2026年中考数学复习：实际问题与反比例函数

2026年中考数学专题复习实际问题与反比例函数

1.为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒已知药物燃烧阶段，室内每立方米空

气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，丫与x成反比例（如图所

示）.现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg.据以上信息解答下

列问题：

（1）从消毒开始，经多长时间，教室内每立方米空气含药量为4mg.

（2）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，

2.为了预防H1N1甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程

中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立

方米空气中含药量Nmg/m"）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在药物

喷洒和封闭教室期间，》与X均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后》与%满足反比例

（1）研究表明，室内空气中的含药最低于3mg/n13时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经

过多少分钟后学生方可返回教室？

（2）当室内空气中的含药量不低于6mg/M且持续时间不低于15分钟时，才能完全有效杀灭流

感病毒.试通过分析判断此次消毒是否完全有效？

3.长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓.某天恒温系统

从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(C)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，其中8c段

是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分.

⑴求C。段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量工的取值范围；

(2)大棚里种植的草律在温度为15℃到20℃的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的

温度是10℃，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？

4.某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，该气球内气体的压强”(kPa)和气体体积

V(n?)成反比例.测得一组数据如下表:

p(kPa)0.60.81.0

V(n?)150112.590.0

⑴根据表中的数据求出压强P(kPa)关于体积的函数表达式.

⑵当气体体积为2m'时，气球内气体的压强是多少？

(3)当气球内气体的压强小于180kpa且大于150kpa时，气球不会爆炸并且形态刚好，求问此

时气体的体积的取值范围.

5.某超市在十二月份销售一种商品，根据统计结果发现该商品的日销售量)’(件)与时间

第x天之间的函数关系如图，当IWxvlO时，日销售量？(件)与时间第x天满足一次函数

关系，当1()＜工＜3()时，口销售量y(件)与时间第x天满足反比例函数关系.

(I)求N与工之间的函数表达式:

试卷第2页，共6页

⑵求该超市的日销售量不低于20件的天数.

6.实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面时，面条的总长

度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm?)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)写出y(m)与s(mm?)的函数关系式：

(2)求当面条横截面积为2mm2时，面条的总长度是多少米？

7.为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室讲行消毒.已知药物释效过程中，

室内每立方米空气中的含药量M亳克)与时间M分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成

反比例，如图所示.根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.9亳克以下时，学生方可进入教室，那

么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

8.某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min,之后将对泄漏有

害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)

之间的函数关系(gx*0),反比例函数y二七对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险

X

检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(40<x<?).根据图象解答下列问题：

(I)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是：

(2)求反比例函数y二七的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对

x

应X的值.

9.将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量a（单位：

升/千米）之间是反比例函数关系5=］（女是常数，H0）.已知某轿车油箱注满油后，以平

均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米.

（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式；

（2）当平均耗油量少于0.07升/千米时，该轿车至少可以行驶多少千米？

10.2023年新能源汽车继续保持快速增长，产销突破了900万辆，市场占有率超过30%,

汽车出口再创新高，全年出口接近500万辆.为继续扩大销量，某城市新能源汽车销售商推

出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息.张先

生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后余款由平均每月

付款），万元，x个月结清.y与x满足某函数关系，其部分对应值如卜.表，请回答下列问题.

X/月・・.24710・・・

w万元•••73.521.4•••

（1）确定），与x的函数表达式，并求出首付款；

（2）若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元；

（3）如果张先生打算每月付款0.25万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？

11.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们

沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道，木板对地面的压强〃（Pa）是木板面积

S（n?）的反比例函数，其图像如下图所示:

试卷第4页，共6页

600

（1）请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；

（2）当木板面积为2m2时，压强是多少？

（3）如果要求压强不超过60（X）Pa,木板的面积至少要多大？

12.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压〃（kPa）随气球内

气体的体积V（n?）的变化情况如下表所示.

第.第二第三第四第五第六

项目

组组组组组组

V/nv1926438.4322416

p/kPa0.512.5346

⑴根据表中数据的特征可判断气球内气体的气压是气球内气体的体积的一函数（填“一次”“反

比例”或“二次”），表中数据错误的是第一组.

（2）当气球内气体的体积是1.2m，时，气球内气体的气压是多少？

（3）当气球内的气压大于125kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体内气体的体积应不小

于多少？（精确到O.Oln?）

13.某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）

由基础销售量）1与浮动销售量为两个部分组成，其中,保持不变，力与每件商品的售价x

（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过18元销售过程中发现，当每

件商品的售价定为10元时，售出34件：当每件商品的售价定为12元时，售出30件.

