

3+加5+72/八

3-----------44-------+4=0

则/2,解得切=3,〃=・3,・・・C(3,-3),

-n----5-----3-=―]''

m+34

•・•8(2,15)，，直线BC的方程为)+3=察"-3),

2—3

BP18x+y-5l=0.

故答案为：I8x+y-51=0.

15.已知抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点为产，点〃为C上一点，点N为x轴上一点，若△五MN是正三角

形，且，加=(2,0)则抛物线的准线方程为.

【答案】x=-l

【解析】如图，由已知N在F右侧，|断|=2,作垂直准线于£),

则/DM/=60。，|/加|=|/羽=|尸M=2，

/.ZDFO=60°,

故焦点到准线的距离〃=1,准线方程为x=-3.

故答案为：工=一；

22

16.已知椭圆C:三+汇=1的左、右焦点分别为片，卜2,M为椭圆C上任意一点，N为圆

43

E:(x-3)2+()，-2)2=1上任意一点，则|MN|-|M£|的最小值为.

【答案】2&-5

【解析】如图,

由M为椭圆C上任意一点,则闾=4

又N为圆石:@一3)2+()，一2『一1上任意一点，贝(当且仅当加、ME共线时取等号)，

用4TM周)=|MN|+|M用_4N|ME]+|M周一5之但用一5,

当且仅当M、N、E、入共线时等号成立.

•・•丹(1,0),顼3,2),则|EF?|=J(3-1)?+(2-0尸=2/，

・•.-阿司的最小值为2a-5.

故答案为：2叵-5.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.如图所示，在三棱柱A8C-AAG中，M是的中点，化简下列各式：

(1)而+瓯；

(2)通+而+京；

(3)

(4)^A\+Ali-AM.

【答案】(1)血+8A=A4,；(2)AB+B1C1+qC=/l1C；(3)而-丽一方=而：(4)-A4,'+AB-AM'=0.

【解析】(I)A4+8<二七:

(2)而+而+束=福+函+配=而.

(3)AM-BM-CB=AM+MB+BC=AC.

(4)g瓯+而-前=丽+福+砺=而+而+丽=6.

18.如图，已知aABCDEEG”为空间的9个点，且证=kQA,(JP=kO氏=koD,

AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,&工0,m0,求证：

（1）A丛C,。四点共面，E,F,G,H四点共面;

(2)AC//EG^

（3）OG=kOC.

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】证明：（1）•.•衣=耳力+〃力反mwO,・・・A、8、C、。四点共面.

\'EG=EH+mEF,m^O,F、G、”四点共面.

(2)

EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB=k[AD+mAB)=kAC,AC//EG.

(3)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(OA+AC)=kOC.

19.直线/经过两直线卜3x+4y—2=0和/2：2x+»，+2=0的交点.

（1）若直线/与直线3x+y-1=0平行，求直线/的方程；

（2）若点43,1）到直线/的距离为5,求直线/的方程.

【答案】

（1）3x+y+4=0

（2）x=—2或12x-5），+34=0

(1)

3x+4y-2=0

解：由，

2x+>'+2=0

所以两直线4：3x+4y-2=0和仆2x+y+2=0的交点为（-2⑵.

当直线/与直线3x+y-1=。平行，设/的方程为3x+），+〃?=0,

把点（-2⑵代入求得〃?=4,

可得/的方程为34+y+4=0.

（2）

解：斜率不存在时，直线/的方程为x=-2,满足点43,1）到直线/的距离为5.

当/的斜率存在时，设直限/的方程为y-2=&（x+2）,即心-），+2k+2=0,

则点A到直线）的距离为।-女一；：2：+21=$,求得

>Jk-+15

12

故，的方程为（x—y+2k+2=0,即12x-5），+34=0.

综上，直线/的方程为工=-2或⑵-5），+34=0.

20.已知点P(f,-r-1),圆C:(X-3)2+y2=4.

(1)判断点P与圆C的位置关系，并加以证明：

(2)当f=5时，经过点尸的直线〃与圆相切，求直线〃的方程；

(3)若存在经过点P的直线与圆C交于八、8两点，且点人为P8的中点，求点P横坐标的取值范围.

【答案】

(1)点。在圆外，证明见解析

(2)x=5或4x+3y-2=0

(3)[1-714,1+^]

(1)

(1),:(r-3)2+(-r-I)2=2产・4什10=2(/-1)2+8>4,

所以点P在圆外.

(2)

当尸5时，点P的坐标为(5,-6),

由圆C：(x-3)2+)2=4知圆心为(3,0),r=2,

①当直线〃的斜率不存在，方程为x=5,圆以到直线x=5的距离为2,

所以x=5是圆的切线：

②当直线〃的斜率存在时，设直线〃的方程为)，十6二左。=5),即依一，一5左一6—0,

由题意有|3左忘一5A景-6|=2,解得/4记

4

所以直线〃的方程为y+6=--(.r-5),即4x+3)，-2=0

综上所述，过点。与圆相切的直线方程为x=5或4x+3y-2=0

(3)

MW44,若存在经过点P的直线与圆C交于4、8两点，且点A为PB的中点，

则有狂8,|尸。46,所以有J(—3)2+(T-1)2W6,

解得1一而《也1+旧，

所以横坐标的取值范围为[1-1+4rl.

21.已知曲线C;X2丁.]和直线/：y-kx-\.

(1)若直线/与曲线c有两个不同的交点，求实数2的取值范闱；

(2)若直线/与曲线。交于A,8两点，。是坐标原点，且△A08的面积为夜，求实数”的值.

【答案】

(1)(-x/2,-l)u(-l,l)u(l,V2)

⑵0,用,一亚

22

(1)

解：由、:[)/]；消去＞，得(1一小卜2+2履―2=().

•・•直线/与双曲线C有两个不同的交点，

1—公工0

''△=止+8(1-用＞0,解得力＜"＜&'且"'±1

・•・实数上的取值范围为(一JI—I)U(T」)=(I，点)；

(2)

解：设A(x，yJ,8(%,%).

由(1)可知N+电=~

A\AB\=\!\+k2|x)