⑴求y与x之间的函数关系式：

⑵当该商品销售数量为40件时，求每件商品的售价；

⑶设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最

大?最大值是多少？

14.工匠制作某种金属工具要进行材料燃烧和锻造两个工序，即需要将材料燃烧到800C,

然后停止燃烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为6(X)C.煨烧时温度)，(℃)与时间

x(min)成一次函数关系；锻造时，温度)，(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图).已

知该材料初始温度是32c.

⑴求材料煨烧和锻造时》与x的函数关系式；

(2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时

间有多长？

试卷第6页，共6页

参考答案

1.(1)从消毒开始，经5分钟和20分钟，教室内每立方米空气含药量为4mg；(2)从消毒

开始经过50分钟学生才可返回教室.

【分析】(1)首先根据题意，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y与燃烧时间x

成正比例；燃烧后，y与x成反比例，且其图象都过点110,8),将数据代入用待定系数法

可得反比例函数的关系式，分别求出函数解析式，再计算出y=4时，x的值即可；

(2)根据题意可知得变<1.6,解不等式即可.

X

【详解】解:(I)设药物燃烧阶段函数解析式为产段X4的),由题意得:8=1Ok.,

4

・•・此阶段函数解析式为y=^x(0<x<10).

当y=4时,x=5；

kk

设药物燃烧结束后函数解析式为产区(k2#)),由题意得：粤=8,

x10

・・・k2=80,

・•・此阶段函数解析式为丫=型(x>10).,

当y=4时，x=20,

答：从消毒开始，经5分钟和20分钟，教室内每立方米空气含药量为4m」g；

(2)当yV1.6时，得一V1.6,

x

Vx>(),

.\1.6x>80,

解得x>50.

答：从消毒开始经过50分钟学生才可返回教室.

【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变

量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

2.(1)35分钟

(2)完全有效，见解析

【分析】本题考查了反比例函数与•次函数的实际应用，是•个分段函数，涉及待定系数法

等知识点.掌握自变量、函数值等知以是解题的关键.

答案第1页，共11页

⑴当“15时，设y与x的函数关系式为:y=巴丽>。），代入图中点的坐标求出山，令y=3,

求出时间X,再减去5分钟即可得结果.

（2）当0WxW5时，设丁与4的函数关系式为：y=U（七>0）,代入图中点的坐标求出k,

令），=6,求出X,对于y=?，令），=6,求出时间X,用两时间之差与15作比较，即可得

结果.

【详解】（1）解：由题意可得〃=15,故当XN15时，设了与X的函数关系式为：.y=F（〃?>。），

把（15,8）代入上式得，黄=8,

m=120,

120

••>=一，

x

当产3时，—=3,

X

,-.x=40,

40-5=35（分钟）.

答：至少经过35分钟后学生方可返回教室.

（2）当0WxW5时，设）'与工的函数关系式为：、=八（2>0）,

把（5,10）代入上式得，5k=10,

:.k=2,

/.y=2x,

当y=6时，2x=6,

••x—3,

对于，=四，当y=6时，—=6,

xx

.r=20,

V20-3=17>15,

「•此次消毒是完全有效，

答：此次消毒完全有效.

3.（1）。。段所对应的反比例函数关系式为），二丝740，自变量x的取值范围为124x^24

x

（2）草辘一天内最适合生长的时间有15小时

【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和及用，

答案第2页，共11页

解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一

次函数的性质作答.

(1)应用待定系数法求函数解析式；

(2)先求出段的解析式，代入临界值y=15,分别求出A8段和C。段温度为15c的时

间，再相减即可即可.

【详解】(1)解：设CT)段所对应的反比例函数关系式为y=A(Z±O).

把拉(24,10)代入，得&=24x10=240,

240

­­>=一x•

当)，=20时，20=宁?40，

解得x=12,即a=12,

240

••.CO段所对应的反比例函数关系式为)，=(,自变量T的取值范围为12KXW24.

(2)解:设直线A8的函数关系式为y=〃a+〃((KxW2).

把(0,10),(220)代入,

n=10,

2m+n=20,

m=5

解得

〃=10

・・・直线A8的函数关系式为)，=5x+10.

当y=15时,15=5x4-10,解得x=l.

当y=15时，15:瞪240，解得x=16,

16-1=15(小时).

答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时.

90

4.(l)P=y

(2)45kPa

(3)0.5<V<0,6

【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，利用反比例函数解析式的数值的意义求解是解

题的关键.

答案第3页，共11页

⑴设函数解析式为〃4,把点（1.。，90.。）代入函数解析式求出々值即可；

（2）将V=2代入（1）中的反比例函数解析式即可求出；

（3）将〃=180kPa和p=150kPa代入（1）中的反比例函数解析式，再根据增减性即可求出

V的范围.

【详解】（1）解：设〃=［，

将点（L90）代入，得90=3

.4=90,

90

故这个函数的解析式为〃="；

（2）解:当V=2（n?）时，p=y=45（kPa）.

（3）解：当〃=180kPa时，V=-p-=O.5（m3）.

当〃=150kPa时，V=—=0.6（/«3）.

150

•・•压强〃（kPa）随体积的增大而减小，

/.0.5<V<0.6.

2x+10（l<x<10）

5・⑴'=怦（K）“30）；

⑵该超市的日销售量不低于20件的天数有II天.

【分析】本题考查了反比例二次函数的应用.

（1）分两种情况，利用待定系数法求解即可；

（2）分别求得当y=2（）时，x的值，即可求解.

【详解】（1）解：当1。<10时，设函数表达式为丁=依+〃，

k+b=12

由题意得，

10成+6=30

k=2

解得

b=\0

函数表达式为y=2x+10；

当10WXW30时，设函数表达式为），=',

x

由题意得巾=xy=10x30=3(X),

答案第4页，共11页

・♦・函数表达式为y=叫工

2x+10(l<x<10j

综上，y与x之间的函数表达式为)，=1300/,八

---(10<x<30)

(2)解：当)，=20时，20=2x+10,

解得x=5；

“300

20=---,

x

解得x=15；

15-5+1=11；

该超市的日销售量不低于20件的天数有11天.

122

6.(1)y=——(5>0)；(2)64〃？

s

【分析】(1)设y与s的函数关系式为丫=由,然后再把P点坐标代入即可得到k的值，进

s

而可得函数解析式;

(2)把s=2代入即可.

【详解】解：(1)设y与s的函数关系式为丫=工，

s

VP(4,32),

.*.32=-,解得k=128,

4

Ay与s的函数关系式是y=—(5>0)；

s

128

(2)x=2时，y=--=64,

2

工当面条粗2mm2时,面条长为64m.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，设出函数解析式，掌握

凡是函数图象经过的点，必能满足解析式.

4IOR

7.(1)y=(0<x<12),y=——(x>12)；(2)2小时.

4x

【分析】(1)根据函数图像信息，待定系数法求解析式即可，注意相应的自变量取值范围；

(2)计算当)，=0.9时，求反比例函数的工值即可.

【详解】(1)二•当x=12时，y=9,

设正比例函数解析式为：)'="，反比例函数解析式为：

x

答案第5页，共11页

将(12⑼分别代入产公，y=-,

x

3

解得：。=一/=108,

4

3

y=-A(0<x<12),

A4

108,…、

y=—(x>12).

(2)将y=0.9代入：y号，

解得x=12(),

120分钟=2小时,

答：从药物释放开始，至少需要经过2小时后，学生才能进入教室.

【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图像上获

取信息，反比例函数图像的实际意义，理解图像信息是解题的关键.

8.(1)20；(2)对应x的值是160.

【详解】试题分析：(1)当0WXW40时，设)，与x之间的函数关系式为y=af+A，把点

(10,35),(30,60)代入，求出外力的值，即可得到函数解析式，把x=0代入，求得即危险

检测表在气体泄漏之初显示的数据.

⑵将户40代入户1.5工+20,求得点E的坐标，把点E代入反比例函数广£求得反比例

X

函数的解析式，把尸20代入反比例函数，即可求得车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初

数据时对应x的值.

试题解析：(1)当0WXW40时、设)，与x之间的函数关系式为)=办+力，把点(10,35),(30,60)

代入，得

10〃+。=35

得)

30a+b=65,b=20.

:.y=1.5x+20,

当x=0时，y=1.5x0+20=20,

故答案为20；

(2)将x=40代入y=1.5x+20,得_y=80,

・••点E(40,80),

答案第6页，共II页

•・•点E在反比例函数y=2的图象上，

x

：.80=与，得43200,

40

即反比例函数y=匕巴，

X

^700

当)=20时，20=—,Wx=160,

x

即车间内危险检测表恢狂到气体泄漏之初数据时对应x的值是160.

70

9.(1)5=一；(2)1030千米

a

【分析】(1)将a=0.1,S=7D0代入到函数的关系S=V中即可求得k的值，从而确定解析式；

a

(2)将a=0.07代入求得的函数的解析式即可求得S的值.

【详解】(1)由题意得：a=0.1,S=700,代入反比例函数关系S=&中，

a

解得：k=Sa=70,

)A

所以函数关系式为：5=y.

(2)将a=0.07代入5=—得：S=—=10(X),

a0.07

故该轿车至少可以行驶1000千米.

【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于根据题意列出方程.

14

10.(\)y=—的整数)，首付款为6万元

x

(2)平均每月应付0.35万元

(3)他能在规定不计算利息的期限内结算

【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数的解析式，解答本

题的关键是找出等量关系，列出函数解析式.

(1)利用待定系数法，即可求出解析式；

(2)在(1)的基础上，知道自变量，便可求出函数值；

(3)知道了y的值，利用解析式即可求出自变量的值.

【详解】(1)解：由表格猜想)，与x成反比例函数关系，

设y与.r的函数表达式为y=-\k^O),

X

当x=2,y=7,代入表达式得7=3，

：.k=\4,

答案第7页，共11页

・••y与x的函数表达式为y=—(i«xW60的整数),

X

经检验表中其他各组对应值均满足此表达式，

.•.当X=］时，)，=14,

.-.20-14=6(万元).

•.•首付款为6万元：

14

(2)当x=40时，)，=—=0.35(万元)，

40

答：平均每月应付0.35万元：

14

(3)当y=0.25时,0.25=—,

x

解得x=56,

•.•56<60,

答：他能在协定不计算利息的期限内结算.

11.(1)p=—(S>0)；(2)300Pa；(3)().1nr

J

【分析】(1)利用待定系数法求反比例函数解析式即可；

(2)将S=2代入(1)中表达式求出P的值即可；

(3)根据反比例函数的增减性和P的取值范围，即可求出S的取值范围.

【详解】解：(1)设反比例函数表达式为：〃

将(1.5,400)代入表达式中，得

400=—

1.5

解得：&=600

故：这一函数表达式为：〃=竿，根据实际意义：S>0：

(2)将S=2代入〃=空中，解得：〃=300

答：当木板面积为2m2时，压强是3(X)Pa.

(3)将P=6000代入〃=型中，解得：S=0.1

V6()0>0

・••在第一象限中P随S的增大而减小

•・•P<6000Pa

答案第8页，共11页

，5>0.1m2

答：如果要求压强不超过6000Pa,木板的面积至少要0.1n?.

【点睛】此题考查的是求反比例函数的解析式和函数的应用，掌握用待定系数法求反比例函

数解析式和利用反比例函数的增减性求自变量的取值范围是解决此题的关键.

12.⑴反比例，二

(2)80kPa

⑶0.77m，

【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题关键.

(1)由表可知气球内气体气压是气球内气体体积的反比例函数；分析各组数据，即可确定

表中错误数据；

(2)由(1)可得，〃和V的函数关系式为〃=亍，将U=1.2代入求解即可：

(3)将〃=125kPa代入函数解析式并求解，即可获得答案.

【详解】(1)解：由表可知气球内气体气压是气球内气体体积的反比例函数.

由题意可知，192x0.5=96»64x1=64,38.4x2.5=96,32x3=96»24x4=96,16x6=96,…，

・••错误的数据是第二组.

故答案为：反比例，二.

96

(2)由(1)可得，P和卜的图数关系式为，="，

96

工当V=1.2时,p=—=80(kPa),

即气球内气体的气压是80kPa.

(3)当〃=125kPa时，V=—»0.77(m3),

125

・••为了安全起见，气体内气体的体积应不小于0.77m3.

13.(l))=10+—(x<18)

x

(2)8元

⑶当每件商品的售价为18元时超市的销售总额最大，最大值是420元

k

【分析】(1)设产>>+”=蔺+-，把尸10,尸34,入=12,)=30分别代入求解即可；

x

(2)把产50代入(1)问所求银析式计算即可；

(3)根据月销但额W=x.v,求出卬与x的解析式，再根据烂18,利用性质求出w最大值即

答案第9页，共11页

可.

【详解】(1)解：设7=y/+)，2二"+'，把X=1O,y=34,x=\2,)=30分别代入，得

x

34=v,+—

110y=10

，解得:

k